108 原住民特考四等 土木工程 結構學概要與鋼筋混凝土學概要 考古題詳解

核心觀念

本題評量單鋼筋矩形梁之基本力學行為與規範配筋限制，涉及之核心觀念與法規（以命題當年民國 108 年適用之「混凝土工程設計規範與解說（土木 401-100）」為準；現行規範文字與章節雖有編修，其設計精神與基本力學計算原則相同）：

1. 斷面水平平衡與等價應力塊（Whitney Stress Block）： 受彎構件達極限狀態時，混凝土壓應力分佈以等價矩形應力塊簡化，壓應力大小為 $0.85f'_c$，深度為 $a = \beta_1 c$。

• 當 $f'_c \le 280\ \mathrm{kgf/cm^2}$ 時，$\beta_1 = 0.85$。
• 壓力 $C = 0.85 f'_c a b$，拉力 $T = A_s f_s$。

2. 鋼筋降伏檢核與應變相容：

• 混凝土極限壓應變 $\epsilon_{cu} = 0.003$。
• 鋼筋淨拉應變 $\epsilon_t = \frac{d - c}{c} \times 0.003$。
• 若 $\epsilon_t \ge \epsilon_y = \frac{f_y}{E_s}$（$E_s = 2.04 \times 10^6\ \mathrm{kgf/cm^2}$），則鋼筋降伏，$f_s = f_y$。

3. 計算彎矩強度（公稱彎矩強度）$M_n$： $M_n = T\left(d - \frac{a}{2}\right) = A_s f_y \left(d - \frac{a}{2}\right)$
4. 最大鋼筋比 $\rho_{\max}$：

• 規範應變控制法：梁構件為確保延展性，規範規定受彎構件極限狀態之淨拉應變不得小於 $0.004$（即 $\epsilon_t \ge 0.004$），所對應之斷面最大鋼筋比為： $\rho_{\max} = 0.85 \beta_1 \frac{f'_c}{f_y} \left(\frac{0.003}{0.003 + 0.004}\right) = \frac{3}{7} \times 0.85 \beta_1 \frac{f'_c}{f_y}$ （若以確保全斷面處於「拉力控制斷面」$\epsilon_t \ge 0.005$ 界限計算，則為 $\rho_{0.005} = \frac{3}{8} \times 0.85 \beta_1 \frac{f'_c}{f_y}$）。
• 傳統規範定義：早期規範常以平衡鋼筋比之 75% 定義最大鋼筋比： $\rho_{\max} = 0.75 \rho_b = 0.75 \times \left[ 0.85 \beta_1 \frac{f'_c}{f_y} \left(\frac{6120}{6120 + f_y}\right) \right]$

5. 最小鋼筋比 $\rho_{\min}$： 規範規定梁構件為避免開裂時發生脆性破壞，拉力鋼筋比不得小於： $\rho_{\min} = \max\left( \frac{0.8\sqrt{f'_c}}{f_y},\ \frac{14}{f_y} \right) \quad (\text{單位：}\mathrm{kgf/cm^2})$

解題方法

步驟一：基本幾何與材料特性整理

• 斷面幾何：$b = 30\ \mathrm{cm}$，$h = 50\ \mathrm{cm}$，$d = 43\ \mathrm{cm}$。
• 材料強度：$f'_c = 280\ \mathrm{kgf/cm^2}$（$\beta_1 = 0.85$），$f_y = 4200\ \mathrm{kgf/cm^2}$。
• 鋼筋總面積： $A_s = 4 \times A_b = 4 \times 6.47 = 25.88\ \mathrm{cm^2}$
• 現有鋼筋比： $\rho = \frac{A_s}{b d} = \frac{25.88}{30 \times 43} = 0.02006$

步驟二：計算壓應力塊深度與中性軸位置

假設拉力鋼筋達到降伏（$f_s = f_y$），由斷面水平力平衡條件 $C = T$： $0.85 f'_c a b = A_s f_y$ $a = \frac{A_s f_y}{0.85 f'_c b} = \frac{25.88 \times 4200}{0.85 \times 280 \times 30} = \frac{108696}{7140} = 15.22\ \mathrm{cm}$

中性軸深度 $c$： $c = \frac{a}{\beta_1} = \frac{15.22}{0.85} = 17.91\ \mathrm{cm}$

步驟三：檢核鋼筋降伏假設

由應變線性分佈關係，求最外層鋼筋之拉應變 $\epsilon_t$： $\epsilon_t = \frac{d - c}{c} \times 0.003 = \frac{43 - 17.91}{17.91} \times 0.003 = 0.00420$

鋼筋降伏應變（鋼筋彈性模數 $E_s = 2.04 \times 10^6\ \mathrm{kgf/cm^2}$）：

核心觀念

本題評量鋼筋混凝土矩形梁在剪力作用下的設計分析能力，解題依據以命題當年（民國 108 年）之「混凝土結構設計規範」（土木401-100）為準（現行規範已於民國 110 年修正發布，但剪力強度折減係數與基本剪力筋設計檢核原則一致）。

主要涵蓋以下核心公式與規定：

1. 混凝土受剪名義強度（簡化公式）： $V_c = 0.53 \sqrt{f'_c} b_w d$ （式中 $f'_c$ 單位為 $\mathrm{kgf/cm^2}$，$b_w$ 與 $d$ 單位為 $\mathrm{cm}$，$V_c$ 單位為 $\mathrm{kgf}$）
2. 強度折減係數：剪力折減係數 $\phi = 0.75$。
3. 需配置剪力鋼筋之範圍門檻： 梁構件在設計剪力 $V_u > \frac{1}{2}\phi V_c$ 之區域，均須配置剪力鋼筋。
4. 剪力鋼筋名義強度與間距： $V_s = \frac{V_u}{\phi} - V_c$ $s = \frac{A_v f_{yt} d}{V_s}$ 雙肢箍筋截面積 $A_v = 2 A_b$。
5. 剪力筋最大間距限制：

• 當 $V_s \le 1.06\sqrt{f'_c}b_w d = 2V_c$ 時：$s_{\max} \le \min\left(\frac{d}{2}, 60\ \mathrm{cm}\right)$。
• 最小剪力鋼筋量控制之間距：$s_{\max} \le \frac{A_v f_{yt}}{3.5 b_w}$。

解題方法

步驟一：計算混凝土剪力強度 $V_c$ 與規範門檻值

已知：

• $b_w = 40\ \mathrm{cm}$
• $d = 53\ \mathrm{cm}$
• $f'_c = 280\ \mathrm{kgf/cm^2} \implies \sqrt{f'_c} = \sqrt{280} \approx 16.733\ \mathrm{kgf/cm^2}$
• $\phi = 0.75$

計算混凝土名義剪力強度 $V_c$： $V_c = 0.53 \sqrt{280} \times 40 \times 53 = 0.53 \times 16.733 \times 2120 = 18801\ \mathrm{kgf} \approx 18.80\ \mathrm{tf}$

計算折減剪力強度 $\phi V_c$ 與免配剪力筋門檻 $\frac{1}{2}\phi V_c$： $\phi V_c = 0.75 \times 18.80 = 14.10\ \mathrm{tf}$ $\frac{1}{2}\phi V_c = \frac{14.10}{2} = 7.05\ \mathrm{tf}$

步驟二：求需配置剪力鋼筋之範圍

簡支梁受均布設計載重 $w_u = 15\ \mathrm{tf/m}$，淨跨距 $l_n = 6\ \mathrm{m}$。 支承面處之剪力值： $V_{u,\text{face}} = \frac{w_u l_n}{2} = \frac{15 \times 6}{2} = 45\ \mathrm{tf}$

設 $x$ 為距支承面之距離（$0 \le x \le 3\ \mathrm{m}$），剪力分佈方程式為： $V_u(x) = 45 - 15x\ \ (\mathrm{tf})$

當 $V_u(x) = \frac{1}{2}\phi V_c = 7.05\ \mathrm{tf}$ 時，求得剪力筋配置邊界 $x_1$： $45 - 15x_1 = 7.05 \implies 15x_1 = 37.95 \implies x_1 = 2.53\ \mathrm{m}$

因此，自兩端支承面起算，各延伸 $2.53\ \mathrm{m}$ 之區域皆需配置剪力鋼筋（跨中 $6 - 2 \times 2.53 = 0.94\ \mathrm{m}$ 範圍因 $V_u \le \frac{1}{2}\phi V_c$，理論上得免配剪力鋼筋）。

步驟三：求距支承 $1\ \mathrm{m}$ 處之剪力鋼筋間距

1. 計算該截面之設計剪力 $V_u$： 在 $x = 1.0\ \mathrm{m}$ 處（大於臨界面 $d = 0.53\ \mathrm{m}$）： $V_u(1.0) = 45 - 15 \times 1.0 = 30\ \mathrm{tf} = 30000\ \mathrm{kgf}$

2. 計算剪力鋼筋需承擔之名義強度 $V_s$： $\phi(V_c + V_s) \ge V_u \implies V_s = \frac{V_u}{\phi} - V_c$

核心觀念

本題考平面剛體的靜力平衡。簡支梁受力平衡時，須同時滿足水平力、垂直力及力矩總和為零：

A 點為鉸支承，可提供水平與垂直反力；D 點為斜面上的滾支承，反力垂直於斜面。圖示斜面的坡度為垂直 $1$、水平 $2$，所以 D 點反力的方向分量比為水平向左 $1$、垂直向上 $2$。

解題方法

取向右、向上為正，逆時針力矩為正。由圖可知，兩支點水平距離為 $6\,\text{m}$；集中力作用位置距 A 點 $3\,\text{m}$，且位於支承線上方 $1+0.5=1.5\,\text{m}$。

設 D 點反力為 $R_D$，其分量為

先對 A 點取力矩。向下 $20\,\text{N}$ 的力產生順時針力矩；向左 $10\,\text{N}$ 的力作用於支承線上方 $1.5\,\text{m}$，產生逆時針力矩：

由 D 點反力的分量比例，$D_x=-D_y/2=-3.75\,\text{N}$。因此 D 點反力合力為

核心觀念

本題考平面結構的幾何穩定與靜不定度。判斷時要同時看支承反力是否足以約束整體運動，以及構件、接點能否形成機構。

平面剛架可用下式計算靜不定度：

其中 $m$ 為構件數、$r$ 為外部反力數、$j$ 為接點數，$h$ 為內部鉸接點數。這個計數須以結構本身已具幾何穩定為前提；若支承反力線共點，仍可能不穩定。

解題方法與各圖判斷

（a）穩定，靜不定度 12。 以剛架計數：$m=10$、$j=8$，三個鉸支承共提供 $r=6$ 個反力，且沒有內部鉸接點。因此

結構的剛接構架與支承能限制平面運動，故為穩定的靜不定結構。

（b）穩定，靜不定度 1。 梁有兩個內部鉸，將梁分成三段；兩端固定支承提供 $r=6$ 個反力。以 $m=3$、$j=4$、$h=2$ 計算：

兩端固定能限制整體運動，內部鉸不會使結構形成機構，因此穩定，靜不定一次。

（c）穩定，靜定。 左端固定支承提供 3 個反力，兩個滾支承各提供 1 個反力，故 $r=5$。