108 原住民特考四等 土木工程 測量學概要 考古題詳解

核心觀念

水準測量（Leveling）係利用能提供水平視線之儀器（水準儀），測定地面點間高差，並由已知水準點高程推算未知點高程之測量技術。其核心理論與公式包含：

1. 基本高差定義與公式： 設 $A$ 點為已知高程點（或測站後視點），$B$ 點為待測點（前視點）：

• 後視讀數（Backsight, $BS$）：觀測已知點水準標尺之水平視線讀數。
• 前視讀數（Foresight, $FS$）：觀測待測點（或轉點）水準標尺之水平視線讀數。
• 點間高差 $\Delta h_{AB}$： $\Delta h_{AB} = BS - FS$
• 待測點高程 $H_B$： $H_B = H_A + \Delta h_{AB} = H_A + (BS - FS)$
• 若採用「視線高法（儀器高法）」： $HI = H_A + BS$ $H_B = HI - FS$ 其中 $HI$ 為儀器視線高（Height of Instrument）。

2. 地球曲率與大氣折光（球差與氣差）： 水平視線隨距離遞增而偏離大地水準面（球面），綜合球差 $C$ 與大氣折光差 $R_f$ 之影響公式為： $\Delta h_{cr} = C - R_f = (1 - k)\frac{D^2}{2R} \approx 0.0675 D^2$ （$D$ 為距離，單位為 $\text{km}$；$\Delta h_{cr}$ 單位為 $\text{m}$；$k \approx 0.14$ 為大氣折光係數；$R$ 為地球平均半徑）。

---

解題方法

本題屬於公職測量學經典問答題，應針對題目的三個核心設問（施測方法、觀測量、誤差來源）採取架構化分項說明：

1. 施測方法：區分「直接水準測量（幾何水準測量）」與「間接水準測量（三角高程、GNSS高程）」，並以工程實務上最標準之「直接幾何水準測量」作為主軸，說明單站法、連續水準測量（逐差水準測量）及對向水準測量之作業程序。
2. 觀測量：精確釐清「直接觀測量」與「間接推算量」之區別，避免將推算出的「高差」或「高程」誤列為直接讀取的觀測量。
3. 誤差來源：依測量學標準三大分類（儀器誤差、人為誤差、自然環境誤差）展開，逐一列舉具體誤差項目，並簡要附上消除或抑制該誤差之作業對策，以展現答題深度。

---

選項分析

本題為申論問答題，非選擇題。答題時無選項需排除，應直接依題目之三大要求依序分點論述，力求綱舉目張、名詞精準。

---

解題技巧

1. 得分架構口訣：

• 施測方法記「直、間；單、連、對」（直接幾何法、間接法；單站、連續逐差、對向跨河）。
• 觀測量記「尺讀數與視距」（直接觀測量唯有標尺讀數與視距絲夾距）。
• 誤差來源記「儀、人、天」（儀器誤差、人為操作、天然環境）。

2. 消差萬靈丹：論述誤差時，務必強調​「前後視距等長（$\Sigma D_{BS} = \Sigma D_{FS}$）」，此原則可同時消除水準儀視準軸誤差（$i$ 角誤差）、地球曲率差（球差）以及對稱性大氣折光差（氣差）。
3. 標尺傾斜陷阱：標尺未豎直所產生的讀數誤差永遠偏大（因視線沿斜邊截取讀數），屬於系統誤差性質，應搭配水準標尺氣泡或搖尺法（取最小讀數）克服。

---

【答案】

針對水準測量之施測方法、觀測量與誤差來源，詳述如下：

一、水準測量之施測方法

水準測量依原理可分為「直接水準測量」與「間接水準測量」，實務上以直接幾何水準測量為主：

1. 直接幾何水準測量（幾何水準法）：

• 作業原理：將水準儀整目安置於兩測點中間，利用水平視線截取兩點標尺讀數求得高差。
• 單站水準測量：適用於兩點距離短、視線無遮蔽且高差較小時。水準儀置於已知點 $A$ 與待測點 $B$ 間，於 $A$ 點立尺照準讀取後視讀數 $BS$，轉動望遠鏡於 $B$ 點立尺照準讀取前視讀數 $FS$，由 $\Delta h_{AB} = BS - FS$ 算出高差。
• 連續水準測量（逐差水準測量 / 差分水準測量）：當兩水準點距離遙遠或高差較大時，於兩點間布設若干轉點（Turning Point, $TP$），連續設置多個測站逐步推進，各測站累積高差總和即為總高差： $\Delta H = \sum BS - \sum FS$

核心觀念

本題考查觀測量經函數計算後，其誤差如何傳遞。設待求量為

$$y=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$$

其中 $x_i$ 為觀測量，$y$ 為由觀測量計算所得的成果。小誤差下，可用全微分近似：

$$\Delta y\approx \sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_i}\Delta x_i$$

各偏導數表示成果對各觀測量的敏感程度，亦稱偏微分係數或影響係數。隨機誤差與系統性誤差的傳播原理不同：隨機誤差以變異數或標準差衡量；系統性誤差則須依其方向與大小直接傳遞。

解題方法

一、偶然（隨機）誤差傳播

隨機誤差的正負方向不固定，通常假設各觀測量的隨機誤差彼此獨立、期望值為零。令 $x_i$ 的標準差為 $\sigma_{x_i}$，則成果 $y$ 的變異數為

$$\sigma_y^2 = \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2\sigma_{x_i}^2$$

因此，

$$\sigma_y = \sqrt{ \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2\sigma_{x_i}^2 }$$

此式由全微分式平方取期望值而得；因各誤差互相獨立，交叉項的期望值為零。若各觀測量間並不獨立，則須加入共變異數項：

$$\sigma_y^2 = \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2\sigma_{x_i}^2 + 2\sum_{i<j} \frac{\partial f}{\partial x_i} \frac{\partial f}{\partial x_j} \operatorname{Cov}(x_i,x_j)$$

例如，若 $y=x_1+x_2$，且兩量獨立，則

核心觀念

本題評量全測站儀（Total Station）應用於地形現況測量之基本作業原理，核心涵蓋四項觀念：

1. 光線法（輻射法）幾何原理：以一已知控制點為測站，另一已知點為後視定向基準，利用「極坐標法」同時測定待測點之方向、距離與垂直角，進而解求三維空間位置。
2. 三維觀測量之構成：水平方向角（方位角）、垂直角（天頂距或仰俯角）、斜距（空間距離），以及輔助幾何量（儀器高、覘標高）。
3. 坐標幾何推導（COGO）與三角高程測量方程式：平距計算、坐標正算（正算平面坐標 $E, N$）及三角高程公式（推算高程 $H$）。
4. 誤差傳播與來源分類：包含儀器誤差、人為操作誤差、環境自然誤差以及起算點誤差。

---

解題方法

本題為標準申論題型，作答切入點須緊扣題目的四大核心要求（作業方式、觀測量、計算方程式、誤差來源），條列推導並給出工程實務與測量平差之標準定義：

一、測量方式（作業程序）

光線法（輻射法）係利用測站與待測點間之視線通視，如光線向外發射般測定各點位。現場標準作業步驟如下：

1. 測站整置：於已知平面與高程控制點 $A(E_A, N_A, H_A)$ 上架設全測站儀，執行精密定心與整平作業，並以鋼捲尺量取儀器高 $i$。
2. 後視定向：將望遠鏡照準另一已知控制點 $B(E_B, N_B, H_B)$ 之稜鏡或覘標，歸零或直接置入後視已知方位角 $\alpha_{AB}$，完成水平度盤之定向基準。
3. 觀測待測點：將望遠鏡轉向照準任一現況待測點 $P$ 上的反射稜鏡，量取稜鏡高（覘標高）$f$。
4. 記錄與採集：啟動全測站儀之測角與電子測距（EDM）單元，同步記錄水平角、天頂距與斜距。測妥後旋轉照準下一現況點，重複上述程序直至測區所有碎部點測量完畢。

---

二、觀測量（Observation Quantities）

以光線法測得待測點 $P$ 之三維坐標，直接或間接獲得之觀測量包括：

1. 斜距（Slope Distance, $S$）：全測站儀 EDM 測得測站旋轉中心至待測點稜鏡中心之空間直線距離。
2. 水平角（Horizontal Angle, $\theta$） 或 水平度盤讀數（Direction, $L$）：後視方向線 $AB$ 與前視方向線 $AP$ 間之順時針水平夾角 $\theta$，用以推算測線 $AP$ 之方位角 $\alpha_{AP}$。
3. 天頂距（Zenith Angle, $Z$） 或 垂直角（Vertical Angle, $\beta$）：視線與鉛垂線天頂方向之夾角 $Z$（或視線與水平面之夾角 $\beta$，滿足 $\beta = 90^\circ - Z$）。
4. 幾何輔助量：

• 測站儀器高（Instrument Height, $i$）：測站地面標石點頂至儀器橫軸中心之垂直高度。
• 覘標高／稜鏡高（Target/Reflector Height, $f$）：待測地面點至反射稜鏡幾何中心之垂直高度。

5. 已知基準數據：測站坐標 $(E_A, N_A, H_A)$ 與後視點坐標 $(E_B, N_B, H_B)$。

---

三、三維坐標計算方程式

以測站 $A(E_A, N_A, H_A)$ 為起算點，觀測斜距 $S$、天頂距 $Z$、水平夾角 $\theta$，後視點為 $B(E_B, N_B, H_B)$：

1. 方位角計算： 已知測線 $AB$ 之方位角： $\alpha_{AB} = \tan^{-1}\left(\frac{E_B - E_A}{N_B - N_A}\right)$ 測線 $AP$ 之方位角： $\alpha_{AP} = \alpha_{AB} + \theta \quad (\text{若 } \alpha_{AP} \ge 360^\circ \text{ 則扣除 } 360^\circ)$

2. 水平距離計算： $D = S \cdot \sin Z \quad (\text{若觀測垂直角 } \beta \text{，則 } D = S \cdot \cos \beta)$

3. 待測點三維坐標方程式：

• 平面橫坐標（East, $E_P$）： $E_P = E_A + D \cdot \sin \alpha_{AP} = E_A + S \cdot \sin Z \cdot \sin \alpha_{AP}$
• 平面縱坐標（North, $N_P$）： $N_P = N_A + D \cdot \cos \alpha_{AP} = N_A + S \cdot \cos Z \cdot \cos \alpha_{AP}$
• 高程（Elevation, $H_P$）（依三角高程測量原理）： $H_P = H_A + S \cdot \cos Z + i - f + C_m$ 式中 $S \cdot \cos Z$ 為測站儀器中心至稜鏡中心之垂直高差（若使用垂直角則為 $D \cdot \tan \beta$ 或 $S \cdot \sin \beta$）；

核心觀念

地面雷射掃描系統（Terrestrial Laser Scanning, TLS）透過主動發射雷射脈衝或相位差技術，直接獲取目標物表面的三維幾何點雲。點雲點位坐標從原始獲取到納入工程實用，涉及兩個不同坐標系統之間的轉換：

1. 儀器自立坐標系統（Instrument / Sensor Coordinate System, $(x, y, z)$） 以地面雷射掃描儀的光學發射中心（雷射原點）為原點 $(0, 0, 0)$，其 $Z$ 軸通常與儀器垂直旋轉軸重合（或垂直軸天頂方向），$X$、$Y$ 軸構成與儀器基準方向相關的正交水平面。此為相對、局部且非地理配準的空間直角坐標系。
2. 區域坐標系統（Regional Coordinate System, $(X, Y, Z)$） 工程應用上所指定的絕對基準，例如國家大地坐標系統（如 TWD97 結合正高系統）或大型工程自立施工網坐標系統。
3. 三維空間坐標轉換數學模式（三維赫爾默特 7 參數轉換 / 空間相似轉換） 兩空間三維直角坐標系統間的幾何變換，基本包含 3 個平移參數（Translation: $\Delta X, \Delta Y, \Delta Z$）、3 個旋轉參數（Rotation Angles: $\omega, \phi, \kappa$）及 1 個尺度縮放比例因子（Scale Factor: $\lambda$ 或 $1+s$）： $\begin{bmatrix} X \\ Y \\ Z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \Delta X \\ \Delta Y \\ \Delta Z \end{bmatrix} + \lambda \mathbf{R}(\omega, \phi, \kappa) \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$ 其中 $\mathbf{R}$ 為正交旋轉矩陣。若儀器出廠已完成精密測距校正，且測距尺度視為 1（$\lambda = 1$），則退化為 6 參數剛體轉換（Rigid Body Transformation）。

---

解題方法

將地面雷射掃描儀的點雲三維坐標轉換至區域坐標系統，標準作法主要採用​「標靶控制點法（Target-based Georeferencing）」，輔以最小二乘平差法求解轉換參數。完整標準作業程序如下：

一、 控制點與標靶佈設（外業量測）

1. 控制網測設：於掃描測區周圍利用高精度全測站儀或 GNSS 衛星定位，施測已知控制點，取得各點在區域坐標系統下的高精度坐標 $(X_i, Y_i, Z_i)$。
2. 標靶架設：在控制點上整平架設特製雷射標靶（如黑白棋盤平面標靶 Checkerboard Target 或球形標靶 Spherical Target），或將標靶固定於測區內穩固位置並聯測其區域坐標。
3. 幾何配置原則：至少需設置 3 個以上不共線的控制標靶；實務上建議均勻分佈 4 至 6 個標靶，並包圍主要掃描主體，避免發生外插誤差。

二、 點雲掃描與同名標靶擷取（內業特徵提取）

1. 掃描儀於測站進行全景或細部點雲掃描。
2. 利用後處理軟體自動識別或人工交互點選標靶，擬合計算出各標靶中心在儀器自立坐標系統下的精確三維坐標 $(x_i, y_i, z_i)$。

三、 求解轉換參數（平差計算）

1. 方程式建立：每 1 個同名點（標靶）具備 3 個坐標分量，可列出 3 個觀測方程式。7 參數轉換模式共有 7 個未知數（$\Delta X, \Delta Y, \Delta Z, \omega, \phi, \kappa, \lambda$），因此理論上至少需 3 個不共線同名點（提供 9 個觀測方程式）。
2. 最小二乘平差（Least Squares Adjustment）：