108 司法特考三等 心理測驗員 心理及教育統計學 考古題詳解

核心觀念

本題比較兩組不同員工的平均腰圍：內勤人員 3 人、外勤人員 3 人，屬於兩獨立樣本平均數比較。題目問「外勤人員是否小於內勤人員」，因此使用獨立樣本單尾 $t$ 檢定，並採合併變異數估計。

檢定假設為：

其中 $\mu$ 代表該類人員的母群平均腰圍。合併變異數 $s_p^2$ 與檢定統計量為：

此方法假設兩組觀察值彼此獨立、母群近似常態，且兩組母群變異數相等。表格列出兩組各 3 筆不同員工資料，沒有表示每一列是同一員工的配對測量，因此按獨立樣本處理。

解題方法

先計算兩組平均數：

核心觀念

同 3 名嬰兒都接受 3 種音色的測量，因此這是單因子受試者內設計，也就是單因子重複量數變異數分析。受試者（嬰兒）間的個別差異須從誤差中分離，不能把 9 筆測量當成彼此獨立的單因子變異數分析。

先以重複量數 ANOVA 檢定三種音色的平均習慣化時間是否相同；若整體差異達顯著，再以 Tukey HSD 比較各音色的平均數。顯著水準為 $\alpha=0.05$。

解題方法與計算

令 $k=3$ 種音色、$n=3$ 名嬰兒。各音色的總和與平均數為：

總和為 $G=54$，總觀察值個數為 $N=9$，平方和校正項為：

總平方和：

音色平方和：

嬰兒平方和以各嬰兒的列總和 $20、16、18$ 計算：

因此誤差平方和為：

自由度與 $F$ 值如下：

核心觀念

本題考驗以最小平方法建立 $Y$ 對 $X$ 的簡單線性迴歸式。迴歸線寫作 $\hat{Y}=bX+a$，其中斜率與截距為：

解題方法

先求平均數：

計算斜率所需的兩個平方和與乘積和：

因此：

核心觀念

本題出自民國 108 年司法特考三等心理測驗員《心理及教育統計學》第四題，為標準的「名詞解釋與概念統整題」，配分每小題 5 分，共 25 分。命題核心涵蓋心理與教育統計中四大核心領域：

1. 迴歸分析之預測與殘差指標：估計標準誤。
2. 統計模型之基本假定（連續 vs. 類別自變數）：等分散性、變異數同質性。
3. 假設檢定決策理論：第一類型錯誤。
4. 多因子變異數分析（Factorial ANOVA）之效果分解：單純主要效果。

解題方法

解答統計學名詞解釋題時，若僅給出一句白話定義，通常僅能取得 2～3 分的及格邊緣分數。欲取得滿分（5 分／題），作答架構應採取「三段式標準模組」：

1. 精準定義：以專業統計術語清楚界定名詞內涵。
2. 數學公式與統計符號：列出關鍵公式或條件機率表徵，展現數理精準度。
3. 統計意涵與實務應用：說明其在檢定中的功用、違反假定之後果，或在研究決策中的角色。

各小題深度解析

（一）估計標準誤（Standard Error of Estimate）

1. 核心定義： 在簡單或多元線性迴歸分析中，估計標準誤（符號記為 $s_{e}$ 或 $s_{Y|X}$）係指實際觀察值（$Y$）圍繞迴歸預測線（$\hat{Y}$）之殘差（Residuals, $e = Y - \hat{Y}$）的標準差。它用來衡量迴歸方程式預測效能的精準度與誤差散布大小。

2. 計算公式： 在簡單線性迴歸中，樣本估計標準誤公式為： $s_{Y|X} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n (Y_i - \hat{Y}_i)^2}{n - 2}} = \sqrt{\frac{SS_{error}}{n - 2}} = \sqrt{MS_{error}}$ 若已知依變數標準差 $s_Y$ 與皮爾森積差相關係數 $r$，亦可表徵為： $s_{Y|X} \approx s_Y \sqrt{1 - r^2}$

3. 統計意涵與應用：

• 預測精準度指標：$s_{Y|X}$ 愈小，代表散布點距離迴歸線愈接近，迴歸模型的預測精確度愈高；反之，若 $r = 0$，則 $s_{Y|X} \approx s_Y$，代表迴歸模型完全沒有縮減預測誤差。
• 建構預測區間：可用於建立個別受試者預測值 $\hat{Y}_0$ 的條件預測區間（Prediction Interval）。

（二）等分散性（Homoscedasticity）

1. 核心定義： 等分散性（又稱同分散性、同質變異假定）是線性迴歸分析中古典高斯—馬可夫（Gauss-Markov）定理的基本假設之一。指自變數 $X$ 在所有不同取值或預測值 $\hat{Y}$ 的條件下，誤差項（或殘差項 $\epsilon_i$）具有恆定不變的變異數。

2. 符號表徵： 對所有的自變數觀測值 $X_i$，殘差的條件變異數滿足： $Var(\epsilon_i \mid X_i) = \sigma^2 \quad (\text{常數，不隨 } X_i \text{ 變化})$

3. 統計意涵與違反後果：

• 違反現象：若殘差變異數隨自變數水準增加而擴大（散布圖呈現漏斗形或扇形），稱為異分散性（Heteroscedasticity）。
• 違反後果：若違反等分散性，普通最小平方法（OLS）估計出的迴歸係數 $\hat{\beta}$ 仍具不偏性（Unbiased），但不再具備最小變異特性（失去 BLUE 有效性）；且迴歸係數的標準誤估計會產生偏誤，導致 $t$ 檢定與 $F$ 檢定的顯著性推論失準（型 I 錯誤率扭曲）。
• 診斷與補救：常用「殘差對預測值散布圖」、White 檢定、Breusch-Pagan 檢定診斷；違背時可採用加權最小平方法（WLS）或穩健標準誤（Robust Standard Errors）。

（三）變異數同質性（Homogeneity of Variance）

1. 核心定義： 變異數同質性是獨立樣本 $t$ 檢定與各類型變異數分析（ANOVA）​的基本母數假定。指在比較多個獨立樣本群組時，各組所抽樣自的母體，其變異數彼此相等。

2. 符號表徵： 若研究包含 $k$ 個獨立處理組，其母體變異數滿足虛無假設： $H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \dots = \sigma_k^2 = \sigma^2$

3. 統計意涵與違反後果：

• 強韌性條件：當各組樣本數相等（Balanced design, $n_1 = n_2 = \dots = n_k$）時，ANOVA 對輕微違反變異數同質性具有相當的強韌性（Robustness）。
• 違反後果：若各組樣本數不相等且變異數異質時，常規 ANOVA 之 $F$ 檢定將受到嚴重扭曲：
• 若樣本數大的組別變異數較大，檢定偏向保守（實際型 I 錯誤率小於 $\alpha$）。
• 若樣本數大的組別變異數較小，檢定偏向寬鬆（Liberal）（型 I 錯誤率大幅膨脹，易造成偽陽性）。
• 檢定與補救：常用 Levene's test 或 Bartlett's test 檢定；違背時應改用 Welch's ANOVA、Brown-Forsythe 檢定或進行資料轉換。

（四）第一類型錯誤（Type I Error）

1. 核心定義： 在統計假設檢定中，當虛無假設（$H_0$）實際上為真，研究者卻根據樣本資料計算出的檢定統計量落入拒絕區，做出「拒絕 $H_0$」的錯誤推論，俗稱「棄真錯誤」或「偽陽性（False Positive）」。