107 地方特考三等 農業技術 試驗設計 考古題詳解

核心觀念

本題評量雙因子完全隨機設計（Two-factor Completely Randomized Design, CRD）​之變方分析（ANOVA）與多重比較（Multiple Comparisons）。核心考點包含：

1. 變異來源與自由度分割： 設因子 A（養液）水準數為 $a=3$、因子 B（品種）水準數為 $b=2$、各處理組合重複數為 $r=3$，總觀測值個數 $N = a \times b \times r = 18$。

• 因子 A 自由度：$df_A = a - 1$
• 因子 B 自由度：$df_B = b - 1$
• 交互作用自由度：$df_{AB} = (a - 1)(b - 1)$
• 誤差自由度：$df_E = ab(r - 1)$
• 總自由度：$df_T = N - 1$

2. 平方和（SS）計算與相加性原理：

• 總平方和具相加性：$SS_{\text{總和}} = SS_A + SS_B + SS_{AB} + SS_E$。
• 主效應平方和： $SS_A = b \cdot r \sum_{i=1}^a (\bar{X}_{i\cdot} - \bar{X}_{\cdot\cdot})^2$ $SS_B = a \cdot r \sum_{j=1}^b (\bar{X}_{\cdot j} - \bar{X}_{\cdot\cdot})^2$
• 交互作用平方和可由相加性扣除得之（$SS_{AB} = SS_{\text{總和}} - SS_A - SS_B - SS_E$），亦可由處理組合均值直接計算： $SS_{AB} = r \sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^b (\bar{X}_{ij} - \bar{X}_{i\cdot} - \bar{X}_{\cdot j} + \bar{X}_{\cdot\cdot})^2$

3. 顯著性檢定與決策規則： 依據 $F = \frac{MS}{MSE}$，若 $p\text{-value} < \alpha$（或 $F > F_{\alpha}$），則拒絕虛無假設 $H_0$，代表該變因之效應顯著。
4. 顯著交互作用下的適當多重比較（Simple Effects）： 當雙因子試驗之「交互作用顯著」時，代表兩因子間存在加成性以外的交互影響，此時不可單獨評估與比較主效應平均值（因為主效應平均值會掩蓋特定水準下的真實反應）。最適當之分析方式為：

• 單純效應（Simple effects）分析：固定某一因子的水準，分別比較另一因子的水準差異。
• 處理組合均值（Treatment combination means）兩兩比較：針對全部 $a \times b = 6$ 個處理組合進行多重比較。

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解題方法

（一）填寫變方分析表 (a) 至 (g) 與顯著性檢定

步驟 1：計算自由度（DF）

• 養液自由度： $\text{(a)} = a - 1 = 3 - 1 = 2$
• 品種自由度： $\text{(b)} = b - 1 = 2 - 1 = 1$
• 養液 $\times$ 品種自由度： $\text{(c)} = (a - 1)(b - 1) = 2 \times 1 = 2$
• 總自由度： $\text{(d)} = N - 1 = 18 - 1 = 17$ （驗算：$2 + 1 + 2 + 12 = 17$，誤差自由度題給為 $12$）

步驟 2：計算平方和（SS）

• 養液平方和 $\text{(e)}$： 各養液平均值分別為 $\bar{X}_{1\cdot} = 14.85$、$\bar{X}_{2\cdot} = 18.05$、$\bar{X}_{3\cdot} = 13.05$；總平均 $\bar{X}_{\cdot\cdot} = 15.3167$（題表標示為 $15.32$），每組樣本數為 $b \times r = 2 \times 3 = 6$。 $SS_{\text{養液}} = 6 \times \left[(14.85 - 15.3167)^2 + (18.05 - 15.3167)^2 + (13.05 - 15.3167)^2\right] = 76.96$ 故 $\text{(e)} = 76.96$。

• 品種平方和 $\text{(f)}$： 各品種平均值分別為 $\bar{X}_{\cdot 1} = 15.57$、$\bar{X}_{\cdot 2} = 15.07$，每組樣本數為 $a \times r = 3 \times 3 = 9$。 $SS_{\text{品種}} = 9 \times \left[(15.57 - 15.32)^2 + (15.07 - 15.32)^2\right] = 9 \times \left[0.25^2 + (-0.25)^2\right] = 1.125 \approx 1.13$ 故 $\text{(f)} = 1.13$（或小數三位 $1.125$）。

• 養液 $\times$ 品種平方和 $\text{(g)}$： 依變方分析表之平方和相加性原則，採扣除法求解： $SS_{\text{養液}\times\text{品種}} = SS_{\text{總和}} - SS_{\text{養液}} - SS_{\text{品種}} - SS_{\text{誤差}}$ $\text{(g)} = 84.20 - 76.96 - 1.13 - 1.38 = 4.73$ （若採精確值 $1.125$ 扣除，則為 $84.20 - 76.96 - 1.125 - 1.38 = 4.735 \approx 4.74$）

步驟 3：變因顯著性檢定

• 誤差均方 $MSE = \frac{SS_E}{df_E} = \frac{1.38}{12} = 0.115$。
• 檢定統計量：
• 養液：$F = \frac{76.96 / 2}{0.115} = \frac{38.48}{0.115} \approx 334.61$
• 品種：$F = \frac{1.125 / 1}{0.115} \approx 9.78$
• 交互作用：$F = \frac{4.735 / 2}{0.115} \approx 20.59$
• 查表臨界值（$\alpha = 0.05$）：$F_{0.05}(2, 12) = 3.89$、$F_{0.05}(1, 12) = 4.75$。
• 決策：題目所給各變因之 $p\text{-value}$ 皆小於 $0.0001 < \alpha = 0.05$（且計算之 $F$ 值皆遠大於臨界值），故拒絕虛無假設。在 $\alpha = 0.05$ 顯著水準下，養液主效應、品種主效應、以及養液與品種之交互作用效應皆達到極顯著差異。

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（二）最小顯著差異法（LSD）之適當兩兩處理均值比較

因交互作用達極顯著水準（$p < 0.0001$），主效應平均值不能代表單一因子在所有情況下的表現，故不得逕行比較養液或品種之主效應平均值。適當之比較為「處理組合均值比較」及「單純效應（Simple effects）比較」。

步驟 1：計算處理組合均值之 $LSD$ 臨界值 每個處理組合平均值由 $r=3$ 個重複計算而得，自由度為誤差自由度 $12$： $LSD_{0.05} = t(0.975, 12) \times \sqrt{\frac{2 \times MSE}{r}} = 2.18 \times \sqrt{\frac{2 \times 0.115}{3}} = 2.18 \times \sqrt{0.07667} \approx 2.18 \times 0.2769 \approx 0.604$

步驟 2：單純效應比較（Simple Effects）

1. 固定品種，比較不同養液：

• 在品種 $V_1$ 下：植株高度表現為 $T_2(18.3) > T_1(15.8) > T_3(12.6)$。
• $T_2 - T_1 = 18.3 - 15.8 = 2.5 > 0.604$（顯著）
• $T_1 - T_3 = 15.8 - 12.6 = 3.2 > 0.604$（顯著）

核心觀念

1. 巢式設計（Nested Design / Hierarchical Design）的基本架構： 在多因子試驗中，若某一因子各水準僅出現於另一因子的特定水準之內，彼此間不存在對稱跨越（Crossed）的搭配關係，則稱為巢式設計。 本題中，各縣市隨機選取各自的 3 處碾米廠，甲縣市的碾米廠與乙縣市的碾米廠彼此獨立、互不相干，屬於「碾米廠巢套於縣市內（Mill nested within County）」，記為 $B(A)$。各廠抽出的 5 個樣本則為取樣重複或試驗機差。

2. 試驗水準與樣品數符號設定：

• 縣市（主因子 $A$）水準數：$a = 3$。
• 碾米廠（副因子 $B$，巢套於 $A$ 內）水準數：$b = 3$。
• 各廠樣本重複數（取樣數 $n$）：$n = 5$。
• 總觀測值數：$N = a \times b \times n = 3 \times 3 \times 5 = 45$。

3. 自由度分割原理： $DF_{\text{Total}} = DF_A + DF_{B(A)} + DF_E$

• 總自由度：$N - 1 = abn - 1$
• 縣市間自由度：$a - 1$
• 縣市內碾米廠間自由度：$a(b - 1)$
• 機差自由度（廠內樣本間）：$ab(n - 1)$

4. 期望均方（Expected Mean Squares, EMS）與 $F$ 檢定原則： 線性統計模式為： $Y_{ijk} = \mu + \alpha_i + \beta_{j(i)} + \epsilon_{k(ij)}$ 其中 $i = 1, \dots, a$；$j = 1, \dots, b$；$k = 1, \dots, n$。

• $\alpha_i$：第 $i$ 縣市效應。
• $\beta_{j(i)}$：第 $i$ 縣市內第 $j$ 碾米廠之效應。
• $\epsilon_{k(ij)}$：第 $i$ 縣市第 $j$ 廠內第 $k$ 樣本之機差，假設 $\epsilon_{k(ij)} \sim \text{i.i.d. } N(0, \sigma^2)$。 進行假說檢定時，$F$ 統計量之分子為欲檢定變因之均方（$MS$），分母均方之選擇必須滿足：「在虛無假說（$H_0$）成立之條件下，分子與分母之期望均方（EMS）數值相等」。

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解題方法

（一）變方分析表之變因與自由度推導

依據巢式二因子設計架構，總變異可完全拆解為三部分：

1. 縣市（Factor A）： $DF_A = a - 1 = 3 - 1 = 2$
2. 碾米廠（縣市）（Factor B within A）： 每個縣市有 $b = 3$ 處碾米廠，其廠間自由度為 $b - 1 = 2$，共有 $a = 3$ 個縣市： $DF_{B(A)} = a(b - 1) = 3 \times (3 - 1) = 6$
3. 機差（Error，廠內樣本間）： 每個碾米廠抽取 $n = 5$ 個樣本，各廠內部樣本自由度為 $n - 1 = 4$，總共有 $a \times b = 9$ 個碾米廠： $DF_E = ab(n - 1) = 3 \times 3 \times (5 - 1) = 36$
4. 總變異（Total）： $DF_{\text{Total}} = abn - 1 = 45 - 1 = 44$ 驗算：$2 + 6 + 36 = 44$，自由度分割正確。

變方分析表架構如下：

變異來源（變因, Source）	自由度公式	自由度數值 ($DF$)
縣市（County, $A$）	$a - 1$	$2$
碾米廠（縣市）（Mill within County, $B(A)$）	$a(b - 1)$	$6$
機差（Error, $E$）	$ab(n - 1)$	$36$
總變異（Total）	$abn - 1$	$44$

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（二）不同效應型態下 $F$ 統計值計算式之推導

題目設定：縣市為固定效應（Fixed Effect），限制條件為 $\sum_{i=1}^a \alpha_i = 0$。

狀況一：碾米廠為「隨機效應型因子」（混合效應模式, Mixed Model）

若各縣市之碾米廠為隨機抽樣所得，則 $\beta_{j(i)}$ 為隨機變數，假設 $\beta_{j(i)} \sim \text{i.i.d. } N(0, \sigma_B^2)$。 各變因均方的期望值（EMS）為：

• $E(MS_E) = \sigma^2$
• $E(MS_{B(A)}) = \sigma^2 + n\sigma_B^2$
• $E(MS_A) = \sigma^2 + n\sigma_B^2 + \dfrac{bn\sum_{i=1}^a \alpha_i^2}{a - 1}$

$F$ 統計值之檢定式推導：

1. 檢驗碾米廠（縣市）效應：

• 虛無假說 $H_0: \sigma_B^2 = 0$
• 當 $H_0$ 成立時，$E(MS_{B(A)}) = \sigma^2 = E(MS_E)$。
• 因此以 $MS_E$ 為分母： $F_{B(A)} = \frac{MS_{B(A)}}{MS_E}$ 服從自由度為 $(6, 36)$ 的 $F$ 分布。

2. 檢驗縣市效應：

• 虛無假說 $H_0: \alpha_1 = \alpha_2 = \dots = \alpha_a = 0$（即稻穀平均含水量在各縣市間無顯著差異）。

核心觀念

1. 拉丁方設計（Latin Square Design, LSD）之原理與隨機化限制

• 雙向區集限制（Double Blocking）：當田間試驗同時存在兩個互相垂直（正交）的環境變異梯度時（本題中為灌溉水梯度與土壤種類梯度），採用拉丁方設計可將試驗田區劃分為 $t$ 列（Rows）與 $t$ 行（Columns），分別控制兩方向的變異，以降低試驗誤差。
• 隨機分配之約束：處理數（$t$）、列數（$t$）與行數（$t$）必須相等。每一處理在每一列與每一行中「恰好出現一次」。因此，隨機化不能採取完全隨機設計（CRD）的方式任意排列，必須透過標準方陣隨機重排列、行及處理代號，維持拉丁方的正交結構。

2. 最小顯著差異法（Fisher's Least Significant Difference, LSD）與字母表示法

• 檢定統計量：在變方分析（ANOVA）之 $F$ 檢定達顯著水準後，計算最小顯著差異值： $LSD_{\alpha} = t_{\alpha/2,\, df_E} \times \sqrt{\frac{2 \cdot MSE}{r}}$ 其中 $MSE$ 為誤差均方，$r$ 為各處理之重複數（本題 $r = t = 5$），$df_E$ 為誤差自由度 $(t-1)(t-2) = (5-1)(5-2) = 12$。
• 字母表示法（Letter Display）判讀原則：
• 含有相同字母者：表示兩處理平均值之差異小於 $LSD_{\alpha}$，在顯著水準 $\alpha = 0.05$ 下未達統計顯著差異（$p > 0.05$）。
• 不具任何相同字母者：表示兩處理平均值之差異大於或等於 $LSD_{\alpha}$，在顯著水準 $\alpha = 0.05$ 下達統計顯著差異（$p \le 0.05$）。

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解題方法

（一）拉丁方設計之隨機分配步驟（15 分）

本題處理數 $t = 5$（播種密度 $A$、$B$、$C$、$D$、$E$），需建立 $5 \times 5$ 的拉丁方陣。為確保試驗符合隨機化原則且不破壞雙向區集結構，標準田間隨機分配步驟如下：

1. 選定基準方陣（標準拉丁方，Standard Latin Square） 選取或繪製一個 $5 \times 5$ 的標準拉丁方（即第一列與第一行皆按字母順序排列），例如：

$$\begin{matrix} A & B & C & D & E \\ B & C & D & E & A \\ C & D & E & A & B \\ D & E & A & B & C \\ E & A & B & C & D \end{matrix}$$

2. 列（Rows）的隨機重排 對應田間的第一個變異因子（灌溉水梯度）。利用亂數表或隨機抽樣，將第 1 列至第 5 列的先後順序進行隨機排列（共 $5! = 120$ 種可能排列）。

3. 行（Columns）的隨機重排 對應田間的第二個變異因子（土壤種類梯度）。同樣利用亂數表，將第 1 行至第 5 行的先後順序獨立進行隨機排列（共 $5! = 120$ 種可能排列）。

4. 處理代號之隨機指派 將試驗中的五種播種密度實際處理，隨機指派給方陣中的代號字母 $A$、$B$、$C$、$D$、$E$。

5. 實地小區佈設 依照最終重排獲得之 $5 \times 5$ 拉丁方陣，將各對應播種密度精準落實至田間對應的列區集（水梯度）與行區集（土壤梯度）交會小區中。

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（二）五種播種密度之小麥平均產量比較結果說明（15 分）