111 地方特考三等 農業技術 試驗設計 考古題詳解

核心觀念

本題為農業試驗設計之基礎核心考題，評量考生對「推論統計多重檢定」與「變方分析（ANOVA）基本原理」之理解，主要包含兩大核心觀念：

1. 型一誤差率膨脹（Familywise / Experimentwise Type I Error Rate Inflation）： 當處理數 $k \ge 3$ 時，若重複採用獨立樣本雙樣本 $t$ 檢定進行所有兩兩配對比較，比較次數為組合數 $c = \binom{k}{2} = \frac{k(k-1)}{2}$。在個別檢定顯著水準為 $\alpha$（通常為 $0.05$）且假設各檢定獨立之情況下，整組試驗「至少發生一次型一誤差（偽陽性）」之機率為： $\alpha_E = 1 - (1 - \alpha)^c$ 此機率將隨處理數增加而急遽上升，嚴重破壞統計推論之嚴謹度。此外，個別 $t$ 檢定僅使用兩處理之局部樣本估計變異數，未能利用全體試驗資料估計合併機差均方（Mean Square Error, $MSE$），降低了檢定效率與自由度。
2. 變方分析之變異剖分原理（Partition of Total Variation）： 變方分析（Analysis of Variance, ANOVA）由 R. A. Fisher 提出，其核心邏輯是將觀察值之「總變異」（總離均差平方和 $SS_{Total}$）依試驗設計模式剖分為「處理間變異」（$SS_{Treatment}$）與「試驗機差變異」（$SS_{Error}$），透過 $F$ 檢定統計量（$F = \frac{MS_{Treatment}}{MS_{Error}}$）進行綜合檢定（Omnibus test），一次性判斷所有處理平均值是否全無差異，同時將整組試驗之型一誤差率嚴格控制在預設之 $\alpha$ 水準。

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解題方法

一、多個處理平均值比較不適合採用 $t$ 檢定之原因與實例

1. 原因解析：

• 型一誤差率（$\alpha$）急遽膨脹：設定個別檢定之顯著水準為 $\alpha$（比較型一誤差率，Comparison-wise error rate, $\alpha_C$），當進行多組兩兩比較時，全試驗型一誤差率（Experimentwise error rate, $\alpha_E$）將大幅增加。原本研究者希望將「虛無假設為真卻被拒絕」的風險壓在 $5\%$，多次檢定後該風險將遠超可接受範圍。
• 機差變異估計不一致且自由度偏低：多次 $t$ 檢定每次僅採用受檢之兩處理樣本計算合併變異數（Pooled Variance），未利用全體試驗的殘差估計值，失去合併更多重複以提升機差自由度與檢定力（Power）的優勢。
• 檢定之間非完全獨立：各配對比較間共用相同的處理資料（如比較 $\mu_A$ 與 $\mu_B$、$\mu_A$ 與 $\mu_C$ 均包含處理 $A$），比較彼此相關，導致整體統計機率結構扭曲。

2. 實例說明：

• 假設一水稻肥培試驗比較 $4$ 種不同氮肥施用量處理（$A, B, C, D$），設定各次檢定之顯著水準 $\alpha = 0.05$。
• 若要比較所有處理間是否有差異，需進行兩兩比較的總次數為： $c = \binom{4}{2} = \frac{4 \times (4 - 1)}{2} = 6 \text{ 次}$ （即 $A\text{ vs }B$、$A\text{ vs }C$、$A\text{ vs }D$、$B\text{ vs }C$、$B\text{ vs }D$、$C\text{ vs }D$ 共 6 次 $t$ 檢定）。
• 若四個處理間產量實際上完全無差異（$H_0$ 全為真），則 6 次檢定「均未犯型一誤差」的機率為 $(1 - 0.05)^6 = (0.95)^6 \approx 0.7351$。
• 整組試驗「至少犯一次型一誤差（誤判其中任一對處理有顯著差異）」之全試驗機率為： $\alpha_E = 1 - (0.95)^6 \approx 1 - 0.7351 = 0.2649 \quad (26.49\%)$
• 結論：原先宣稱顯著水準為 $5\%$，但實際上犯型一誤差的機率已暴增至 $26.49\%$（超過 $1/4$ 機率產生假陽性）。若處理數增加至 5 個（$c = 10$），$\alpha_E$ 更高達 $40.13\%$。因此，不可採用多次 $t$ 檢定進行多處理平均值之比較。

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二、何謂變方分析（Analysis of Variance, ANOVA）之詳細說明

1. 定義與基本概念： 變方分析是一種將一組試驗資料的「總變異」（Total Variation）依其潛在成因剖分為不同變異來源，並藉由各變異之「均方比值」（$F$ 統計量）進行統計推論的假設檢定方法。其目的在於以單一全體檢定（Omnibus test）評估三個或三個以上之母體平均值是否均相等。

2. 基本假設（Assumptions）： 變方分析之有效性建立於機差項需滿足高斯-馬可夫及常態假設：

• 常態性（Normality）：試驗機差 $\epsilon_{ij}$ 呈常態分佈。
• 同質性（Homogeneity of Variance）：各處理之母體變異數相等（$\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \dots = \sigma_k^2 = \sigma^2$）。

核心觀念

本題旨在考驗農業試驗設計中局部控制（Local control）​於田間實務的落實，核心在於透過「試區（Plot）規格」與「區集（Block）劃分」有效降低因土壤異質性（Soil heterogeneity）及肥力梯度（Fertility gradient）所引致之試驗誤差（Experimental error）。

1. 田間變異特性：田間土壤肥力、水分、坡度常呈現漸進性或條帶狀之梯度變異（Fertility gradient）。
2. 費爾菲德・史密斯土壤異質性經驗法則（Fairfield Smith's Empirical Law）： $V_x = \frac{V_1}{x^b}$ 其中 $V_x$ 為大小為 $x$ 個單位之試區的平均變異數，$V_1$ 為單位試區變異數，$x$ 為試區面積，$b$ 為土壤異質性係數（$0 \le b \le 1$）。當 $b=1$ 時，各單位間完全獨立；當 $b=0$ 時，各單位間完全正相關。
3. 局部控制準則：

• 試區內：異質性最大化（Intra-plot heterogeneity），使試區充分涵蓋環境變異，以降低「試區間」差異。
• 區集內：同質性最大化（Intra-block homogeneity），使同一區集內的環境條件高度一致。
• 區集間：異質性最大化（Inter-block heterogeneity），將田間大範圍的環境梯度差異分離至區集效應（Block effect）中，不計入試驗誤差。

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解題方法

本題為國家考試之經典申論題型，答題切入點應分為兩大維度：「試區規劃（Plot Planning）」與「區集規劃（Block Planning）」，並在每個維度下精確拆解「考慮因素」與「決定原則」：

1. 試區規劃之切入：

• 考慮因素：作物生物學特性、田間農事操作（機械化作業）、邊緣效應（Border effect）、土壤肥力變異方向與試驗成本效益。
• 決定原則：大小決定（Smith 法則與成本曲線之邊際效益）、形狀與走向決定（長條形試區且長軸順應肥力梯度）。

2. 區集規劃之切入：

• 考慮因素：土壤肥力梯度之方向與維度、試驗處理數目（Treatments）、地形地勢（坡度、排水方向）。
• 決定原則：方向劃分（區集長軸垂直於肥力梯度，或區集邊界沿等高線／等肥力線劃分）、形狀決定（盡量為緊湊正方形）、大小決定（受完全區集之處理數限制；處理過多時引進不完全區集設計）。

3. 二者之整合配置：長條形試區橫跨梯度排列，組合成緊湊正方形區集。

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選項分析

本題為申論問答題，非選擇題，無個別選項分析。作答架構與應試標準寫法詳見【答案】。

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解題技巧

1. 記憶口訣：

• 「試區順梯度、區集截梯度」：試區長軸必須平行於土壤肥力梯度（變異最大方向）；區集走向則必須垂直於肥力梯度（確保區集內處於相同肥力位階）。

2. 拿分亮點（專業深度）：

• 提及「試區大小」時，寫出 Fairfield Smith's Law ($V_x = V_1 / x^b$)，並說明邊際成本效益，閱卷老師能直接給出頂標分數。
• 提及「區集大小」時，點出當處理數過多導致區集膨脹、破壞區集內同質性時，應由逢機完全區集設計（RCBD）轉為不完全區集設計（Incomplete Block Design, IBD）​或格子設計（Lattice design）。

3. 常見陷阱：

• 容易將試區長軸方向與區集長軸方向寫反。記住：長條形試區是為了「包含內部最大變異」，區集則是為了「維持內部最小變異」。
• 忽略實務因素（如插秧機、收割機等農機迴轉與行距限制），僅答純理論統計原則會顯得作答僵化。

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【答案】

在進行田間試驗時，規劃適當的試區（Plot）與區集（Block）以克服土壤異質性、降低試驗誤差，其應考慮之因素與決定原則如下：

一、試區（Plot）規劃

核心觀念

本題評量三因子二等級（$2^3$）複因子試驗於完全隨機設計（CRD）下的效應估計、標準誤差推導與變方分析（ANOVA）：

1. 處理組合與代號： 因子 $A$（氮）、$B$（磷）、$C$（鉀）各有低（$-$）與高（$+$）兩等級，共有 $2^3 = 8$ 種處理組合。依葉氏（Yates）標準符號表示為：$(1), a, b, ab, c, ac, bc, abc$。重複數 $r = 2$，總試驗單位數 $N = r \times 2^k = 2 \times 8 = 16$。
2. 效應估計值（Effect Estimate）： 在 $2^k$ 因子設計中，效應定義為該因子或交感作用在「高水準平均值」與「低水準平均值」之差： $\text{Effect} = \bar{y}_{(+)} - \bar{y}_{(-)} = \frac{\text{Contrast}}{r \cdot 2^{k-1}}$ 其中對比值（Contrast, $C$）由各處理合計值依正負符號代數和計算而得。
3. 效應的標準誤差（Standard Error of Effect）： 由於 $\bar{y}_{(+)}$ 與 $\bar{y}_{(-)}$ 各由 $r \cdot 2^{k-1}$ 個獨立觀測值平均而得，其變異數為： $\text{Var}(\text{Effect}) = \text{Var}(\bar{y}_{(+)} - \bar{y}_{(-)}) = \frac{\sigma^2}{r \cdot 2^{k-1}} + \frac{\sigma^2}{r \cdot 2^{k-1}} = \frac{\sigma^2}{r \cdot 2^{k-2}}$ 以機差均方（$MS_E$）不偏估計 $\sigma^2$，得標準誤差公式： $SE(\text{Effect}) = \sqrt{\frac{MS_E}{r \cdot 2^{k-2}}}$
4. 變方分析（ANOVA）之平方和： 每個效應均具備 1 個自由度，其平方和（$SS$）由對比值求得： $SS = \frac{(\text{Contrast})^2}{r \cdot 2^k}$

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解題方法

步驟一：整理各處理組合之合計值（$Y$）

依題目數據計算各處理組合的兩次重複合計值：

• $(1)$（$-- -$）：$100 + 120 = 220$
• $a$（$+--$）：$190 + 210 = 400$
• $b$（$-+-$）：$240 + 260 = 500$
• $ab$（$++-$）：$280 + 300 = 580$
• $c$（$--+$）：$160 + 180 = 340$
• $ac$（$+-+$）：$220 + 260 = 480$
• $bc$（$-++$）：$300 + 200 = 500$
• $abc$（$+++$）：$300 + 290 = 590$

總總和 $G = 220 + 400 + 500 + 580 + 340 + 480 + 500 + 590 = 3610$

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步驟二：計算各效應之對比值（Contrast）與效應估計值

本題 $k = 3, r = 2$，分母 $r \cdot 2^{k-1} = 2 \cdot 2^2 = 8$。

1. 主效應 $A$（氮肥）： $C_A = (a-1)(b+1)(c+1) = -Y_{(1)} + Y_a - Y_b + Y_{ab} - Y_c + Y_{ac} - Y_{bc} + Y_{abc}$ $C_A = (400 + 580 + 480 + 590) - (220 + 500 + 340 + 500) = 2050 - 1560 = 490$ $\text{Effect } A = \frac{490}{8} = 61.25$

2. 主效應 $B$（磷肥）： $C_B = (a+1)(b-1)(c+1) = -Y_{(1)} - Y_a + Y_b + Y_{ab} - Y_c - Y_{ac} + Y_{bc} + Y_{abc}$ $C_B = (500 + 580 + 500 + 590) - (220 + 400 + 340 + 480) = 2170 - 1440 = 730$ $\text{Effect } B = \frac{730}{8} = 91.25$

3. 主效應 $C$（鉀肥）： $C_C = (a+1)(b+1)(c-1) = -Y_{(1)} - Y_a - Y_b - Y_{ab} + Y_c + Y_{ac} + Y_{bc} + Y_{abc}$ $C_C = (340 + 480 + 500 + 590) - (220 + 400 + 500 + 580) = 1910 - 1700 = 210$ $\text{Effect } C = \frac{210}{8} = 26.25$

4. 二級交感效應 $AB$： $C_{AB} = (a-1)(b-1)(c+1) = Y_{(1)} - Y_a - Y_b + Y_{ab} + Y_c - Y_{ac} - Y_{bc} + Y_{abc}$ $C_{AB} = (220 + 580 + 340 + 590) - (400 + 500 + 480 + 500) = 1730 - 1880 = -150$ $\text{Effect } AB = \frac{-150}{8} = -18.75$

5. 二級交感效應 $AC$： $C_{AC} = (a-1)(b+1)(c-1) = Y_{(1)} - Y_a + Y_b - Y_{ab} - Y_c + Y_{ac} - Y_{bc} + Y_{abc}$ $C_{AC} = (220 + 500 + 480 + 590) - (400 + 580 + 340 + 500) = 1790 - 1820 = -30$ $\text{Effect } AC = \frac{-30}{8} = -3.75$

6. 二級交感效應 $BC$： $C_{BC} = (a+1)(b-1)(c-1) = Y_{(1)} + Y_a - Y_b - Y_{ab} - Y_c - Y_{ac} + Y_{bc} + Y_{abc}$ $C_{BC} = (220 + 400 + 500 + 590) - (500 + 580 + 340 + 480) = 1710 - 1900 = -190$ $\text{Effect } BC = \frac{-190}{8} = -23.75$

7. 三級交感效應 $ABC$： $C_{ABC} = (a-1)(b-1)(c-1) = -Y_{(1)} + Y_a + Y_b - Y_{ab} + Y_c - Y_{ac} - Y_{bc} + Y_{abc}$ $C_{ABC} = (400 + 500 + 340 + 590) - (220 + 580 + 480 + 500) = 1830 - 1780 = 50$ $\text{Effect } ABC = \frac{50}{8} = 6.25$

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步驟三：計算平方和（$SS$）與均方（$MS$）

分母 $r \cdot 2^k = 2 \times 8 = 16$：

1. 各變因平方和：

• $SS_A = \frac{490^2}{16} = \frac{240100}{16} = 15006.25$
• $SS_B = \frac{730^2}{16} = \frac{532900}{16} = 33306.25$
• $SS_C = \frac{210^2}{16} = \frac{44100}{16} = 2756.25$
• $SS_{AB} = \frac{(-150)^2}{16} = \frac{22500}{16} = 1406.25$
• $SS_{AC} = \frac{(-30)^2}{16} = \frac{900}{16} = 56.25$

核心觀念

1. 試驗設計型態識別（拉丁方格設計，Latin Square Design, LSD）：

• 處理因子（Treatment）：收穫時間（$T_1, T_2, T_3, T_4$），共 $t = 4$ 個水準。
• 雙向集區因子（Two-way Blocking Factors）：
• 列集區（Row Block）：植株（$P_1, P_2, P_3, P_4$），共 $r = 4$ 株，用以消除植株個體間的生長變異。
• 行集區（Column Block）：葉片大小（$S_1, S_2, S_3, S_4$），共 $c = 4$ 種規格，用以消除葉片發育與大小對含水量的生理變異。
• 試驗規模與特性：總試驗單位數為 $N = 4 \times 4 = 16$ 片葉片。每個收穫時間點均取樣自 4 株不同植株且涵蓋 4 種葉片大小，每個處理在各植株與各葉片大小中均恰好出現一次，符合 $4 \times 4$ 拉丁方格設計之限制。

2. 隨機化原則（Randomization）：

• 拉丁方格不能直接採用標準方格配置，必須透過「標準方格選取 $\to$ 列與行之隨機重排 $\to$ 處理符號隨機賦予」之步驟以滿足隨機試驗之獨立性要求。

3. 線性統計模式與假設（Linear Statistical Model & Assumptions）：

• 模式為三因子加性模式（Additive Model）。
• 需滿足參數約束條件（固定效應假設）、機差常態獨立同質分配假設，以及各因子間無交感作用（No Interaction）之結構假設。

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解題方法

(一) 符合此「隨機」試驗之進行步驟

拉丁方格試驗之進行包含「試驗單元劃分」、「方格隨機化操作」與「實地取樣量測」三個階段，具體步驟如下：

1. 定義試驗單位與集區架構：

• 選定 4 株生長勢相近之甜瓜植株（$P_1 \sim P_4$）作為列集區。
• 於每株植株上標定 4 種不同大小之葉片（$S_1 \sim S_4$）作為行集區。
• 全試驗共計 $4 \times 4 = 16$ 個試驗單位（葉片）。

2. 隨機化配置（Randomization Process）：

• 步驟 1（選定基準方格）：選定一個 $4 \times 4$ 的標準拉丁方格（Standard Latin Square），以英文字母代號 $A, B, C, D$ 代表四個處理： $\begin{pmatrix} A & B & C & D \\ B & C & D & A \\ C & D & A & B \\ D & A & B & C \end{pmatrix}$
• 步驟 2（隨機排列各列）：利用亂數表或抽籤法，將 4 個列（植株 $P_1 \sim P_4$）的順序進行完全隨機重排。
• 步驟 3（隨機排列各行）：利用亂數表或抽籤法，將 4 個行（葉片大小 $S_1 \sim S_4$）的順序進行完全隨機重排。
• 步驟 4（隨機指派處理）：將 4 個收穫時間水準（$T_1, T_2, T_3, T_4$）隨機指派至英文字母 $A, B, C, D$。

3. 實地取樣與試驗執行：

• 依最終隨機化方格配置表，標記各植株上各大小葉片所屬之收穫時間。
• 於各指定收穫時間點（$T_1 \sim T_4$），採集對應的 4 片葉片（每一時間點取樣來自 4 株不同植株、且各為 4 種不同大小葉片），立即量測並記錄葉片含水量。

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(二) 線性統計模式、各成分意義及限制條件

1. 線性統計模式（Linear Statistical Model）

此試驗資料之分析採用 $4 \times 4$ 拉丁方格設計之線性統計模式：

$Y_{ijk} = \mu + \tau_i + \rho_j + \gamma_k + \epsilon_{ijk}$

其中：

• $i = 1, 2, 3, 4$（收穫時間處理水準）
• $j = 1, 2, 3, 4$（植株列集區）
• $k = 1, 2, 3, 4$（葉片大小行集區）
• 觀測值總數為 16（因各列與行中處理僅出現一次，指標 $i, j, k$ 受拉丁方格配置約束）。

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2. 模式中各成分之意義

• $Y_{ijk}$：在第 $j$ 株植株（$P_j$）、第 $k$ 個大小葉片（$S_k$）上，接受第 $i$ 個收穫時間（$T_i$）處理時所測得之葉片含水量觀測值。
• $\mu$：總體平均值（總平均葉片含水量）。
• $\tau_i$：第 $i$ 個收穫時間之處理效應（Treatment effect of harvest time $T_i$）。
• $\rho_j$：第 $j$ 株植株之列集區效應（Row block effect of plant $P_j$）。
• $\gamma_k$：第 $k$ 個葉片大小之行集區效應（Column block effect of leaf size $S_k$）。