109 地方特考三等 農業技術 試驗設計 考古題詳解

核心觀念

本題考已知母體標準差 $\sigma$ 時，單一母體平均數的左尾 $Z$ 檢定，以及如何依指定的型一誤差 $\alpha$、型二誤差 $\beta$ 和欲偵測的平均數差異，計算所需樣本數。

假設樣本來自常態母體，或樣本數足夠大使樣本平均數近似常態，則

$$\bar X\sim N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right).$$

因為對立假說為 $H_a:\mu<540$，檢定採左尾方向。當 $\alpha=0.05$ 時，左尾臨界值為 $-Z_{0.05}=-1.645$。

解題方法

設拒絕域為 $\bar X<c$。要使型一誤差為 $0.05$，在虛無假說邊界 $\mu_0=540$ 下，須有

$$P_{\mu=540}(\bar X<c)=0.05.$$

標準化後：

$$\frac{c-540}{88/\sqrt n}=-1.645,$$

所以臨界值為

$$c=540-1.645\frac{88}{\sqrt n}.$$

型二誤差是實際平均數為 $\mu_1=520$ 時，未拒絕虛無假說的機率。未拒絕域為 $\bar X\ge c$，因此

$$P_{\mu=520}(\bar X\ge c)=0.01.$$

由 $P(Z\ge 2.33)=0.01$，可得

$$\frac{c-520}{88/\sqrt n}=2.33,$$

即

$$c=520+2.33\frac{88}{\sqrt n}.$$

核心觀念

本題比較四種處理的平均產量，考查單因子完全隨機設計與二因子隨機完全區集設計（randomized complete block design, RCBD）的變異數分析。

單因子 ANOVA 將總變異分解為「處理間變異」與「誤差變異」：

$$SS_{\text{總}}=SS_{\text{處理}}+SS_{\text{誤差}}$$

二因子區集 ANOVA 則再將區集造成的變異分離：

$$SS_{\text{總}}=SS_{\text{處理}}+SS_{\text{區集}}+SS_{\text{誤差}}$$

檢定統計量為變異來源均方除以誤差均方，即 $F=MS_{\text{來源}}/MS_{\text{誤差}}$。在顯著水準 $\alpha=0.05$ 下，若計算所得 $F$ 大於題目所列臨界值，便拒絕該來源效果為零的虛無假設。

解題方法

先整理各處理的總和、總平均與平方和，再依設計計算處理、區集及誤差平方和。所有平方和均可用「各組總和平方除以組內觀測數，再減修正項」計算：

$$C=\frac{G^2}{N}, \qquad SS_{\text{總}}=\sum y_{ij}^2-C$$

其中 $G$ 為總和，$N$ 為觀測值總數。各處理總和為 $252,180,186,234$，總和 $G=852$，觀測數 $N=12$，故：

$$C=\frac{852^2}{12}=60{,}504$$

全體觀測值平方和為 $63{,}414$，因此：

$$SS_{\text{總}}=63{,}414-60{,}504=2{,}910$$

（一）單因子變異數分析

虛無假設為四種處理的平均產量相同：

$$H_0:\mu_1=\mu_2=\mu_3=\mu_4$$

對立假設為至少有一種處理的平均產量不同。

處理平方和為：

$$SS_{\text{處理}} =\frac{252^2+180^2+186^2+234^2}{3}-60{,}504 =1{,}248$$

誤差平方和為：

$$SS_{\text{誤差}}=SS_{\text{總}}-SS_{\text{處理}} =2{,}910-1{,}248=1{,}662$$

自由度分別為：處理 $4-1=3$、總計 $12-1=11$、誤差 $11-3=8$。因此：

變動來源	自由度	平方和	均方	$F$ 值
處理	3	1,248	416.00	$416/207.75=2.00$
誤差	8	1,662	207.75	—
總計	11	2,910	—	—

比較 $F=2.00$ 與臨界值 $F_{3,8,0.05}=4.07$，因 $2.00<4.07$，不拒絕 $H_0$。在 $0.05$ 顯著水準下，沒有足夠證據認定四種處理的平均產量有顯著差異。

（二）二因子變異數分析：區集設計

將表格的三欄視為三個區集，每個區集都包含四種處理。虛無假設分別為：

核心觀念

本題考查皮爾森積差相關係數、決定係數，以及母體相關係數的顯著性檢定。共有 $n=13$ 年觀測值，題目提供各變數及交叉乘積的總和，可直接使用原始資料總和公式計算相關係數：

$$r=\frac{\sum xy-\frac{(\sum x)(\sum y)}{n}} {\sqrt{\left[\sum x^2-\frac{(\sum x)^2}{n}\right] \left[\sum y^2-\frac{(\sum y)^2}{n}\right]}}$$

相關係數平方 $r^2$ 為決定係數，表示以線性關係衡量時，降雨量與水稻產量共同變動的比例。

解題方法

（一）計算相關係數

先計算校正後的離均差平方和與離均差乘積和：

$$S_{xx}=450-\frac{65^2}{13}=450-325=125$$ $$S_{yy}=600-\frac{78^2}{13}=600-468=132$$ $$S_{xy}=500-\frac{(65)(78)}{13}=500-390=110$$

因此：

$$r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}} =\frac{110}{\sqrt{125\times132}} =\frac{110}{\sqrt{16500}} \approx 0.8563$$

相關係數為正，表示降雨量較高時，水稻產量也傾向較高；其線性相關程度相當高。

（二）降雨量解釋的產量變動比例

決定係數為：

$$r^2=(0.8563)^2\approx 0.7333$$

換算成百分比：

$$0.7333\times100\%\approx73.33\%$$

因此，以線性關係而言，降雨量可解釋約 $73.33\%$ 的水稻產量變動。其餘約 $26.67\%$ 的變動，來自其他因素及隨機誤差。

核心觀念

本題考驗拉丁方格設計的變異數分析。拉丁方格適用於三個因子均有相同水準數的情形：兩個因子作為區集因子，用來控制干擾變異；第三個因子為主要處理因子。

本題有三種肥料、三種灌溉法及三個品種，形成 $3\times3$ 拉丁方格：

• 列：肥料（肥料 1、2、3）
• 欄：灌溉法（I、II、III）
• 字母處理：品種（$a,b,c$）

每個品種在每一列及每一欄都恰好出現一次。每格只有一筆觀測，因此模型不包含交互作用，並假設觀測誤差獨立、常態且具有相同變異數。

解題方法

令方格階數 $p=3$，總觀測數 $N=p^2=9$。拉丁方格平方和分解為：

$$SS_T=SS_{\text{肥料}}+SS_{\text{灌溉}}+SS_{\text{品種}}+SS_E$$

1. 計算總和與修正因子

總和為：

$$G=75+86+69+95+79+86+70+83+93=736$$

修正因子：

$$CF=\frac{G^2}{N}=\frac{736^2}{9}=60195.556$$

各觀測值平方和為 $SS_{\text{原始}}=\sum y_{ij}^2=60830$，故總平方和：

$$SS_T=60830-CF=634.444$$

2. 計算各因子平方和

肥料列總和分別為 $230,260,246$：

$$SS_{\text{肥料}} =\frac{230^2+260^2+246^2}{3}-CF =150.222$$

灌溉欄總和分別為 $240,248,251$：

$$SS_{\text{灌溉}} =\frac{240^2+248^2+251^2}{3}-CF =20.667$$

品種總和為 $a=244,\ b=274,\ c=218$：

$$SS_{\text{品種}} =\frac{244^2+274^2+218^2}{3}-CF =392.667$$

因此誤差平方和為：

$$SS_E=SS_T-SS_{\text{肥料}}-SS_{\text{灌溉}}-SS_{\text{品種}} =70.889$$

3. 自由度、均方與 $F$ 檢定

總自由度為 $9-1=8$；肥料、灌溉、品種各有 $3-1=2$ 個自由度，故誤差自由度為：

$$df_E=8-2-2-2=2$$

誤差均方：