108 地方特考三等 農業技術 試驗設計 考古題詳解

核心觀念

本題考查完全隨機設計（CRD）的單因子變方分析，以及隨機效應模式下的變方成分估計。

模式為

$$y_{ij}=\mu+\alpha_i+\varepsilon_{ij}, \qquad i=1,2,3,\quad j=1,\ldots,5.$$

處理效應 $\alpha_i$ 是隨機效應，且與誤差 $\varepsilon_{ij}$ 互相獨立，因此單一觀測值的變方為

$$\sigma_y^2=\operatorname{Var}(y_{ij}) =\sigma_\alpha^2+\sigma^2.$$

檢定處理效果時，虛無假設是處理間沒有變異；對此隨機效應模式，可寫為

$$H_0:\sigma_\alpha^2=0, \qquad H_a:\sigma_\alpha^2>0.$$

解題方法與變方分析表

共有 $a=3$ 個處理，每處理重複 $n=5$ 次，總觀測數為 $N=15$。先計算總平均：

$$\bar y_{\cdot\cdot} =\frac{29.4+32+27.8}{3} =29.7333.$$

處理間平方和為

$$SS_{\text{處理}} =n\sum_{i=1}^{3} (\bar y_i-\bar y_{\cdot\cdot})^2 =5\left[(29.4-29.7333)^2 +(32-29.7333)^2 +(27.8-29.7333)^2\right] =44.9333.$$

處理內平方和可由各處理樣本變方計算：

$$SS_{\text{誤差}} =\sum_{i=1}^{3}(n-1)S_i^2 =4(19.3+24.5+9.7) =214.$$

因此

$$SS_{\text{總}} =SS_{\text{處理}}+SS_{\text{誤差}} =44.9333+214 =258.9333.$$

自由度依序為處理 $a-1=2$、誤差 $a(n-1)=12$、總和 $N-1=14$。均方與 $F$ 值為

$$MS_{\text{處理}}=\frac{44.9333}{2}=22.4667, \qquad MS_{\text{誤差}}=\frac{214}{12}=17.8333,$$ $$F=\frac{MS_{\text{處理}}}{MS_{\text{誤差}}} =\frac{22.4667}{17.8333} =1.2598.$$

核心觀念

變方分析（ANOVA）的傳統推論，通常建立在模型誤差項近似常態分布且各處理組變方相同的假設上。應檢查的是模型誤差，而非只看原始觀測值是否呈常態分布；田間資料也常因計數、比例或測量尺度而呈現偏態或變方隨平均數改變的情形。

解題方法

可依下列順序處理：

1. 先確認資料結構與模型設定：檢查試驗設計、資料輸入、離群值及模型是否適當，並以殘差診斷常態性與變方均質性。
2. 採用適當的資料轉換：依資料型態選擇轉換，再以轉換後資料進行變方分析，並重新檢查殘差假設。常見轉換包括：

• 正值且右偏、變方隨平均數增加的資料：對數轉換，如 $y'=\log y$。
• 計數資料或變方大致隨平均數增加的資料：平方根轉換，如 $y'=\sqrt{y}$；若有零值，可採 $y'=\sqrt{y+c}$，其中 $c$ 為適當常數。
• 比例資料：傳統作法常使用反正弦平方根轉換，如 $y'=\sin^{-1}\sqrt{p}$，其中 $p$ 為比例值，且須以 $0$ 至 $1$ 表示。

3. 轉換後重新檢查：轉換並非只為使資料「看起來」常態，而是要確認模型殘差的分布及各組散布是否改善。結果解釋時須說明分析是在轉換尺度上進行；若要呈現原尺度結果，應妥善轉回並交代限制。
4. 轉換仍不適當時，改用合適模型或推論方法：依應變數型態考慮廣義線性模型、允許不同變方的模型、穩健方法或適當的非參數方法，並採用相應的推論程序。

解題技巧

核心觀念

本題考裂區設計（split-plot design）的線性統計模式與因子效應檢定。裂區設計有兩種不同的實驗單位：玉米品種配置於主區，氮肥種類配置於主區內的副區。因此，品種效應與氮肥效應必須使用不同的誤差項檢定。

解題方法

令 $i=1,\ldots,4$ 表示玉米品種，$j=1,\ldots,4$ 表示氮肥種類，$k=1,2$ 表示重複。產量資料的線性統計模式為

$$Y_{ijk}=\mu+\rho_k+\alpha_i+(\rho\alpha)_{ki}+\beta_j+(\alpha\beta)_{ij}+\varepsilon_{ijk}.$$

各成分意義如下：

• $Y_{ijk}$：第 $k$ 次重複中，第 $i$ 個品種搭配第 $j$ 種氮肥的觀測產量。
• $\mu$：總平均。
• $\rho_k$：第 $k$ 次重複（區集）效應。
• $\alpha_i$：第 $i$ 個玉米品種的主區效應。
• $(\rho\alpha)_{ki}$：第 $k$ 次重複內第 $i$ 個品種主區的隨機誤差，亦即主區誤差。
• $\beta_j$：第 $j$ 種氮肥的副區效應。
• $(\alpha\beta)_{ij}$：品種與氮肥的交互作用效應。
• $\varepsilon_{ijk}$：副區隨機誤差。

通常將 $\rho_k$、$(\rho\alpha)_{ki}$、$\varepsilon_{ijk}$ 視為隨機成分，且彼此獨立、平均數為 $0$；$\alpha_i$、$\beta_j$ 與 $(\alpha\beta)_{ij}$ 為固定效應。各固定效應可採總和為零的限制，例如 $\sum_i\alpha_i=0$、$\sum_j\beta_j=0$。

檢定統計量

本試驗每個重複有 $4$ 個主區，每個主區再分成 $4$ 個副區。裂區設計的變異分析將主區誤差與副區誤差分開：

變異來源	自由度
重複	$2-1=1$
品種	$4-1=3$
主區誤差（重複 × 品種）	$(2-1)(4-1)=3$
氮肥	$4-1=3$

核心觀念

本題是二因子隨機型交叉設計。因子 $A$ 為大豆收集系，水準數 $a=3$；因子 $B$ 為部位，水準數 $b=4$；每一個 $A\times B$ 組合有 $n=3$ 筆觀測，共 $N=abn=36$ 筆資料。

因子 $A$、$B$ 都是隨機型，因此模型包含 $A$、$B$、交互作用 $AB$ 與誤差。檢定主效應時，分母均方使用交互作用均方；檢定交互作用時，分母均方使用誤差均方：

$$F_A=\frac{MS_A}{MS_{AB}},\qquad F_B=\frac{MS_B}{MS_{AB}},\qquad F_{AB}=\frac{MS_{AB}}{MS_E}.$$

隨機型二因子設計的變方成分估值為：

$$\widehat{\sigma_E^2}=MS_E,\qquad \widehat{\sigma_{AB}^2}=\frac{MS_{AB}-MS_E}{n},$$ $$\widehat{\sigma_A^2}=\frac{MS_A-MS_{AB}}{bn},\qquad \widehat{\sigma_B^2}=\frac{MS_B-MS_{AB}}{an}.$$

解題方法與平方和

各收集系總和為 $1303,1312,1322$；各部位總和為 $983,978,979,997$；總和 $T=3937$。修正項為：

$$CF=\frac{T^2}{N}=\frac{3937^2}{36}=430554.6944.$$

以各收集系、部位及其交叉組合的總和計算平方和：

$$SS_A=\sum_i\frac{T_{i..}^2}{bn}-CF=15.0556,$$ $$SS_B=\sum_j\frac{T_{.j.}^2}{an}-CF=25.6389.$$

令 $T_{ij.}$ 為第 $i$ 個收集系與第 $j$ 個部位組合的總和，則：

$$SS_{AB}= \sum_{i,j}\frac{T_{ij.}^2}{n}-CF-SS_A-SS_B =44.2778.$$

總平方和為 $SS_T=148.3056$，故：

$$SS_E=SS_T-SS_A-SS_B-SS_{AB}=63.3333.$$

自由度依序為 $A:a-1=2$、$B:b-1=3$、$AB:(a-1)(b-1)=6$、誤差 $ab(n-1)=24$，總自由度為 $N-1=35$。

變方分析表與檢定結論

變異來源	自由度	平方和 SS	均方 MS	$F$ 值
收集系 $A$	2	15.0556	7.5278	$1.0201$