110 地方特考三等 農業技術 試驗設計 考古題詳解

核心觀念

本題考查：

1. 實驗單位、重複與偽重複的區別。
2. 區集設計（Randomized Complete Block Design, RCBD）。
3. 以胎別控制母鼠健康、季節及生產環境造成的變異。
4. 重複數與顯著水準、檢定力、誤差變異及處理差異間的關係。
5. 隨機分派飼料配方，避免人為分派造成偏差。

同一胎小鼠的個體差異可忽略，表示同胎小鼠具有高度相似性；不同胎之間則有明顯差異。因此，應將「胎別」視為區集因素，將「飼料配方」視為處理因素。

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（一）試驗設計

解題方法

應採用隨機完全區集設計，以胎別作為區集，以飼料配方 $A$、$B$、$C$、$D$ 作為處理。

每一個區集內均包含四種飼料配方，並將同一胎中選取的四隻小鼠，隨機分派至 $A$、$B$、$C$、$D$ 四種飼料。

設第 $i$ 胎、第 $j$ 種飼料下的小鼠增重觀測值為 $Y_{ij}$，其模型可表示為：

$$Y_{ij}=\mu+\tau_i+\beta_j+\varepsilon_{ij}$$

其中：

• $\mu$：總平均增重；
• $\tau_i$：第 $i$ 種飼料的處理效果；
• $\beta_j$：第 $j$ 胎造成的區集效果；
• $\varepsilon_{ij}$：隨機誤差。

本題有四種飼料，因此每一胎區集內應配置四種飼料各一次。若需要三次重複，則須設置三個區集，共需三胎，總計至少 $3\times4=12$ 隻作為主要試驗小鼠。

採用此設計的原因

不同胎別可能受到下列因素影響：

• 母鼠健康狀況；
• 生產時的季節；
• 生產環境；
• 母體營養與泌乳狀況；
• 遺傳背景或胎次差異。

若採完全隨機設計，某一飼料恰好分配到較健康的胎別，便可能把胎別差異誤認為飼料效果。

採用隨機完全區集設計後，每一胎均同時接受四種飼料，飼料間的比較是在同一胎內進行，因而能有效排除胎別差異，降低誤差變異，提高比較飼料效果的精確度。

重要注意

不能將同一胎的多隻小鼠視為完全獨立的重複。由於同胎小鼠高度相似，同胎內增加小鼠數目主要是增加觀測精度，真正的獨立重複仍應以不同胎別為主。

若將一整胎小鼠全部餵同一種飼料，則飼料別與胎別會混雜，無法清楚判定增重差異究竟來自飼料或胎別。

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（二）決定重複數時應考慮的參數

決定每種飼料配方的重複數，應考慮下列因素：

1. 飼料處理數

本題有四種飼料配方。處理數越多，若希望同時比較各處理，通常需要較多實驗單位，且多重比較會增加判定差異的複雜性。

2. 預期處理差異

應先界定具有實際意義的最小差異，例如兩種飼料平均增重至少相差 $\Delta$ 克才具有生物學或實務意義。

預期差異越小，越需要增加重複數，才能從誤差中辨識出處理效果。

3. 誤差變異或小鼠增重的變異程度

可用過去試驗資料或預備試驗估計誤差變異，例如誤差變異數 $\sigma^2$ 或標準差 $\sigma$。

若小鼠增重變異很大，則需要較多重複；若變異小，所需重複數可較少。

4. 顯著水準 $\alpha$

常用顯著水準為：

$$\alpha=0.05$$

顯著水準越嚴格，拒絕虛無假設的門檻越高，通常需要更多重複才能維持相同的檢定能力。

5. 檢定力 $1-\beta$

檢定力是當飼料確實有差異時，能正確檢出差異的機率，常設定為 $0.80$ 或 $0.90$。

所需重複數與檢定力呈正向關係；要求檢定力越高，所需重複數越多。

6. 實驗設計及自由度

在隨機完全區集設計中，誤差自由度為：

$$(t-1)(r-1)$$

其中：

• $t$：處理數；
• $r$：區集數，也就是不同胎別的數目。

本題 $t=4$。增加區集數可增加誤差自由度，使誤差變異的估計更穩定。

7. 多重比較需求

核心觀念

本題比較三個鄉鎮的母體平均數 $\mu_1,\mu_2,\mu_3$ 是否相同。因為：

• 研究因子只有一個：「鄉鎮」；
• 鄉鎮有三個水準；
• 反應變數為每平方公尺福壽螺隻數；

因此屬於「單因子完全隨機設計」的平均數比較問題，基本分析方法為單因子變異數分析（one-way ANOVA）。

ANOVA 的核心是將總變異分解為：

$$\text{總變異}=\text{鄉鎮間變異}+\text{鄉鎮內變異}$$

再以 $F$ 檢定判斷鄉鎮間平均數差異是否大於抽樣誤差所能合理解釋的程度。

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（一）假說檢定

虛無假說

$$H_0:\mu_1=\mu_2=\mu_3$$

表示三個鄉鎮每平方公尺面積的福壽螺平均隻數相同。

對立假說

$$H_1:\text{至少有一個 } \mu_i \text{ 與其他平均數不同}$$

也可寫成：

$$H_1:\text{不完全是 }\mu_1=\mu_2=\mu_3$$

對立假說不是寫成 $\mu_1\ne\mu_2\ne\mu_3$，因為該寫法會錯誤地表示三個平均數彼此全部不同；ANOVA 的對立假說只要求至少一組平均數不同。

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（二）統計分析方法

1. 採用單因子變異數分析

令第 $i$ 個鄉鎮第 $j$ 個田區的觀測值為 $Y_{ij}$，其中：

$$i=1,2,3,\qquad j=1,\ldots,n_i$$

單因子 ANOVA 模型為：

$$Y_{ij}=\mu+\tau_i+\varepsilon_{ij}$$

其中：

• $\mu$：全體平均數；
• $\tau_i$：第 $i$ 個鄉鎮相對於全體平均數的效果；
• $\varepsilon_{ij}$：隨機誤差；
• 通常設定 $\sum_{i=1}^3\tau_i=0$。

各鄉鎮樣本平均數為：

$$\bar Y_{i\cdot}=\frac{1}{n_i}\sum_{j=1}^{n_i}Y_{ij}$$

總樣本數為：

$$N=n_1+n_2+n_3$$

加權總平均數為：

$$\bar Y_{\cdot\cdot} = \frac{n_1\bar Y_{1\cdot}+n_2\bar Y_{2\cdot}+n_3\bar Y_{3\cdot}}{N}$$

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2. 變異分解

鄉鎮間平方和

$$SS_{\text{between}} = \sum_{i=1}^{3} n_i\left(\bar Y_{i\cdot}-\bar Y_{\cdot\cdot}\right)^2$$

此平方和表示三個鄉鎮樣本平均數彼此差異所造成的變異。

鄉鎮內平方和

$$SS_{\text{within}} = \sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{n_i} \left(Y_{ij}-\bar Y_{i\cdot}\right)^2$$

此平方和表示同一鄉鎮內各田區觀測值的自然差異與抽樣誤差。

總平方和

$$SS_{\text{total}} = \sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{n_i} \left(Y_{ij}-\bar Y_{\cdot\cdot}\right)^2$$

且有：

$$SS_{\text{total}} = SS_{\text{between}}+SS_{\text{within}}$$

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3. $F$ 檢定統計量

因為鄉鎮有 $k=3$ 組，所以：

$$df_{\text{between}}=k-1=2$$ $$df_{\text{within}}=N-k=N-3$$

均方為：

$$MS_{\text{between}} = \frac{SS_{\text{between}}}{2}$$ $$MS_{\text{within}} = \frac{SS_{\text{within}}}{N-3}$$

因此 $F$ 統計量為：

$$F= \frac{MS_{\text{between}}}{MS_{\text{within}}}$$

在虛無假說成立且基本假設滿足時：

$$F\sim F_{2,N-3}$$

以顯著水準 $\alpha$ 進行檢定：

• 若 $F>F_{\alpha;2,N-3}$，拒絕 $H_0$；
• 若 $p$ 值小於 $\alpha$，拒絕 $H_0$；
• 拒絕 $H_0$ 表示三個鄉鎮的平均福壽螺隻數並非完全相同，至少有一組平均數不同；

核心觀念

本題考查三種以「區集（block）」控制試驗環境變異的設計：

1. 隨機完全區集設計（Randomized Complete Block Design, RCBD）
2. 均衡不完全區集設計（Balanced Incomplete Block Design, BIBD）
3. 拉丁方設計（Latin Square Design, LSD）

共同目的都是將試驗單位依環境條件分組，使同一區集內的試驗單位較為均質，再在區集內安排處理，以降低誤差變異、提高處理比較的精確度。

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（一）三種設計之差異與適用時機

一、隨機完全區集設計

1. 定義與結構

設有 $t$ 個處理、$r$ 個區集，每一個區集均包含全部 $t$ 個處理，因此總試驗單位數為

$$N=tr$$

每一處理在每一區集出現一次，故每個處理均有 $r$ 次重複。

基本模型為

$$Y_{ij}=\mu+\tau_i+\beta_j+\varepsilon_{ij}$$

其中：

• $Y_{ij}$：第 $j$ 區集內第 $i$ 處理的觀測值
• $\mu$：總平均
• $\tau_i$：處理效果
• $\beta_j$：區集效果
• $\varepsilon_{ij}$：隨機誤差

2. 設計特性

• 每個區集均包含所有處理，稱為「完全區集」。
• 每個處理的重複數相同。
• 處理只需在各區集內隨機配置。
• 主要控制一個方向的環境變異，例如田間肥力由東向西逐漸改變。

3. 適用時機

適用於：

• 處理數目不多；
• 試驗地具有一個主要變異梯度；
• 每個區集可以容納全部處理；
• 區集內相對均質，區集間差異較大。

例如：田間試驗中土壤肥力由南向北呈現梯度，可依肥力梯度劃分區集，每一區集安排全部品種或肥料處理。

4. 限制

當處理數目很多時，每一區集必須容納全部處理，導致區集範圍過大，區集內部反而不均質，降低區集控制變異的效果。

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二、均衡不完全區集設計

1. 定義與結構

設有 $v$ 個處理、$b$ 個區集，每一區集只包含 $k$ 個處理，且

$$k<v$$

因此稱為「不完全區集」。

BIBD 必須符合以下條件：

• 每一處理出現於 $r$ 個區集；
• 每一區集包含 $k$ 個處理；
• 任兩個不同處理同時出現在 $\lambda$ 個區集。

重要關係式為

$$bk=vr$$

以及

$$\lambda(v-1)=r(k-1)$$

其中：

• $v$：處理總數
• $b$：區集數
• $k$：每一區集所含處理數
• $r$：每一處理的重複數
• $\lambda$：任兩處理共同出現於同一區集的次數

2. 「均衡」的意義

BIBD 的均衡包括：

• 各處理的重複數相同；
• 各區集大小相同；
• 任兩處理共同出現的次數相同。

其中任兩處理均有相同次數的直接比較機會，是 BIBD 的核心特徵。

3. 設計特性

• 每個區集只安排部分處理。
• 可使區集維持較小範圍，增加區集內均質性。
• 處理間的比較機會經由均衡設計予以公平安排。
• 分析時須同時考慮處理效果與區集效果。

4. 適用時機

適用於：

• 處理數目很多；
• 每一區集只能容納少數處理；
• 試驗地的局部差異很大；
• 若採 RCBD，區集過大而無法維持區集內均質。

例如有 $12$ 個品種，但每一個局部試驗區只能容納 $4$ 個品種，此時可採 BIBD，使各品種具有相同重複數，且任兩品種具有相同的共同比較次數。

5. 與 RCBD 的主要差異

RCBD 中每一區集包含全部處理，BIBD 中每一區集只包含部分處理。當處理數多、區集不宜過大時，BIBD 比 RCBD 更適合。

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三、拉丁方設計

1. 定義與結構

設有 $t$ 個處理、$t$ 個列區集與 $t$ 個行區集，總試驗單位數為

$$N=t^2$$

每一處理：

• 在每一列出現一次；
• 在每一行出現一次；
• 總共重複 $t$ 次。

其模型為

$$Y_{ijk}=\mu+\rho_i+\kappa_j+\tau_k+\varepsilon_{ijk}$$

其中：

• $\rho_i$：列區集效果
• $\kappa_j$：行區集效果
• $\tau_k$：處理效果

2. 設計特性

• 同時控制兩個方向的環境變異。
• 每列、每行均包含全部處理各一次。
• 每一處理在整個試驗中出現 $t$ 次。
• 處理配置必須符合拉丁方排列規則。

例如，$4$ 個處理可配置為：

$$\begin{array}{cccc} A&B&C&D\\ B&C&D&A\\ C&D&A&B\\ D&A&B&C \end{array}$$

每一處理在每列及每行均恰出現一次。

3. 適用時機

適用於：

核心觀念

本題考查：

1. 樣品平均數與樣品標準差的計算。
2. 配對樣本 $t$ 檢定與獨立兩樣本 $t$ 檢定的適用時機。
3. 單尾檢定及 $p$ 值的統計推論。

由於同一戶農戶分別記錄導入系統「前、後」用水量，因此前後資料具有配對關係，應以每戶的前後差值進行分析。

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（一）樣品平均數與樣品標準差

1. 導入系統前

資料為：

$$6.50,\ 5.83,\ 8.28,\ 7.06,\ 7.43$$

樣品平均數：

$$\bar{x} =\frac{6.50+5.83+8.28+7.06+7.43}{5} =\frac{35.10}{5} =7.020$$

樣品標準差公式為：

$$s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}$$

因此：

$$s_{\text{前}} =\sqrt{\frac{3.4438}{4}} =\sqrt{0.86095} \approx 0.928$$

所以，導入前：

$$\boxed{\bar{x}_{\text{前}}=7.020,\qquad s_{\text{前}}\approx0.928}$$

2. 導入系統後

資料為：

$$4.63,\ 6.33,\ 7.03,\ 5.25,\ 4.67$$

樣品平均數：

$$\bar{y} =\frac{4.63+6.33+7.03+5.25+4.67}{5} =\frac{27.91}{5} =5.582$$

樣品標準差：

$$s_{\text{後}} =\sqrt{\frac{4.50448}{4}} =\sqrt{1.12612} \approx1.061$$

所以，導入後：

$$\boxed{\bar{y}_{\text{後}}=5.582,\qquad s_{\text{後}}\approx1.061}$$

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（二）分析方法判斷

方法一：Paired $t$-test

方法一正確，應採用「配對樣本 $t$ 檢定」。

令每戶農戶的用水量差值為：

$$d_i=\text{導入前用水量}-\text{導入後用水量}$$

各戶差值為：

$$1.87,\ -0.50,\ 1.25,\ 1.81,\ 2.76$$

差值平均數為：

$$\bar{d} =\frac{1.87-0.50+1.25+1.81+2.76}{5} =1.438$$

配對樣本 $t$ 統計量為：

$$t=\frac{\bar d-0}{s_d/\sqrt n}$$

其中 $n=5$，故自由度為：

$$df=n-1=4$$