110 地方特考三等 化學工程 輸送現象與單元操作 考古題詳解

核心觀念

本題考查輸送現象中三種傳送機制的類比，以及非恆溫氣體流動所需的方程式組合。

• 動量傳送的分子擴散係數對應於動黏度。
• 熱傳的分子擴散係數對應於熱擴散係數。
• 純氣體系統沒有不同化學物種間的質量傳送，因此不需另列物種擴散方程式；但氣體的密度、黏度、導熱係數通常會隨溫度改變。

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（一）動量傳送與熱傳中相對應之物理量

1. 動量傳送：動黏度

分子擴散係數 $D_{AB}$ 的單位為：

$$[D_{AB}]=\frac{\text{m}^2}{\text{s}}$$

在動量傳送中，相對應的物理量為動黏度：

$$\nu=\frac{\mu}{\rho}$$

其中：

• $\nu$：動黏度，單位為 $\text{m}^2/\text{s}$
• $\mu$：動力黏度，單位為 $\text{Pa}\cdot\text{s}$
• $\rho$：流體密度

動黏度表示動量因分子運動而在流體內擴散的能力，因此又稱為動量擴散係數。

牛頓黏性定律可表示為：

$$\tau_{yx}=-\mu\frac{dv_x}{dy}$$

除以密度後，動量方程式中的擴散項會呈現 $\nu$ 的形式，因此 $\nu$ 與質量傳送中的 $D_{AB}$ 相對應。

2. 熱傳：熱擴散係數

在熱傳中，相對應的物理量為熱擴散係數：

$$\alpha=\frac{k}{\rho C_p}$$

其中：

• $\alpha$：熱擴散係數，單位為 $\text{m}^2/\text{s}$
• $k$：熱傳導係數
• $C_p$：定壓比熱

傅立葉熱傳導定律為：

$$\mathbf{q}=-k\nabla T$$

代入能量方程式後，熱傳導項可寫成含有 $\alpha$ 的形式，因此 $\alpha$ 表示熱量在流體中擴散的能力。

（一）答案

$$\boxed{\text{動量傳送：動黏度 }\nu=\frac{\mu}{\rho}}$$ $$\boxed{\text{熱傳：熱擴散係數 }\alpha=\frac{k}{\rho C_p}}$$

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（二）純氣體非恆溫流動系統之統制方程式與關係式

核心觀念

純氣體非恆溫流動至少涉及三個未知場：

$$\rho,\quad \mathbf{v},\quad T$$

其中 $\rho$ 為密度、$\mathbf{v}$ 為速度向量、$T$ 為溫度。

因此，基本方程式包括：

1. 質量守恆方程式
2. 動量守恆方程式
3. 能量守恆方程式
4. 狀態方程式
5. 黏性應力與熱通量的本構關係
6. 物性與熱力學性質關係

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1. 質量守恆方程式

一般可壓縮流體的連續方程式為：

$$\frac{\partial \rho}{\partial t} +\nabla\cdot(\rho\mathbf{v})=0$$

若為穩態流動：

$$\nabla\cdot(\rho\mathbf{v})=0$$

若再假設密度為常數，才可簡化為：

$$\nabla\cdot\mathbf{v}=0$$

氣體在非恆溫流動中通常具有可壓縮性，因此不可直接將連續方程式簡化成不可壓縮形式，除非題目明確給定低速、密度變化可忽略等條件。

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2. 動量守恆方程式

向量形式的動量方程式為：

$$\frac{\partial(\rho\mathbf{v})}{\partial t} +\nabla\cdot(\rho\mathbf{v}\mathbf{v}) = -\nabla p+\nabla\cdot\boldsymbol{\tau} +\rho\mathbf{g}$$

其中：

• $p$：壓力
• $\boldsymbol{\tau}$：黏性應力張量
• $\mathbf{g}$：重力加速度

亦可寫成物質導數形式：

$$\rho\frac{D\mathbf{v}}{Dt} = -\nabla p+\nabla\cdot\boldsymbol{\tau} +\rho\mathbf{g}$$

此式描述氣體速度因壓力梯度、黏性作用與重力所產生的變化。

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3. 黏性應力的本構關係

對牛頓流體，黏性應力張量通常表示為：

$$\boldsymbol{\tau} = \mu \left[ \nabla\mathbf{v} +(\nabla\mathbf{v})^T \right] -\frac{2}{3}\mu (\nabla\cdot\mathbf{v})\mathbf{I}$$

其中 $\mu$ 為動力黏度，且在非恆溫氣體中通常為溫度的函數：

$$\mu=\mu(T)$$

此關係將速度梯度與黏性應力連結起來，是求解動量方程式所必需的關係式。

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4. 能量守恆方程式

以內能為基礎的能量方程式為：

核心觀念

無任何對流時，熱球與周圍巨大靜止流體間的熱傳遞僅靠流體中的穩態球對稱熱傳導。

熱傳係數定義為

$$q=hA_s(T_R-T_\infty)$$

其中球面積

$$A_s=4\pi R^2=\pi D^2$$

由於題目已指定熱球表面溫度為 $T_R$，因此熱傳係數是根據「流體側表面溫度」與「遠處流體溫度」定義。熱球本身的熱傳導係數 $k_s$ 不會出現在結果中。

解題方法與推導

在流體區域內採用穩態、無熱生成、球對稱熱傳導。球坐標下的能量方程為

$$\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr} \left(r^2\frac{dT}{dr}\right)=0$$

積分兩次得

$$T=C_1+\frac{C_2}{r}$$

邊界條件為

$$T(R)=T_R$$

以及

$$T(r\to\infty)=T_\infty$$

因此流體中的溫度分布為

$$T(r)=T_\infty+(T_R-T_\infty)\frac{R}{r}$$

由傅立葉定律，球面處流出的熱量為

$$q=-k_f A_r\frac{dT}{dr}$$

其中

$$A_r=4\pi r^2$$

而

$$\frac{dT}{dr} =-\frac{(T_R-T_\infty)R}{r^2}$$

代入並在 $r=R$ 處計算：

$$q =-k_f(4\pi R^2) \left[ -\frac{(T_R-T_\infty)R}{R^2} \right]$$

故

$$q=4\pi k_fR(T_R-T_\infty)$$

另一方面，依熱傳係數定義：

$$q=h(4\pi R^2)(T_R-T_\infty)$$

比較兩式可得

核心觀念

本題考查管內強制對流熱傳，以及熱交換器總熱傳導度的比例變化。

因蒸汽側與管壁熱傳阻力可忽略，總熱阻主要來自管內空氣側，因此

$$\frac{q}{\Delta T_L}=UA\simeq h_iA_i$$

其中 $h_i$ 為管內空氣側熱傳係數，$A_i$ 為管內總熱傳面積。

由題示關係式：

$$Nu=0.023Re^{0.8}Pr^{1/3}$$

且

$$Nu=\frac{hD}{k}$$

在空氣溫度範圍相同下，視 $k$、$\mu$、$Pr$ 為常數，因此可由 $Re$ 與管徑 $D$ 判斷 $h$ 的變化。

管內雷諾數為

$$Re=\frac{\rho VD}{\mu}$$

以管內質量流率表示：

$$\dot m=\rho VA_c =\rho V\frac{\pi D^2}{4}$$

所以

$$Re=\frac{4\dot m}{\pi D\mu}$$

可知在空氣質量流率固定時，$Re$ 與壓力無關，但與「每一根管子的質量流率」成正比，與管徑成反比。

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解題方法

由

$$h=\frac{Nu\,k}{D}$$

以及

$$Nu\propto Re^{0.8}$$

得

$$h\propto \frac{Re^{0.8}}{D}$$

而總熱傳導度為

$$\frac{q}{\Delta T_L}\propto hA$$

若管長固定，管內熱傳面積

$$A\propto ND$$

其中 $N$ 為管子數。

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（一）空氣壓力加倍，但空氣質量流率不變

在質量流率與管徑均不變時：

$$Re=\frac{4\dot m}{\pi D\mu}$$

不含壓力，因此

$$Re_2=Re_1$$

對氣體而言，在一般條件下 $k$、$\mu$、$Pr$ 可視為與壓力無關，因此

$$Nu_2=Nu_1$$

且

$$h_2=h_1$$

熱傳面積也不變，所以

$$\left(\frac{q}{\Delta T_L}\right)_2 = \left(\frac{q}{\Delta T_L}\right)_1$$

變化比率為

$$\boxed{1}$$

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（二）空氣質量流率加倍

管徑與管子數不變，因此總熱傳面積不變。由

$$Re\propto \dot m$$

可得

$$\frac{Re_2}{Re_1}=2$$

因此

$$\frac{Nu_2}{Nu_1}=2^{0.8}$$

由於管徑與熱傳導係數不變：

$$\frac{h_2}{h_1}=2^{0.8}$$

又 $A$ 不變，所以

$$\frac{(q/\Delta T_L)_2}{(q/\Delta T_L)_1} = 2^{0.8}$$

變化比率為

$$\boxed{2^{0.8}\approx 1.74}$$

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（三）管子數加倍，但空氣質量流率不變

總質量流率固定，而管子數加倍，因此每根管子的質量流率減半：

核心觀念

本題考查板式吸收塔的：

• 溶質去除率與氣相出口組成之換算。
• 以溶質自由基準（solute-free basis）建立吸收塔操作線。
• 平衡線與操作線之間的 McCabe–Thiele 階梯法。
• 理想階數（number of ideal stages）的判定。

令：

• $A$：丙酮
• 惰性氣體：空氣
• $X$：液相丙酮對非揮發性吸收油之莫耳比
• $Y$：氣相丙酮對空氣之莫耳比

定義為：

$$X=\frac{x}{1-x},\qquad Y=\frac{y}{1-y}$$

其中 $x,y$ 分別為液相、氣相中丙酮的莫耳分率。

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一、求氣相進、出口組成

取進料混合氣體總莫耳流率為 $F$。

進入吸收塔時：

$$n_{A,\mathrm{in}}=0.30F$$ $$n_{\mathrm{air}}=0.70F$$

丙酮去除率為 $97\%$，因此離開塔頂的丙酮量為：

$$n_{A,\mathrm{out}}=(1-0.97)(0.30F)=0.009F$$

空氣為惰性成分，流率仍為 $0.70F$。

因此，塔頂氣體中的丙酮莫耳分率為：

$$y_1=\frac{0.009F}{0.009F+0.70F} =\frac{0.009}{0.709} =0.01269$$

塔底進氣的丙酮莫耳分率為：

$$y_{N+1}=0.30$$

換算成溶質自由基準：

$$Y_1=\frac{y_1}{1-y_1} =\frac{0.01269}{1-0.01269} =0.01286$$ $$Y_{N+1}=\frac{0.30}{1-0.30} =0.42857$$

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二、求液相組成及液相流率比

吸收油進塔時不含丙酮，因此：

$$x_0=0,\qquad X_0=0$$

吸收油離塔時含有 $10\ \mathrm{mol\%}$ 丙酮：

$$x_N=0.10$$ $$X_N=\frac{0.10}{1-0.10} =0.11111$$

以丙酮作總物料衡算：

$$L_sX_N=G_s(Y_{N+1}-Y_1)$$

其中：

• $L_s$：非揮發性吸收油之莫耳流率
• $G_s$：空氣之莫耳流率

故：

$$\frac{L_s}{G_s} = \frac{Y_{N+1}-Y_1}{X_N}$$

代入數值：

$$\frac{L_s}{G_s} = \frac{0.42857-0.01286}{0.11111} =3.741$$

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三、建立操作線

吸收塔操作線的一般式為：

$$Y_{n+1}=Y_1+\frac{L_s}{G_s}(X_n-X_0)$$

因為 $X_0=0$，所以：

$$\boxed{Y=0.01286+3.741X}$$

操作線兩端點為：

塔頂端：

$$(X_0,Y_1)=(0,\ 0.01286)$$

塔底端：

$$(X_N,Y_{N+1})=(0.11111,\ 0.42857)$$

驗算：

$$Y=0.01286+3.741(0.11111) =0.4285\approx0.42857$$

因此，操作線是在 $X-Y$ 圖上連接下列兩點的直線：

$$\boxed{(0,\ 0.01286)\ \text{與}\ (0.11111,\ 0.42857)}$$

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四、建立平衡線

題目給定平衡關係：

$$y_e=1.9x_e$$

換成 $X-Y$ 基準：

$$x=\frac{X}{1+X},\qquad y=\frac{Y}{1+Y}$$

由 $y=1.9x$：

$$\frac{Y}{1+Y}=1.9\frac{X}{1+X}$$

整理得：

$$Y(1+X)=1.9X(1+Y)$$ $$Y+XY=1.9X+1.9XY$$

核心觀念

本題考查管內紊流的 Fanning 摩擦因子、Reynolds number、相對粗糙度，以及壓力降不變時流速與管徑、摩擦因子的關係。

Fanning 摩擦因子所對應的壓力降為

$$\Delta P = 4f\frac{L}{D}\frac{\rho v^2}{2}$$

在管長 $L$、流體密度 $\rho$ 與壓力降 $\Delta P$ 均不變時，

$$\frac{fv^2}{D}=\text{常數}$$

因此新、舊管之間滿足

$$f_1\frac{v_1^2}{D_1} = f_2\frac{v_2^2}{D_2}$$

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解題方法

1. 原鋼管的 Reynolds number

黏度換算為

$$1\ \mathrm{cp} = 0.01\ \mathrm{poise} = 0.01(0.0672) = 6.72\times10^{-4} \ \mathrm{lb/(ft\cdot s)}$$

原管資料為

$$D_1=2\ \mathrm{ft},\qquad v_1=15\ \mathrm{ft/s}$$

故

$$N_{Re,1} = \frac{v_1\rho D_1}{\mu} = \frac{(15)(62.4)(2)} {6.72\times10^{-4}} \approx 2.79\times10^6$$

屬於紊流區。

原鋼管的相對粗糙度為

$$\frac{\varepsilon_1}{D_1} = \frac{0.0003}{2} = 1.5\times10^{-4}$$

由題附 Moody diagram 的 Fanning friction factor 圖，在

$$N_{Re,1}\approx2.8\times10^6, \qquad \frac{\varepsilon_1}{D_1}=1.5\times10^{-4}$$

可讀得

$$f_1\approx 0.00335$$

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2. 襯墊後的摩擦因子

襯墊後內徑為

$$D_2=1.9\ \mathrm{ft}$$

光滑塑膠襯墊可視為光滑管，因此

$$\frac{\varepsilon_2}{D_2}\approx0$$

設新管流速與原流速之比為

$$x=\frac{v_2}{v_1}$$

則