111 地方特考三等 教育行政 教育測驗與統計 考古題詳解

核心觀念

盒鬚圖以盒子的左、右端表示第一四分位數 $Q_1$ 與第三四分位數 $Q_3$，盒內的線表示中位數 $Q_2$。四分位距為：

判斷偏態時，可比較中位數在盒中的位置，以及中位數兩側鬚的長短：左側尾端較長通常表示負偏態（左偏），右側尾端較長通常表示正偏態（右偏）；兩側大致相當則近似對稱。

解題方法與計算

依圖上的刻度讀取盒子左右端，再計算 $Q_3-Q_1$：

A 的中位數位於盒子中央，左右鬚長度也接近，故分布近似對稱。B 的左鬚較右鬚長，顯示低分方向的尾端較長，故可判為負偏態；

核心觀念

本題評量**單因子獨立樣本變異數分析（One-way ANOVA between groups）**之核心理論與計算應用，包含以下重點：

1. 變異數分析之基本假定（Assumptions）：獨立性（Independence）、常態性（Normality）與變異數同質性（Homogeneity of Variance）。
2. 同質性檢定工具：Levene 變異數同質性檢定（Levene's Test of Equality of Variances）之理論意涵與假設檢定角色。
3. ANOVA 摘要表之結構與勾稽關係：

• 自由度之分割：$df_T = df_B + df_W$
• 平方和之加總性：$SS_T = SS_B + SS_W$
• 均方（Mean Square）定義：$MS_B = \frac{SS_B}{df_B}$、$MS_W = \frac{SS_W}{df_W}$
• 檢定統計量 $F$：$F = \frac{MS_B}{MS_W}$
• 效果值（Effect Size）：$\eta^2 = \frac{SS_B}{SS_T}$

4. 統計顯著性判定程序：以臨界值比較法（Critical Value Approach）與 $p$ 值法（$p$-value Approach）評估虛無假設 $H_0$ 之拒絕與否。

解題方法

一、變異數分析之假設與 Levene's Test 之功能

單因子獨立樣本變異數分析需符合三大母數統計假設：

1. 常態性假設（Normality）：各處理組之依變項母群體分配皆呈常態分配，即 $Y_{ij} \sim N(\mu_j, \sigma^2)$。
2. 變異數同質性假設（Homogeneity of Variance）：各處理組之母群體變異數均相等，即 $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \dots = \sigma_k^2 = \sigma^2$。
3. 獨立性假設（Independence）：各組受試者的觀察值彼此獨立，組內受試者之間互不影響，組間亦相互獨立。

Levene’s Test 的功能：

• 用於檢驗**「變異數同質性假設」**。
• 其虛無假設為 $H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2$（各組母群變異數相等）。若檢定結果未達顯著水準（$p > .05$），表示未違反同質性假設；若達顯著水準（$p \le .05$），則表示違反同質性假定，後續 ANOVA 需進行校正（如改採 Welch's ANOVA 或 Brown-Forsythe 檢定）。

二、完成 ANOVA 摘要表之推導計算

題目已知：總受試者數 $N = 120$，組數 $k = 3$，每組人數 $n = 40$。 已知數值：$SS_B = 320$、$df_B = 2$、$F = 6.23$、$SS_T = 3323.39$。

1. 組間均方（$MS_B$）： $MS_B = \frac{SS_B}{df_B} = \frac{320}{2} = 160$

2. 組內平方和（$SS_W$）： 利用平方和加總性質 $SS_T = SS_B + SS_W$： $SS_W = SS_T - SS_B = 3323.39 - 320 = 3003.39$

3. 組內自由度（$df_W$）： $df_W = N - k = 120 - 3 = 117$ （亦可由總自由度推導：$df_T = N - 1 = 119$，$df_W = df_T - df_B = 119 - 2 = 117$）

4. 組內均方（$MS_W$）： $MS_W = \frac{SS_W}{df_W} = \frac{3003.39}{117} \approx 25.67$ 驗算 $F$ 值：$F = \frac{MS_B}{MS_W} = \frac{160}{25.67} \approx 6.2329 \approx 6.23$，與題目所給數值完全吻合。

5. 效果值（$\eta^2$）： $\eta^2 = \frac{SS_B}{SS_T} = \frac{320}{3323.39} \approx 0.0963 \text{（或 } 0.10 \text{，約 } 9.63\% \text{）}$

三、如何決定 $F=6.23$ 是否達統計顯著水準

決定統計顯著水準之完整步驟如下：

1. 建立統計假設：

• 虛無假設 $H_0: \mu_A = \mu_B = \mu_C$（三種治療法的平均憂鬱分數無顯著差異）
• 對立假設 $H_1:$ 各組平均數不全相等（至少有兩種治療法的平均憂鬱分數存在差異）

2. 設定顯著水準 $\alpha$： 通常設定 $\alpha = .05$（或 $\alpha = .01$）。

核心觀念

本題的核心在於「典型表現測驗（Typical Performance Test）」與「最大表現測驗（Maximum Performance Test）」在測驗編製、信度檢驗及效度驗證上的系統性差異：

1. 測驗性質分類：

• 自我覺察能力評量工具：屬於情意領域的典型表現測驗（通常採用李克特氏量表 Likert Scale），評估受試者在常態情境下的自我知覺與態度，無標準答案，重在同質性與建構概念的測量。
• 數學成就測驗：屬於認知領域的最大表現測驗，評估受試者在特定學科經教學後的知識與解題能力極限，有客觀標準答案，重在教學目標涵蓋率與試題難度、鑑別度。

2. 研究設計脈絡（前後測準實驗設計）：

• 題目特別強調「用於前後測」，意味著成就測驗必須嚴格考量重複施測所產生的「練習效應（Practice Effect）」與「記憶效應」，故編製等值的平行複本（Parallel Forms）並檢驗複本信度是核心關鍵。

解題方法

解答本題時，切入點為依循心理與教育測驗學的標準流程（標準化測驗發展歷程），將兩項工具並列對比。作答必須緊扣題目規定的「表格分點」形式，依序呈現：

• 發展步驟：從構念界定／目標分析、編題架構、初稿撰寫、預試與項目分析，到正式測驗建立。成就測驗需強調「雙向細目表」與「難度／鑑別度分析」；情意量表則需強調「理論構念操作化」與「因素分析／決斷值（CR值）檢驗」。
• 評估信度方法：依二分計分 vs. 連續計分、重複施測需求，挑選合適的統計指標（如 KR-20、Cronbach's $\alpha$、複本信度、評分者信度等）。
• 評估效度方法：從內容效度、校標關聯效度（同時／預測）與建構效度三大架構切入論述。

選項分析

本題為國家考試申論題，非選擇題，無個別選項。作答評分重點在於「能否精準區隔認知成就測驗與情意自陳量表在心理計量技術上的本質差異」：

• 若將數學成就測驗的步驟套入情意量表（例如在自我覺察量表寫出「雙向細目表」或計算「答對率難度 $P$ 值」），將被閱卷委員視為觀念混淆而大幅扣分。
• 若忽略題幹「用於前後測」的關鍵線索而未提及「複本編製」與「複本信度」，則無法取得滿分關鍵級距。

解題技巧

1. 審題關鍵字定位：看見「自我覺察」立刻聯想到「情意、典型表現、李克特量表、因素分析、Cronbach's $\alpha$」；看見「數學成就」立刻聯想到「認知、最大表現、雙向細目表、難度與鑑別度、KR-20 / 複本信度」。
2. 前後測陷阱防範：前後測若使用完全同一份數學成就試卷，會產生嚴重的練習效應與記憶干擾，故必須編製 A、B 平行複本；評量信度時務必將「複本信度（等值性）」列為首選。
3. 格式規範：題目明確要求「以表格分點列出」，切忌以大段文字平鋪直敘，應直接繪製結構工整之對照矩陣，層次分明。

【答案】

針對「國中生自我覺察能力評量工具」（典型表現測驗）與「數學成就測驗」（最大表現測驗），依發展步驟、信度評估與效度評估之比較分析如下表所示：

核心觀念

本題評量民意調查中的抽樣誤差與相依樣本（多項分配）之比例差異檢定，涉及統計學以下核心概念與公式：

1. 有效樣本數與拒訪處理： 計算抽樣誤差以「成功訪問之有效樣本數」（$n = 1,196$）為準；拒訪人數（169 人）僅涉及回應率之計算，不計入有效樣本之抽樣變異分母。
2. 最大抽樣誤差（Margin of Error, MOE）： 在簡單隨機抽樣（不考慮設計效應）下，母體比例 $p$ 之估計誤差界限公式為： $E = Z_{\alpha/2} \times \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ 在未指定特定支持率時，民調實務與理論上皆採保守原則（最差情境），取變異數最大值時的 $p = 0.5$（此時 $p(1-p) = 0.25$ 為極大值），計算「最大抽樣誤差」。
3. 同一樣本之兩候選人支持度差異檢定（多項分配比例差檢定）： 甲、乙候選人的支持度來自「同一批受訪者」，受訪者之選擇屬於互斥類別，其聯合分配為多項分配（Multinomial Distribution），兩候選人支持率具有負共變異數（Negative Covariance）： $\operatorname{Cov}(p_1, p_2) = -\frac{p_1 p_2}{n}$ 因此，差值 $(p_1 - p_2)$ 的變異數公式為： $\operatorname{Var}(p_1 - p_2) = \operatorname{Var}(p_1) + \operatorname{Var}(p_2) - 2\operatorname{Cov}(p_1, p_2) = \frac{p_1(1-p_1) + p_2(1-p_2) + 2p_1 p_2}{n} = \frac{(p_1 + p_2) - (p_1 - p_2)^2}{n}$ 在虛無假設 $H_0: P_1 = P_2$（兩候選人母體支持率無差異）下，兩者差距的標準誤（Standard Error, $SE$）簡化為： $SE_0 = \sqrt{\frac{p_1 + p_2}{n}}$ 達到統計顯著差異（$\alpha = 0.05$）的臨界差距（Critical Difference, $CD$）為： $CD = Z_{\alpha/2} \times SE_0 = Z_{0.025} \times \sqrt{\frac{p_1 + p_2}{n}}$

解題方法

一、計算抽樣誤差

1. 已知條件：

• 有效樣本數 $n = 1,196$
• 信心水準 $1 - \alpha = 95\% \implies Z_{0.025} = 1.96$
• 不考慮設計效應（Design Effect $= 1$）

2. 最大抽樣誤差計算： 民調發布常態以 $p = 0.5$ 計算最大可能抽樣誤差： $E = 1.96 \times \sqrt{\frac{0.5 \times (1 - 0.5)}{1196}} = 1.96 \times \frac{0.5}{\sqrt{1196}} = \frac{0.98}{\sqrt{1196}}$ 因 $\sqrt{1196} \approx 34.5832$： $E \approx \frac{0.98}{34.5832} \approx 0.02834 \approx 2.83\%$

*(補充：若分別針對個別支持度計算其抽樣誤差：甲候選人之抽樣誤差為 $1.96 \times \sqrt{\frac{0.36 \times 0.64}{1196}} \approx \pm 2.72\%$；乙候選人之抽樣誤差為 $1.96 \times \sqrt{\frac{0.47 \times 0.53}{1196}} \approx \pm 2.83\%$。