111 地方特考三等 測量製圖 測量學 考古題詳解

核心觀念

本題評量測量工程中兩大經典高程測定方法——**水準高程測量（Differential Leveling）與三角高程測量（Trigonometric Leveling）**之施測原理、實務作業流程以及各類誤差特性。

1. 水準高程測量核心原理： 利用水準儀提供之水平視線，截取豎立於兩點之水準尺讀數，直接計算高差： $\Delta h_{AB} = BS - FS$ 其中 $BS$ 為後視讀數（Backsight），$FS$ 為前視讀數（Foresight）。

2. 三角高程測量核心原理： 利用全測站儀或經緯儀觀測垂直角（或天頂距）配合斜距（或平距），間接解算兩點間高差。

• 簡化公式（短距離）： $\Delta h_{AB} = D \tan \alpha + i - t = S \cos Z + i - t$
• 嚴密公式（長距離，考慮地球曲率與大氣折光「兩差」修正）： $\Delta h_{AB} = S \cos Z + i - t + \frac{1 - k}{2R} (S \sin Z)^2$ 其中 $S$ 為斜距，$Z$ 為天頂距，$\alpha$ 為仰俯角，$D$ 為平距，$i$ 為儀器高，$t$ 為目標高（稜鏡高），$R$ 為地球平均曲率半徑（約 $6,371\text{ km}$），$k$ 為大氣折光係數（台灣地區常態約取 $0.13 \sim 0.14$）。

解題方法

本題為標準申論題，作答應採取「對稱並列、分類剖析」之結構，將兩大測量方法分別自「施測方法」與「誤差來源」切入，誤差來源須依「儀器誤差」、「自然誤差」、「人為誤差」三大面向條列分析，並輔以系統誤差之消除對策。

一、水準高程測量

(一) 施測方法

1. 作業流程：

• 設站與整平：將水準儀架設於測段兩點（或前後轉點）之間，調整腳架與微調腳螺旋，使圓氣泡與符合氣泡居中（或自動補償器作動）。
• 後視讀數（$BS$）：於已知水準點（或轉點 TP）直立水準尺，照準並讀取十字絲中絲讀數。
• 前視讀數（$FS$）：將水準尺移至待測點（或前轉點 TP），照準並讀取十字絲中絲讀數。
• 逐站推進：若測距較遠，則透過轉點（TP）連續設站，各站高差累加即得總高差： $\Delta h = \sum BS - \sum FS$
• 閉合與檢核：採「閉合水準路線」或「附合水準路線」施測，計算閉合差並依距離或測站數進行反比平差。

2. 施測準則：

• 實施每測站「前後視距等長」（$S_{BS} \approx S_{FS}$）。
• 水準尺應放置於堅固之尺墊（轉點時）或固定水準標石上，並以圓氣泡確保尺身鉛直。

(二) 誤差來源

1. 儀器誤差：

• 視準軸誤差（$i$ 角誤差）：視準軸不平行於水準管軸。此誤差隨視距成正比，可藉由「前後視距嚴格等長」予以完全抵消。
• 水準尺分劃誤差與零點誤差：尺長不準或零點磨損。零點誤差可透過雙數站（偶數站）測設予以消除。
• 補償器掛簧滯後或失靈：自動補償水準儀內部補償機構摩擦引起的零位漂移。

2. 自然誤差：

• 地球曲率與大氣折光差（兩差）：地球表面為曲面使視線抬高，折光使視線下彎。在前、後視距等長條件下可完全相互抵消。
• 地面熱輻射與大氣閃爍（熱浪）：近地面折光率急遽變化導致影像晃動，應避免視線貼近地面（尺讀數避免低於 $0.5\text{ m}$）。
• 儀器與尺墊沉陷：架設於軟弱地盤導致高程基準變動。可採「後-前-前-后」（BFFB）之觀測順序抑減沉陷影響。
• 日照與溫度變化：造成儀器腳架不均勻受熱傾斜及水準尺熱脹冷縮。

3. 人為誤差：

• 水準尺未鉛直：尺身傾斜導致讀數偏大。
• 視差（Parallax）：目鏡與物鏡未調焦完全，十字絲與尺像未重合於同一平面。
• 氣泡居中不嚴密與讀數、記錄錯誤。

二、三角高程測量

(一) 施測方法

1. 作業流程：

• 架設儀器與量高：於測站點 $A$ 精密安置全測站儀，整平並對中，以鋼捲尺精確量取「儀器高 $i$」。
• 架設目標與量高：於待測點 $B$ 精密安置稜鏡（或照準標牌），精確量取「目標高（稜鏡高）$t$」。
• 觀測角度與距離：
• 正倒鏡照準稜鏡中心，測量天頂距 $Z$（或垂直角 $\alpha$），消除垂直度盤指標差。
• 啟動電子測距（EDM）測得測站至稜鏡之精確斜距 $S$。
• 計算高差：代入幾何與兩差修正公式推算 $A、B$ 間高差 $\Delta h_{AB}$。

核心觀念

方位角自北方向起順時針量測。圖中由射線 $AB$ 順時針轉至射線 $AC$ 的角度為 $\angle BAC$，因此：

觀測量互不相關時，和角的變異數等於各觀測量變異數之和。以下將題目所列的 $\pm15''$、$\pm20''$ 視為各觀測量的標準差。

解題方法

代入方位角與夾角：

方位角須落在 $0^\circ$ 至 $360^\circ$，故減去 $360^\circ$：

核心觀念

本題考查衛星導航定位系統（GNSS/GPS）中基礎的「虛擬距離觀測量」（Pseudorange）定位理論與幾何構形評估指標：

1. 虛擬距離定義與定位幾何原理：利用測距碼（PRN Code）量測信號傳播時間，因衛星與接收儀之鐘差、大氣延遲等誤差影響，所測得非真實幾何距離，稱為「虛擬距離」。定位採用三維「空間距離後方交會」（Space Trilateration/Resection），需解算測站三維坐標及接收儀鐘差等 4 個未知數。
2. 定位方法分類：絕對定位（單點定位，SPP）與相對/差分定位（DGPS）。
3. 精度稀釋因子（DOP）與 PDOP 定義：利用法方程式之逆矩陣（共變異數矩陣）對角線元素，量化衛星空間幾何構形對三維點位定位精度的幾何放大倍率。
4. PDOP 之影響因素：幾何體積、可見衛星數、空間分佈對稱性、截止仰角與周遭地形地物遮蔽等。

解題方法

1. 子題 (一) 切入點：

• 先破題說明虛擬距離之物理本質（自相關匹配測時、包含鐘差與大氣誤差）。
• 列出標準「虛擬距離觀測方程式」，說明幾何關係、已知數（衛星坐標與衛星鐘差）與待求未知數（測站坐標 $X, Y, Z$ 與接收儀鐘差 $dt$），推導至少需 4 顆衛星的力學與數學必然性。
• 區分「絕對單點定位」與「差分定位（DGPS）」兩種定位方法，說明其運作模式與精度差異。

2. 子題 (二) 切入點：

• 給出嚴密的數學定義：由法方程式係數矩陣推導協方差矩陣，定義 $PDOP = \sqrt{q_{XX} + q_{YY} + q_{ZZ}} = \sqrt{HDOP^2 + VDOP^2}$，並寫出定位誤差傳播公式 $\sigma_{3D} = PDOP \times \sigma_0$。
• 闡述空間幾何幾何涵義：四面體體積越大，PDOP 越小、幾何強度越高。
• 條列並深入說明影響 PDOP 的五大關鍵實務與環境因素。

選項分析

本題為申論題，非選擇題，無選項可供拆解。子題評分核心在於觀測方程式列式完整度、4 個未知數的清楚指認，以及 PDOP 之矩陣定義與實務影響因素分析。

解題技巧

1. 方程式不可少：申論「定位原理」若僅用純文字描述容易流於空泛，務必寫出虛擬距離觀測方程式 $P_i = \rho_i + c \cdot (dt - dT_i) + I_i + T_i + \varepsilon_i$，並點出 $4$ 個未知數與最少需 $4$ 顆衛星的關係。
2. PDOP 的雙重維度：回答 PDOP 時，兼具「數學矩陣（協方差矩陣對角項）」與「空間幾何（四面體體積）」兩層次，能顯現深厚理論功底。
3. 記憶口訣：

• 虛擬距離未知數：「三維坐標加一鐘差（$X, Y, Z, dt$）」。
• PDOP 影響因子：「數、佈、遮、角、時」（衛星數目、空間分佈、地形遮蔽、截止仰角、星曆時段）。

【答案】

(一) 衛星虛擬距離定位之原理及定位方法

1. 虛擬距離之定義

衛星發射之無線電信號載有偽隨機噪聲碼（PRN Code，如 C/A 碼或 P 碼）。接收儀透過自生複製碼與接收到的信號進行自相關匹配（Correlation），量測信號自衛星發射至接收儀天線之傳播時間延遲 $\Delta t$。將 $\Delta t$ 乘以真空中光速 $c$ 得到測距值 $P$： $P = c \cdot \Delta t$ 由於接收儀時鐘（通常為石英鐘）與衛星時鐘（原子鐘）無法達到完全同步，存在接收儀鐘差與衛星鐘差；再加上電離層延遲、對流層延遲等傳播路徑誤差，此測距值並非測站與衛星間真實之幾何距離，故稱為虛擬距離（Pseudorange）。

2. 定位原理

虛擬距離定位之本質為三維空間距離後方交會（Space Resection）：

• 觀測方程式： 第 $i$ 顆衛星對測站之虛擬距離觀測方程式可表示為： $P_i = \rho_i + c \cdot dt - c \cdot dT_i + I_i + T_i + \varepsilon_i$ 其中：
• $\rho_i = \sqrt{(X_i - X)^2 + (Y_i - Y)^2 + (Z_i - Z)^2}$ 為衛星與測站間之真實驗幾何距離。
• $(X_i, Y_i, Z_i)$ 為第 $i$ 顆衛星之三維空間坐標（由導航電文星曆解算，視為已知數）。
• $(X, Y, Z)$ 為測站待求之三維空間坐標（未知數）。
• $dt$ 為接收儀鐘差（未知數）。
• $dT_i$ 為衛星鐘差（可由導航電文參數修正）。
• $I_i, T_i$ 分別為電離層與對流層折射延遲（可透過模型改正）。
• $\varepsilon_i$ 為多路徑效應與觀測雜訊。

核心觀念

1. 電子測距儀（EDM）的誤差來源與數學模型 電子測距儀所測得的距離精度，通常以「固定誤差」與「比例誤差」組合表示，其測距中誤差標準式為： $\sigma_D = \pm \sqrt{a^2 + (b \cdot D)^2}$

• 加常數誤差（$a$）：屬於固定誤差（Additive Constant Error），其大小與所測距離長短無關。主要源自儀器發射／接收光心與測站中心不一致、稜鏡有效反射面與稜鏡中心不一致，以及內部電子延遲等固定偏差。本題中 $a = \pm 2\ \mathrm{mm}$。
• 乘常數誤差（$b$）：屬於比例誤差（Scale Factor / Multiplicative Error），其造成的誤差量大小與所測距離 $D$ 成正比。主要源自石英振盪器之調變頻率漂移、氣象改正（大氣溫度、氣壓設定）誤差等。常以 $\mathrm{ppm}$（parts per million，百萬分之一，$10^{-6}$）表示。本題中 $b = \pm 5\ \mathrm{ppm}$。

2. $\mathrm{ppm}$ 與測距誤差量的換算關係 $1\ \mathrm{ppm} = 1 \times 10^{-6} = \frac{1\ \mathrm{mm}}{1\ \mathrm{km}}$ 因此，$5\ \mathrm{ppm}$ 代表每測量 $1\ \mathrm{km}$ 的距離，會產生 $\pm 5\ \mathrm{mm}$ 的比例誤差量。

解題方法

題目要求具體分析「加常數誤差」與「乘常數誤差」對距離測量所造成誤差量的大小關係，並要求給出具體數值說明。解題切入點在於求出兩者誤差量相等時的臨界距離（Critical Distance, $D_0$），進而按距離區間進行分段討論。

1. 建立兩種誤差量的數學式

設測量距離為 $D$（單位：$\mathrm{m}$）：

• 加常數所致誤差量絕對值： $E_a = 2\ \mathrm{mm} = 2 \times 10^{-3}\ \mathrm{m}$
• 乘常數所致誤差量絕對值： $E_b = 5\ \mathrm{ppm} \times D = 5 \times 10^{-6} \times D\ (\mathrm{m})$

2. 計算兩者相等之臨界距離 $D_0$

令 $E_a = E_b$： $2 \times 10^{-3}\ \mathrm{m} = 5 \times 10^{-6} \times D_0$ $D_0 = \frac{2 \times 10^{-3}}{5 \times 10^{-6}} = \frac{2}{5} \times 10^3 = 400\ \mathrm{m}$

3. 分段分析與數值說明

由此可知，兩種誤差對距離測量所造成的誤差量大小，在不同的距離會有不同的表現，以 $D = 400\ \mathrm{m}$ 為臨界分界點：

1. 當測量距離小於 $400\ \mathrm{m}$（$D < 400\ \mathrm{m}$）時：加常數誤差大於乘常數誤差（$E_a > E_b$）

• 數值驗證：若測距 $D = 100\ \mathrm{m}$：
• 加常數誤差量 $E_a = 2\ \mathrm{mm}$
• 乘常數誤差量 $E_b = 5 \times 10^{-6} \times 100\ \mathrm{m} = 0.5\ \mathrm{mm}$
• 明顯可見 $2\ \mathrm{mm} > 0.5\ \mathrm{mm}$，此時以加常數誤差為主要影響項。