111 地方特考三等 測量製圖 測量平差法 考古題詳解

核心觀念

本題旨在評量測量成果品質評估之兩大基本統計指標——標準偏差（Standard Deviation, STD）與均方根誤差（Root-Mean-Square Error, RMSE）的數學定義、統計意涵，以及其與精確度（Precision）、**準確度（Accuracy）**的對應關係。

1. 標準偏差（STD）：

• 定義：衡量同一未知量之各觀測值相對於其「平均值（算術平均值）」的離散程度。
• 樣本標準偏差公式： $s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n v_i^2}{n - 1}}$ 其中 $x_i$ 為第 $i$ 次觀測值，$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$ 為樣本平均值，$v_i = x_i - \bar{x}$ 為殘差（Residual），$n$ 為觀測次數，$n-1$ 為自由度（Degrees of Freedom）。
• 統計意涵：標準偏差僅反映觀測值之間的離散性，代表**偶然誤差（隨機誤差）**的大小，與真值無關。

2. 均方根誤差（RMSE）：

• 定義：衡量觀測值（或估計值）相對於已知「真值（True Value）」或「高精度基準參考值」的總偏差程度。
• 公式： $\text{RMSE} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n (x_i - X)^2}{n}} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n \varepsilon_i^2}{n}}$ 其中 $X$ 為真值或參考值，$\varepsilon_i = x_i - X$ 為真誤差（True Error）。
• 統計意涵：RMSE 同時包含偶然誤差與**系統誤差（偏差，Bias）**的綜合效應。

解題方法

一、 利用公式說明標準偏差（STD）與均方根誤差（RMSE）之差異

設觀測母體之期望值為 $\mu = E(x)$，真值為 $X$，系統誤差（偏差）為 $B = \mu - X$。 定義均方誤差（Mean-Square Error, MSE）為真誤差平方之期望值： $\text{MSE} = E\left[(x - X)^2\right]$

將式中引入期望值 $\mu$ 展開：

因 $E(x - \mu) = 0$ 且母體方差 $\sigma^2 = E\left[(x - \mu)^2\right]$，上式化簡為： $\text{MSE} = \sigma^2 + B^2$

對兩端取平方根，即得 RMSE 與標準偏差 $\sigma$、偏差 $B$ 之數學關係： $\text{RMSE} = \sqrt{\sigma^2 + B^2}$

由上述公式可分析兩者之本質差異：

1. 比較基準不同：

• STD 以觀測值之「平均值 $\bar{x}$（或 $\mu$）」為基準，計算離均差平方和。
• RMSE 以「真值 $X$（或高精度外部基準）」為基準，計算真誤差平方和。

2. 反映誤差類型不同：

• STD 僅反映觀測過程中的隨機誤差（偶然誤差）。
• RMSE 綜合反映隨機誤差與系統誤差（Bias）。

3. 大小關係：

• 當測量成果不存在系統誤差（即 $B = 0$）時，$\text{RMSE} = \sigma$。

核心觀念

本題考核測量平差法中「單一常態母體平均數之假說檢定（單樣本 $t$ 檢定）」，以及水準測量閉合差之統計性質判定。

1. 水準測量閉合差性質： 水準測量兩點間之往返觀測，其往返高程差之和理論上僅包含偶然誤差，其期望值應為零（即 $\mu = 0$）。若期望值顯著不為零，代表觀測中可能存在未消除之儀器或人為系統誤差。
2. 統計檢定量之選定：

• 母體服從常態分布 $N(\mu, \sigma^2)$。
• 母體變異數 $\sigma^2$ 未知，以樣本變異數 $S^2$ 代替。
• 樣本數為小樣本（$n = 10 < 30$）。 在此條件下，檢定統計量服從自由度 $\nu = n - 1$ 的 Student's $t$ 分布： $t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{S}{\sqrt{n}}} \sim t(n - 1)$

3. 假說型態： 題目詢問母體期望值 $\mu$「是否為零」，並未指定方向性（偏大或偏小），故應採用雙尾檢定（Two-tailed test）。

解題方法

步驟一：建立假說

• 虛無假說（$H_0$）：$\mu = 0$（往返高程差之合期望值為零，無顯著系統誤差）
• 對立假說（$H_1$）：$\mu \neq 0$（往返高程差之合期望值不為零，存在顯著系統誤差）

步驟二：計算樣本統計量

觀測值個數 $n = 10$。 各次閉合差觀測值 $x_i$（單位：$\mathrm{mm}$）： $-0.8,\ -0.1,\ 1.4,\ -0.6,\ 0.1,\ 0.4,\ -1.6,\ 0.2,\ -0.9,\ 0.3$

1. 計算樣本平均數 $\bar{x}$： $\sum_{i=1}^{10} x_i = (-0.8) + (-0.1) + 1.4 + (-0.6) + 0.1 + 0.4 + (-1.6) + 0.2 + (-0.9) + 0.3 = -1.6\ \mathrm{mm}$ $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{-1.6}{10} = -0.16\ \mathrm{mm}$

2. 計算樣本標準偏差 $S$： 平方和計算： $\sum_{i=1}^{10} x_i^2 = (-0.8)^2 + (-0.1)^2 + 1.4^2 + (-0.6)^2 + 0.1^2 + 0.4^2 + (-1.6)^2 + 0.2^2 + (-0.9)^2 + 0.3^2$ $\sum_{i=1}^{10} x_i^2 = 0.64 + 0.01 + 1.96 + 0.36 + 0.01 + 0.16 + 2.56 + 0.04 + 0.81 + 0.09 = 6.64\ \mathrm{mm}^2$ 離均差平方和： $\sum_{i=1}^{10} (x_i - \bar{x})^2 = \sum x_i^2 - n\bar{x}^2 = 6.64 - 10 \times (-0.16)^2 = 6.64 - 0.256 = 6.384\ \mathrm{mm}^2$ 樣本變異數 $S^2$（自由度 $\nu = n - 1 = 9$）： $S^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1} = \frac{6.384}{9} \approx 0.7093\ \mathrm{mm}^2$ 樣本標準偏差 $S$： $S = \sqrt{0.7093} \approx 0.8422\ \mathrm{mm}$

3. 計算平均數之標準誤差 $S_{\bar{x}}$： $S_{\bar{x}} = \frac{S}{\sqrt{n}} = \frac{0.8422}{\sqrt{10}} \approx 0.2663\ \mathrm{mm}$

步驟三：計算檢定統計量 $t_{\text{calc}}$

在 $H_0: \mu = \mu_0 = 0$ 為真之假設下： $t_{\text{calc}} = \frac{\bar{x} - \mu_0}{S_{\bar{x}}} = \frac{-0.16 - 0}{0.2663} \approx -0.601$ 取其絕對值：

核心觀念

本題測驗平差法中最基礎且關鍵的「偶然誤差傳播定律」及其特例應用：

1. 獨立觀測值之線性函數中誤差傳播： 設函數為 $Y = a_1 X_1 + a_2 X_2 + \cdots + a_n X_n$，若各觀測量 $X_i$ 彼此獨立，且觀測精度相同（即等權觀測，中誤差皆為 $\sigma$），則函數之中誤差為： $\sigma_Y = \sqrt{\sum_{i=1}^n (a_i \sigma)^2}$
2. 觀測值總和之中誤差： 若 $Y = \sum_{i=1}^n X_i$（各係數 $a_i = 1$），則： $\sigma_{\Sigma} = \sqrt{n} \cdot \sigma$
3. 算術平均值之中誤差： 若 $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$（各係數 $a_i = \frac{1}{n}$），則： $\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
4. 目標精度與觀測次數的關係： 提高觀測精度與觀測次數 $n$ 的平方根成正比，觀測次數 $n$ 隨目標容許誤差之平方反比增加。

解題方法

第一小題：計算五邊形內角和之中誤差

1. 建立函數關係： 五邊形共有 $5$ 個內角，設各內角之獨立觀測值分別為 $\beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4, \beta_5$。 五邊形內角和 $\Sigma$ 之函數關係式為： $\Sigma = \beta_1 + \beta_2 + \beta_3 + \beta_4 + \beta_5$
2. 應用誤差傳播定律： 已知在相同觀測條件下，各內角獨立觀測之中誤差均為 $\sigma = 6''$。 根據線性函數誤差傳播定律： $\sigma_{\Sigma}^2 = \sigma_{\beta_1}^2 + \sigma_{\beta_2}^2 + \sigma_{\beta_3}^2 + \sigma_{\beta_4}^2 + \sigma_{\beta_5}^2 = 5 \cdot \sigma^2$ $\sigma_{\Sigma} = \sqrt{5} \cdot \sigma$
3. 代入數值計算： $\sigma_{\Sigma} = \sqrt{5} \times 6'' \approx 2.2361 \times 6'' \approx 13.42''$

第二小題：計算重複觀測 5 次之內角平均值中誤差

1. 建立平均值函數： 同一內角獨立重複觀測 $n = 5$ 次，設觀測值為 $x_1, x_2, \dots, x_5$，平均值為： $\bar{x} = \frac{1}{5}(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5)$
2. 應用算術平均值中誤差公式：

核心觀念

本題考水準網的間接觀測平差。各路線觀測誤差與路線長度平方根成正比，因此觀測值的變異數與路線長度成正比，權數與路線長度成反比：

依圖示箭頭方向，觀測高程差均採「終點高程減起點高程」：

• $h_1$：$A\to C$
• $h_2,h_3,h_4$：$C\to D$
• $h_5$：$D\to B$

解題方法

令未知高程向量為 $\mathbf{x}=[H_C,H_D]^T$。將已知點高程移至觀測方程右側，可寫成：

其中

各路線長為 $2,4,2,4,4\ \mathrm{km}$，故可取權矩陣：

加權最小二乘解為：

計算得：

因此：