110 地方特考三等 測量製圖 測量平差法 考古題詳解

110 年・地方特考・三等・測量製圖
試題代碼 測量平差法

第 一 題25 分

已知甲、乙、丙三人觀測一水平角度的權比例為 3:4:53:4:5，若甲的觀測精度為 4′′4''，則乙和丙的觀測精度為何？又若三人觀測同一角度各一次，假設為獨立不相關觀測，請以這三個角度觀測值求該水平角度最或是值的標準差。（25分）

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核心觀念

本題考查「權」與「觀測精度（標準差）」之間的反比關係，以及獨立觀測之加權平均與其標準差。

在測量平差中，觀測量的權通常定義為

pi∝1σi2p_i \propto \frac{1}{\sigma_i^2}

其中：

  • pip_i：第 ii 個觀測值的權；
  • σi\sigma_i：第 ii 個觀測值的標準差，也就是觀測精度所代表的誤差標準差。

因此，權比與標準差的關係為

pA:pB:pC=1σA2:1σB2:1σC2p_A:p_B:p_C = \frac{1}{\sigma_A^2}: \frac{1}{\sigma_B^2}: \frac{1}{\sigma_C^2}

權越大，表示觀測精度越高，標準差越小。

解題方法

一、求乙、丙二人的觀測精度

已知

pA:pB:pC=3:4:5p_A:p_B:p_C=3:4:5

且甲的觀測精度為

σA=4′′\sigma_A=4''

由

pBpA=σA2σB2\frac{p_B}{p_A} = \frac{\sigma_A^2}{\sigma_B^2}

可得

σB=σApApB\sigma_B = \sigma_A\sqrt{\frac{p_A}{p_B}}

代入數值：

σB=4′′34=23′′≈3.46′′\sigma_B = 4''\sqrt{\frac{3}{4}} = 2\sqrt{3}'' \approx 3.46''

因此乙的觀測精度為

σB=23′′≈3.46′′\boxed{\sigma_B=2\sqrt{3}''\approx 3.46''}

同理，丙的觀測精度為

σC=σApApC\sigma_C = \sigma_A\sqrt{\frac{p_A}{p_C}} σC=4′′35=4155′′≈3.10′′\sigma_C = 4''\sqrt{\frac{3}{5}} = \frac{4\sqrt{15}}{5}'' \approx 3.10''

因此丙的觀測精度為

σC=4155′′≈3.10′′\boxed{\sigma_C=\frac{4\sqrt{15}}{5}''\approx 3.10''}

由於權比為 3:4:53:4:5，所以三人的精度高低為丙最高、乙次之、甲最低；對應的標準差則為丙最小、乙次之、甲最大。

二、求三個角度觀測值之最或然值標準差

三人各觀測同一水平角一次，且觀測彼此獨立不相關。設三個觀測值為 LA,LB,LCL_A,L_B,L_C，則該角度的加權最或然值為

L^=pALA+pBLB+pCLCpA+pB+pC\hat{L} = \frac{p_A L_A+p_B L_B+p_C L_C} {p_A+p_B+p_C}

其標準差為

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第 二 題25 分

已知水準測量標準差為 3 mmK3\text{ mm}\sqrt{K}（KK 為水準路線長，以公里數計）。若往測的水準路線長為 22 公里，返測的水準路線長為 2.52.5 公里。假設往返測獨立不相關，試求往返測高程差平均值的標準差。（25分）

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核心觀念

本題考查水準測量誤差的標準差，以及獨立觀測量平均值的誤差傳播。

水準路線長為 KK 公里時，其高程差標準差為

σ=3 mmK.\sigma=3\text{ mm}\sqrt{K}.

往測與返測彼此獨立且不相關，因此其誤差變異數可以相加。往返測高程差平均值為兩次觀測值的平均，平均運算會使變異數除以 222^2。

解題方法

設往測高程差為 Δh1\Delta h_1，返測所得的高程差經方向改正後為 Δh2\Delta h_2，則平均高程差為

Δh‾=Δh1+Δh22.\overline{\Delta h} =\frac{\Delta h_1+\Delta h_2}{2}.

往測路線長 K1=2K_1=2 公里，因此

σ1=32 mm,\sigma_1=3\sqrt{2}\text{ mm},

其變異數為

σ12=9(2)=18 mm2.\sigma_1^2=9(2)=18\text{ mm}^2.

返測路線長 K2=2.5K_2=2.5 公里，因此

σ2=32.5 mm,\sigma_2=3\sqrt{2.5}\text{ mm},

其變異數為

σ22=9(2.5)=22.5 mm2.\sigma_2^2=9(2.5)=22.5\text{ mm}^2.

由於往返測獨立不相關，

Var⁡(Δh‾)=Var⁡(Δh1+Δh22)\operatorname{Var}(\overline{\Delta h}) =\operatorname{Var}\left(\frac{\Delta h_1+\Delta h_2}{2}\right) =14(σ12+σ22).=\frac{1}{4}\left(\sigma_1^2+\sigma_2^2\right).

代入數值：

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第 三 題25 分

試論點位誤差橢圓的意義。又已知 A\text{A}、B\text{B} 兩點間的相對誤差橢圓的長軸半徑為 5 cm\sqrt{5}\text{ cm}，短軸半徑為 1 cm1\text{ cm}，示意圖如下所示，且這兩點的距離為 250250 公尺。試估計 A\text{A}、B\text{B} 兩點間連線方向的相對精度（請以分數形式表示）。（25分）

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

點位誤差橢圓是以平差所得點位坐標誤差的協方差矩陣為基礎，用來表示點位誤差在不同方向上的大小與分布情形。

  • 長軸方向：點位誤差標準差最大。
  • 短軸方向：點位誤差標準差最小。
  • 橢圓任一方向上的半徑：代表該方向的點位誤差標準差。
  • 相對誤差橢圓：表示兩點間相對位置誤差的大小與方向。

本題已知：

a=5 cm,b=1 cma=\sqrt{5}\text{ cm},\qquad b=1\text{ cm}

其中 aa 為長軸半徑，bb 為短軸半徑；且長軸與 ABAB 連線方向夾角為 30∘30^\circ。

解題方法

要求 ABAB 連線方向的相對精度，先求相對誤差橢圓在 ABAB 方向上的半徑。

若某方向與誤差橢圓長軸夾角為 θ\theta，則該方向的誤差標準差為

σθ=a2cos⁡2θ+b2sin⁡2θ\sigma_\theta = \sqrt{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}

代入 θ=30∘\theta=30^\circ：

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第 四 題25 分

一水準網如下圖，水準測量高程差觀測值及水準路線長如下表。圖中，A\text{A}、B\text{B}、C\text{C}、D\text{D} 四點的高程值分別為 35.00035.000 公尺、30.60030.600 公尺、48.12548.125 公尺和 42.90342.903 公尺。假設所有觀測量獨立不相關，請以最小二乘法平差計算該水準網，並估計後驗單位權標準差、E\text{E} 和 F\text{F} 點的高程值和其標準差。（25分）

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

水準路線高程差觀測值（公尺）水準路線長（公里）
A→B\text{A} \rightarrow \text{B}−4.408-4.40833
B→E\text{B} \rightarrow \text{E}8.6328.63266
A→E\text{A} \rightarrow \text{E}4.2674.26744
E→F\text{E} \rightarrow \text{F}−0.446-0.44611
D→F\text{D} \rightarrow \text{F}−4.081-4.08122
D→C\text{D} \rightarrow \text{C}5.2415.24155
F→C\text{F} \rightarrow \text{C}9.3429.34288
🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查水準網的最小二乘平差。已知 A\text{A}、B\text{B}、C\text{C}、D\text{D} 高程，未知數為 E\text{E}、F\text{F} 高程。

水準路線長度越長，觀測誤差通常越大，因此採用

σi2=σ02Li,Pi=1Li\sigma_i^2=\sigma_0^2L_i,\qquad P_i=\frac{1}{L_i}

作為權矩陣。以觀測方程

v=Ax−l\mathbf{v}=\mathbf{A}\mathbf{x}-\mathbf{l}

表示，其中 x=[HE,HF]T\mathbf{x}=[H_E,H_F]^T。

解題方法

1. 建立各觀測之等價觀測值

由已知點高程，將觀測方程整理為未知高程的形式：

路線方程等價觀測值B→EHE−HB=8.632HE=39.232A→EHE−HA=4.267HE=39.267E→FHF−HE=−0.446HF−HE=−0.446D→FHF−HD=−4.081HF=38.822F→CHC−HF=9.342HF=38.783\begin{array}{c|c|c} \text{路線} & \text{方程} & \text{等價觀測值}\\ \hline B\rightarrow E & H_E-H_B=8.632 & H_E=39.232\\ A\rightarrow E & H_E-H_A=4.267 & H_E=39.267\\ E\rightarrow F & H_F-H_E=-0.446 & H_F-H_E=-0.446\\ D\rightarrow F & H_F-H_D=-4.081 & H_F=38.822\\ F\rightarrow C & H_C-H_F=9.342 & H_F=38.783 \end{array}

因此

x=[HEHF],A=[1010−110101]\mathbf{x}= \begin{bmatrix} H_E\\ H_F \end{bmatrix}, \qquad \mathbf{A}= \begin{bmatrix} 1&0\\ 1&0\\ -1&1\\ 0&1\\ 0&1 \end{bmatrix} l=[39.23239.267−0.44638.82238.783]\mathbf{l}= \begin{bmatrix} 39.232\\ 39.267\\ -0.446\\ 38.822\\ 38.783 \end{bmatrix}

各觀測權為

P=diag⁡(16,14,1,12,18)P=\operatorname{diag} \left( \frac16,\frac14,1,\frac12,\frac18 \right)

2. 法方程式

最小二乘解為

x^=(ATPA)−1ATPl\hat{\mathbf{x}} = (\mathbf{A}^T\mathbf{P}\mathbf{A})^{-1} \mathbf{A}^T\mathbf{P}\mathbf{l}

法方程係數矩陣為

N=ATPA=[17/12−1−113/8]\mathbf{N}=\mathbf{A}^T\mathbf{P}\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 17/12&-1\\ -1&13/8 \end{bmatrix}

其逆矩陣為

N−1=[1.2480.7680.7681.088]\mathbf{N}^{-1} = \begin{bmatrix} 1.248&0.768\\ 0.768&1.088 \end{bmatrix}

解得

HE=39.256456 m\boxed{H_E=39.256456\ \text{m}} HF=38.811896 m\boxed{H_F=38.811896\ \text{m}}

3. 計算殘差與後驗單位權標準差

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