110 地方特考三等 測量製圖 航空測量學 考古題詳解

110 年・地方特考・三等・測量製圖
試題代碼 航空測量學

第 一 題25 分

試回答與非量測型相機（Non-Metric Camera）率定（Calibration）有關之問題：

（一）相機率定之項目以及目的分別為何？（15 分）

（二）試繪圖並說明，以立體像對為例，像片若未進行率定項目之改正，對物空間資訊之獲取會如何影響（至少須列出兩項說明）？（10 分）

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核心觀念

非量測型相機未經嚴格製造與檢校，像片座標與理想中心投影幾何之間存在系統誤差。相機率定的目的，是求得相機的內方位元素及鏡頭、影像幾何畸變參數，將像片量測座標改正為可用於攝影測量的理想像平面座標。

立體攝影測量的基本條件，是左右像片上的同名像點所形成的兩條投影光線，應在物空間交會於同一地面點。若像片未率定，光線方向錯誤，交會位置即會產生誤差。

（一）相機率定項目及目的

1. 相機內方位元素

（1）主距或焦距 ff

主距是投影中心至像平面的垂距，決定投影光線的張角及像片比例尺。

理想共線方程式可表示為：

x=−fX−X0Z−Z0,y=−fY−Y0Z−Z0x=-f\frac{X-X_0}{Z-Z_0},\qquad y=-f\frac{Y-Y_0}{Z-Z_0}

其中 ff 即為主距。若 ff 估計錯誤，會造成：

  • 像片比例尺錯誤；
  • 立體模型尺度錯誤；
  • 地面點高程及平面位置產生系統性誤差；
  • 外方位元素與主距之間發生補償，降低定位精度。

（2）主點位置 (x0,y0)(x_0,y_0)

主點是攝影中心垂直投影至像平面的位置，實務上可能不在像片幾何中心或影像中心。

像點應先換算為相對主點座標：

x′=x−x0,y′=y−y0x'=x-x_0,\qquad y'=y-y_0

若主點位置未改正，所有像點的光線方向均會產生固定偏移，形成系統性的像點誤差，進而造成模型平移、傾斜及平面位置偏差。

（3）像片坐標軸之非正交、比例差及仿射參數

實際掃描、感測器排列或影像轉換可能造成：

  • xx、yy 方向比例不同；
  • 像片坐標軸不完全垂直；
  • 剪切（shear）；
  • 仿射變形（affine distortion）。

其目的在於將影像像素坐標轉換為正確的攝影量測坐標，避免因坐標軸幾何不一致造成方向性比例誤差及模型變形。

2. 鏡頭畸變參數

（1）徑向畸變（Radial Distortion）

徑向畸變是光線距離主點越遠，影像位移越明顯的畸變，主要由鏡頭曲率及光學組合造成。可用下式表示：

Δxr=x′(k1r2+k2r4+k3r6)\Delta x_r=x'(k_1r^2+k_2r^4+k_3r^6) Δyr=y′(k1r2+k2r4+k3r6)\Delta y_r=y'(k_1r^2+k_2r^4+k_3r^6)

其中：

r2=x′2+y′2r^2=x'^2+y'^2

k1,k2,k3k_1,k_2,k_3 為徑向畸變係數。其目的在於改正桶狀或枕狀畸變，使影像點回復至理想透視投影位置。

（2）切向畸變或偏心畸變（Tangential／Decentering Distortion）

鏡頭各組件若未完全同軸，會產生切向畸變，常用參數 p1,p2p_1,p_2 表示：

Δxt=2p1x′y′+p2(r2+2x′2)\Delta x_t=2p_1x'y'+p_2(r^2+2x'^2) Δyt=p1(r2+2y′2)+2p2x′y′\Delta y_t=p_1(r^2+2y'^2)+2p_2x'y'

其目的在於改正鏡頭光學中心偏心所造成的非對稱性影像位移。

（3）總畸變改正

像點的總畸變改正量為：

Δx=Δxr+Δxt\Delta x=\Delta x_r+\Delta x_t Δy=Δyr+Δyt\Delta y=\Delta y_r+\Delta y_t

因此，改正後像點可寫為：

xc=x′+Δx,yc=y′+Δyx_c=x'+\Delta x,\qquad y_c=y'+\Delta y

實際正負號依採用的畸變模型及改正定義而定，但核心目的都是將實測像點改化為理想像點。

3. 其他影像幾何參數

非量測型相機率定亦可包括：

  • 感測器像元尺寸；
  • xx、yy 方向尺度差；
  • 像元非正方形造成的比例差；
  • 影像主軸偏斜；
  • 快門、掃描或感測器造成的影像幾何變形；
  • 不同焦距或變焦位置下的參數變化。

這些參數用於建立完整的影像坐標轉換模型，使影像量測值能正確帶入共線條件式、前方交會及光束法平差。

（二）立體像對中未作率定改正的影響

1. 理想立體攝影幾何

以左右攝影站 LL、RR 攝取同一地面點 PP 為例：

 P
 / \
 / \
 / \
 / \
 L ●---------● R
 左攝影站 右攝影站

左右像片上的同名像點分別為 plp_l、prp_r。理想情形下，兩條投影光線應在 PP 點交會：

L,pl,P 共線L,p_l,P \ \text{共線} R,pr,P 共線R,p_r,P \ \text{共線}

若像點坐標未扣除主點偏移、鏡頭畸變或其他內方位誤差，實際使用的像點為 pl′,pr′p_l',p_r'，其投影光線會偏離正確方向：

 P' P
 / \ / \
 / \ / \
 / \ / \
 L ●---------● R

此時左右光線不會正確交會於真實點 PP，計算所得位置會變成錯誤點 P′P'，甚至產生上下視差或無法精確交會。

2. 主距錯誤造成模型尺度及高程誤差

立體測量中，地面高程與像片基線、高度及像片視差有關。簡化情況下：

H=fBpH=\frac{fB}{p}

其中：

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第 二 題25 分

若已知內、外方位元素（Interior, Exterior Orientation Parameters）之單張像幅式數位航空影像，且已知該影像所涵蓋區域之數值地形模型，試詳述如何求得影像上任一像點的地面三維坐標？（15 分）

所求得之坐標精度受哪些因素影響？（10 分）

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核心觀念

本題考查「單張中心投影航空影像的共線條件」與「數值地形模型（Digital Terrain Model, DTM）地表約束」的結合。

已知單張影像的：

  • 內方位元素：焦距 ff、主點坐標 (x0,y0)(x_0,y_0)、鏡頭畸變參數等。
  • 外方位元素：攝影中心地面坐標 (Xs,Ys,Zs)(X_s,Y_s,Z_s)，以及影像坐標系至地面坐標系的旋轉矩陣 RR。
  • 影像涵蓋區域的 DTM，即地面高程函數 Z=T(X,Y)Z=T(X,Y)。

單一像點依中心投影原理，只能決定一條由攝影中心出發的空間光線，尚不能直接決定唯一地面點。必須利用 DTM 所提供的地面高程條件，求出該光線與地形面的交點，所得交點即為像點對應的地面三維坐標。

解題方法

一、取得像點的像平面坐標

設影像上任一像點的像素坐標為 (u,v)(u,v)。先利用內方位元素將像素坐標轉為像平面坐標：

x=u−u0x=u-u_0 y=v−v0y=v-v_0

若影像坐標軸方向與攝影坐標系的正方向不同，必須依所採用的坐標定義調整 yy 的正負號。

若已知鏡頭畸變參數，應先進行徑向畸變、切向畸變及其他系統誤差改正，得到改正後的像平面坐標 (x′,y′)(x',y')。以下以改正後坐標 x′,y′x',y' 表示。

像點在攝影坐標系中的方向向量可寫為：

rc=[x′y′−f]\mathbf{r}_c= \begin{bmatrix} x'\\ y'\\ -f \end{bmatrix}

其中 −f-f 的正負取決於攝影坐標系的定義；關鍵在於全程採用一致的坐標及旋轉矩陣慣例。

二、利用外方位元素求地面坐標系中的光線方向

設攝影中心在地面坐標系中的坐標為：

Xs=[XsYsZs]\mathbf{X}_s= \begin{bmatrix} X_s\\ Y_s\\ Z_s \end{bmatrix}

利用外方位元素的旋轉矩陣 RR，將攝影坐標系方向向量轉換至地面坐標系：

d=Rrc=[dXdYdZ]\mathbf{d}=R\mathbf{r}_c = \begin{bmatrix} d_X\\ d_Y\\ d_Z \end{bmatrix}

因此，通過攝影中心且通過該像點的空間光線，其參數式為：

X(λ)=Xs+λd\mathbf{X}(\lambda) = \mathbf{X}_s+\lambda\mathbf{d}

亦即：

X(λ)=Xs+λdXX(\lambda)=X_s+\lambda d_X Y(λ)=Ys+λdYY(\lambda)=Y_s+\lambda d_Y Z(λ)=Zs+λdZZ(\lambda)=Z_s+\lambda d_Z

其中 λ\lambda 為沿光線方向的尺度參數。只要方向向量與坐標系一致，是否將 d\mathbf{d} 正規化並不影響交點結果。

三、以 DTM 建立地形面高程條件

DTM 通常以規則網格或不規則網格記錄地面高程。對於光線投影到的平面位置 (X,Y)(X,Y)，可透過雙線性內插、三角網格內插或其他適當方法求得地形高程：

Z=T(X,Y)Z=T(X,Y)

將光線上的坐標代入 DTM 高程函數，地面交點必須滿足：

Zs+λdZ=T(Xs+λdX,  Ys+λdY)Z_s+\lambda d_Z = T\left(X_s+\lambda d_X,\;Y_s+\lambda d_Y\right)

因此可建立一元非線性方程：

F(λ)=Zs+λdZ−T(Xs+λdX,  Ys+λdY)=0F(\lambda) = Z_s+\lambda d_Z - T\left(X_s+\lambda d_X,\;Y_s+\lambda d_Y\right) =0

求得使 F(λ)=0F(\lambda)=0 的 λ\lambda，即可得到像點對應的地面坐標：

X=Xs+λdXX=X_s+\lambda d_X Y=Ys+λdYY=Y_s+\lambda d_Y Z=Zs+λdZZ=Z_s+\lambda d_Z

這組 (X,Y,Z)(X,Y,Z) 即為所求的地面三維坐標。

四、數值求解方式

方法一：逐步追蹤光線與 DTM 網格交會

將攝影中心至像點的光線投射至地面，在光線通過的 DTM 網格中逐格追蹤。對每一個網格單元，以該單元的地形平面表示地形面，求光線與該平面的交點。

若交點落在該網格單元內，且其高程與地形面相符，即可確定交點。此方法適合實際軟體進行光線追蹤，並可處理 DTM 網格中不同高程的地形變化。

方法二：以迭代法求解

將 DTM 內插函數代入：

F(λ)=Zs+λdZ−T(Xs+λdX,Ys+λdY)F(\lambda) = Z_s+\lambda d_Z - T(X_s+\lambda d_X,Y_s+\lambda d_Y)

先給定一個 λ\lambda 初值，計算光線上的 (X,Y)(X,Y) 及 DTM 高程，再依高程差修正 λ\lambda，直到滿足：

∣F(λ)∣<ε|F(\lambda)|<\varepsilon

其中 ε\varepsilon 為設定的高程收斂門檻。

若在一個 DTM 網格單元內將地形視為平面：

Z=aX+bY+cZ=aX+bY+c

代入光線方程：

Zs+λdZ=a(Xs+λdX)+b(Ys+λdY)+cZ_s+\lambda d_Z = a(X_s+\lambda d_X) +b(Y_s+\lambda d_Y)+c

可直接求得：

λ=aXs+bYs+c−ZsdZ−adX−bdY\lambda = \frac{aX_s+bY_s+c-Z_s} {d_Z-ad_X-bd_Y}

求得 λ\lambda 後，再計算 X,Y,ZX,Y,Z。若交點不在該網格單元內，則改用光線通過的下一個網格單元繼續求解。

五、完整作業流程

實際計算可依下列順序進行：

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第 三 題25 分

若利用影像覆蓋範圍內，足夠數量之地面控制點的坐標與相應的影像坐標，以獲取航攝影像的外方位元素，請詳述其數學模式、各參數的意義及誤差來源。（15 分）

除了前述方法外，獲取航攝影像外方位元素可採取的方法還有哪些？（10 分）

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核心觀念

本題考查航攝影像之外方位元素（Exterior Orientation Elements, EOE）求定，以及利用地面控制點進行「空間後方交會」（space resection）的數學模式。

航攝影像之外方位元素共有 6 個：

  1. 攝影中心坐標：Xs,  Ys,  ZsX_s,\;Y_s,\;Z_s
  2. 攝影姿態角：ω,  φ,  κ\omega,\;\varphi,\;\kappa

其中：

  • Xs,  Ys,  ZsX_s,\;Y_s,\;Z_s：攝影曝光瞬間攝影中心在地面坐標系中的三維坐標。
  • ω\omega：繞 XX 軸旋轉之翻滾角（roll）。
  • φ\varphi：繞 YY 軸旋轉之俯仰角（pitch）。
  • κ\kappa：繞 ZZ 軸旋轉之偏航角（yaw）。
  • ff：攝影機主距。
  • x0,  y0x_0,\;y_0：主點坐標。
  • X,  Y,  ZX,\;Y,\;Z：地面控制點坐標。
  • x,  yx,\;y：該控制點在影像坐標系中的量測坐標。

已知足夠數量的地面控制點坐標及其對應影像坐標，即可利用共線條件求解 6 個外方位元素。

解題方法：空間後方交會

一、共線條件

航攝影像成像時，地面點、攝影中心及其影像點必須位於同一直線上，因此建立共線條件方程式。

令地面點相對於攝影中心的坐標差為：

ΔX=X−Xs,ΔY=Y−Ys,ΔZ=Z−Zs\Delta X=X-X_s,\qquad \Delta Y=Y-Y_s,\qquad \Delta Z=Z-Z_s

以旋轉矩陣 R=[rij]R=[r_{ij}] 表示地面坐標系與攝影坐標系之間的姿態轉換，則共線條件可寫為：

x−x0=−fr11ΔX+r12ΔY+r13ΔZr31ΔX+r32ΔY+r33ΔZx-x_0 = -f\frac{r_{11}\Delta X+r_{12}\Delta Y+r_{13}\Delta Z} {r_{31}\Delta X+r_{32}\Delta Y+r_{33}\Delta Z} y−y0=−fr21ΔX+r22ΔY+r23ΔZr31ΔX+r32ΔY+r33ΔZy-y_0 = -f\frac{r_{21}\Delta X+r_{22}\Delta Y+r_{23}\Delta Z} {r_{31}\Delta X+r_{32}\Delta Y+r_{33}\Delta Z}

旋轉矩陣的元素由 ω,φ,κ\omega,\varphi,\kappa 決定。採用不同旋轉順序時，矩陣元素形式可能不同，但必須前後一致。常用形式之一為：

R=RκRφRωR=R_\kappa R_\varphi R_\omega

其中：

Rω=[1000cos⁡ωsin⁡ω0−sin⁡ωcos⁡ω]R_\omega= \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&\cos\omega&\sin\omega\\ 0&-\sin\omega&\cos\omega \end{bmatrix} Rφ=[cos⁡φ0−sin⁡φ010sin⁡φ0cos⁡φ]R_\varphi= \begin{bmatrix} \cos\varphi&0&-\sin\varphi\\ 0&1&0\\ \sin\varphi&0&\cos\varphi \end{bmatrix} Rκ=[cos⁡κsin⁡κ0−sin⁡κcos⁡κ0001]R_\kappa= \begin{bmatrix} \cos\kappa&\sin\kappa&0\\ -\sin\kappa&\cos\kappa&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix}

上述方程式即為利用地面控制點求定航攝影像外方位元素的基本數學模式。

二、觀測量與未知參數

每一個地面控制點提供兩個影像觀測量：

xi,yix_i,\qquad y_i

若地面坐標已知：

Xi,Yi,ZiX_i,\qquad Y_i,\qquad Z_i

則未知數為：

θ=[XsYsZsωφκ]T\boldsymbol{\theta} = \begin{bmatrix} X_s&Y_s&Z_s&\omega&\varphi&\kappa \end{bmatrix}^{T}

每一個控制點可建立兩條共線條件方程式，因此至少需要 3 個控制點才能在理論上提供 6 條方程式。但是實務上必須使用多於 3 個控制點，以便進行最小二乘平差、估計精度及檢核粗差。

控制點應儘量：

  • 均勻分布於影像範圍內；
  • 位於影像四周及中央；
  • 具有適當高程差；
  • 避免集中於同一直線或狹小區域。

三、非線性方程式線性化

共線條件方程式含有三角函數及分式，屬於非線性方程式。實際計算時，先給定外方位元素的近似值：

Xs0,  Ys0,  Zs0,  ω0,  φ0,  κ0X_s^0,\;Y_s^0,\;Z_s^0,\;\omega^0,\;\varphi^0,\;\kappa^0

令未知參數改以改正數表示：

Δθ=[dXsdYsdZsdωdφdκ]T\Delta\boldsymbol{\theta} = \begin{bmatrix} dX_s&dY_s&dZ_s&d\omega&d\varphi&d\kappa \end{bmatrix}^{T}

將方程式在近似值附近以泰勒級數展開並略去二次以上項，可得：

v=AΔθ−l\mathbf{v}=\mathbf{A}\Delta\boldsymbol{\theta}-\mathbf{l}

或寫成觀測方程式：

l+v=AΔθ\mathbf{l}+\mathbf{v} = \mathbf{A}\Delta\boldsymbol{\theta}

其中：

  • l\mathbf{l}：由實測影像坐標與近似外方位元素計算所得之常數項；
  • v\mathbf{v}：影像坐標觀測值之殘差；
  • A\mathbf{A}：對共線方程式分別對 6 個未知參數微分所得之設計矩陣；
  • Δθ\Delta\boldsymbol{\theta}：外方位元素的改正數。

以最小二乘法求解：

Δθ=(ATPA)−1ATPl\Delta\boldsymbol{\theta} = (\mathbf{A}^{T}\mathbf{P}\mathbf{A})^{-1} \mathbf{A}^{T}\mathbf{P}\mathbf{l}
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第 四 題25 分

試回答下列有關影像分類（Image Classification）的問題：

（一）何謂監督式（Supervised）影像分類？（10 分）

（二）假設混淆矩陣（Confusion Matrix）如下表所示（類別分別為甲、乙兩類），請說明下列精度指標的意義並列出計算式：

  1. 整體精度（Overall Accuracy）。
  2. 生產者精度（Producer’s Accuracy）。
  3. 使用者精度（User’s Accuracy）。（15 分）
分類資料＼真實參考資料甲乙
甲AB
乙CD
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核心觀念

本題考查影像分類中的「監督式分類」及混淆矩陣精度評估。

混淆矩陣中：

  • 列（分類資料）：分類結果。
  • 欄（真實參考資料）：地面真實類別或參考資料。
  • AA、DD：分類正確的數量。
  • BB、CC：分類錯誤的數量。
  • 總樣本數為 N=A+B+C+DN=A+B+C+D

（一）監督式影像分類

監督式影像分類是指，事先利用已知地面真實類別的訓練樣本，建立各類別的光譜或影像特徵模型，再依據此模型將未知影像像元或影像區塊分派至適當類別的方法。

其基本流程如下：

  1. 依地面調查資料、既有地圖或判釋結果，選取各類別的訓練樣本。
  2. 從訓練樣本估計各類別的特徵，例如平均值、變異數、共變異數或光譜特徵。
  3. 建立分類決策規則，例如最小距離法、最大概似法或其他分類器。
  4. 將未知像元的特徵代入決策規則，判定其所屬類別。
  5. 以獨立的真實參考資料建立混淆矩陣，評估分類成果的精度。

監督式分類的核心在於：分類器的決策規則是由已知類別的訓練資料建立，而非完全由影像本身自動分群。

（二）混淆矩陣精度指標

1. 整體精度 Overall Accuracy

整體精度表示所有樣本中，被正確分類的樣本比例。

正確分類樣本為矩陣主對角線上的 AA 與 DD，因此：

Overall Accuracy=A+DA+B+C+D×100%\text{Overall Accuracy} = \frac{A+D}{A+B+C+D}\times 100\%

其意義是評估整體分類成果的正確程度。

2. 生產者精度 Producer’s Accuracy

生產者精度是以「真實參考資料」為基準，表示某一真實類別的樣本有多少被正確分類。

由於真實參考資料位於欄，因此以各欄的正確分類數除以該欄總數。

甲類生產者精度：

PA甲=AA+C×100%\text{PA}_{甲} = \frac{A}{A+C}\times 100\%

乙類生產者精度：

PA乙=DB+D×100%\text{PA}_{乙} = \frac{D}{B+D}\times 100\%

生產者精度主要反映分類結果的「遺漏誤差」：

  • 甲類遺漏誤差為 CA+C×100%\frac{C}{A+C}\times 100\%
  • 乙類遺漏誤差為 BB+D×100%\frac{B}{B+D}\times 100\%

例如，甲類真實樣本中有 CC 個被誤分為乙類，會造成甲類的遺漏。

3. 使用者精度 User’s Accuracy

使用者精度是以「分類結果」為基準，表示被分為某一類的樣本中，有多少確實屬於該類。

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測量製圖《航空測量學》其他年度

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