110 地方特考三等 測量製圖 地理資訊系統與數值製圖 考古題詳解

核心觀念

本題考查 GIS 對資料的基本分類，以及各類資料在空間位置、幾何表示、屬性描述、時間變化與資料品質上的特性。

GIS 資料的核心可分為：

1. 空間資料（Spatial Data）：描述地物「在哪裡」及其空間形狀、位置與相互關係。
2. 屬性資料（Attribute Data）：描述地物「是什麼」、具有哪些性質及數值。
3. 時間資料（Temporal Data）：描述地物在何時存在、狀態如何變化。
4. 描述資料（Metadata）：說明資料的來源、製作方法、坐標系統、比例尺、精度、更新日期及使用限制。

實務上，GIS 以空間資料為主體，並透過唯一識別碼與屬性資料建立連結；時間資料及描述資料則補充資料的歷史性與可信度。

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一、依資料內容分類

（一）空間資料

空間資料記錄地理現象的空間位置與形狀，主要包括下列內容：

1. 位置（Location）

以坐標表示地物在地球上的位置，例如平面直角坐標、經緯度坐標。

2. 幾何形狀（Geometry）

依地物特性表示為：

• 點（Point）：表示具有明確位置、但面積可忽略的地物，例如控制點、井、消防栓。
• 線（Line）：表示具有長度及方向的地物，例如道路、河流、管線。
• 面（Polygon）：表示具有範圍及面積的地物，例如地籍區、湖泊、行政區。
• 網格（Grid）：將空間劃分為規則格網，每一格儲存一個或多個數值，例如高程、降雨量、土地覆蓋分類。

3. 空間關係（Spatial Relationship）

描述地物間的相鄰、連接、包含、交疊、相交及距離等關係。向量資料中特別重視拓撲關係，例如：

• 道路線段是否相互連接；
• 行政區面與鄰接行政區是否共用同一邊界；
• 地物是否發生重疊或產生縫隙。

空間資料的主要特性是具有坐標性、幾何性、拓撲性及尺度性，資料錯誤會直接影響空間分析結果。

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（二）屬性資料

屬性資料是與空間地物相對應的描述資料，說明地物的名稱、類別、數量或狀態。例如：

空間地物	屬性資料
道路	路名、道路等級、寬度、鋪面種類、限速
地籍筆	地號、面積、使用分區、所有權類別
河川	河名、長度、流域面積、水質等級
建築物	建物用途、樓層數、建築面積、屋齡

屬性資料的資料型態包括：

• 文字型：地名、道路名稱、土地使用類別；
• 整數型：樓層數、人口數；
• 實數型：面積、高程、坡度；
• 日期時間型：調查日期、更新日期；
• 布林型：是否位於淹水區、是否為保育地。

空間資料與屬性資料通常透過唯一識別碼連結。例如，地籍圖中的每一個地塊具有地塊編號，資料表則以相同編號記錄該地塊的面積、使用分區等資訊。

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（三）時間資料

時間資料描述地理資料的時間性，包括：

1. 有效時間：地物實際存在或具有效力的期間；
2. 觀測時間：資料被調查或量測的時間；
3. 更新時間：資料庫最後修訂的時間；
4. 時間序列：同一地物在不同時期的狀態變化。

例如，土地使用資料可記錄某一筆土地於民國 100 年、105 年及 110 年的使用類別，以分析都市擴張或土地利用變遷。

時間資料可分為：

• 離散時間資料：特定日期或時點的資料，例如年度人口；
• 連續時間資料：隨時間連續變化的資料，例如河川水位、交通流量。

GIS 不僅處理「空間上在哪裡」，也能分析「何時發生」及「如何變化」。

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（四）描述資料（Metadata）

描述資料是用來說明 GIS 資料本身的資料，內容通常包括：

• 資料名稱及主題；
• 資料來源及製作機關；
• 調查或建置日期；
• 坐標系統與基準；
• 地圖投影法；
• 製作比例尺；
• 空間解析度；
• 位置精度與屬性精度；
• 資料格式及欄位定義；
• 更新頻率；
• 使用限制及版權資訊。

描述資料能使使用者判斷資料是否適合特定用途。例如，比例尺較小、位置精度較低的全國性資料，不宜直接用於都市地籍界址判定。

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二、依資料結構分類

（一）向量資料（Vector Data）

向量資料以點、線、面表示離散地物，並以坐標及幾何關係描述其位置與形狀。

1. 特性

• 適合表示界線明確的離散地物；
• 可精確描述點位、線形及面積；
• 資料量通常較小；
• 適合道路網路、地籍、行政區及管線等分析；
• 可建立拓撲關係；
• 屬性資料容易與個別地物連結。

2. 優點

向量資料能清楚表示地物邊界，幾何位置精度高，適合進行距離、面積、鄰接、網路及地籍相關分析。

3. 限制

對於地形、溫度、污染濃度等連續變化現象，向量資料需要透過等值線、三角網或其他方式表示，資料結構較複雜。

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（二）網格式資料（Raster Data）

網格式資料將研究區域切割為規則格網，每一個網格單元稱為像元（Cell 或 Pixel），每個像元儲存一個數值或分類代碼。

1. 特性

核心觀念

TIN 的每一個三角形皆可視為一個平面，因此三角形 $\Delta IJK$ 內部具有固定的地形面傾斜方向。計算坡度與坡向的核心，是先求出該三角形平面的方程式：

$$Z=aX+bY+c$$

其中：

• $a=\dfrac{\partial Z}{\partial X}$：東西向高程變化率
• $b=\dfrac{\partial Z}{\partial Y}$：南北向高程變化率
• 坡度由水平梯度大小決定
• 坡向採標準 GIS 定義，表示最大下降方向，以北方為 $0^\circ$，順時針增加

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解題方法

一、三角形平面示意圖

 Z
 ↑
 │
 │ K(Xk,Yk,Zk)
 │ /\
 │ / \
 │ / \
 │ / \
 │ I────┴────────J
 │
 └────────────────────→ X
 /
 /
 Y

三角形三頂點不共線時，三點唯一決定一個平面。設該平面為：

$$Z=aX+bY+c$$

將三個頂點代入：

$$Z_i=aX_i+bY_i+c$$ $$Z_j=aX_j+bY_j+c$$ $$Z_k=aX_k+bY_k+c$$

以第一式分別與後兩式相減，可消去 $c$：

$$Z_j-Z_i=a(X_j-X_i)+b(Y_j-Y_i)$$ $$Z_k-Z_i=a(X_k-X_i)+b(Y_k-Y_i)$$

令：

$$\Delta X_{ij}=X_j-X_i,\qquad \Delta Y_{ij}=Y_j-Y_i$$ $$\Delta X_{ik}=X_k-X_i,\qquad \Delta Y_{ik}=Y_k-Y_i$$ $$\Delta Z_{ij}=Z_j-Z_i,\qquad \Delta Z_{ik}=Z_k-Z_i$$

則有：

$$\Delta Z_{ij}=a\Delta X_{ij}+b\Delta Y_{ij}$$ $$\Delta Z_{ik}=a\Delta X_{ik}+b\Delta Y_{ik}$$

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二、求地形平面的坡度係數

設水平投影三角形面積的二倍為：

$$D=\Delta X_{ij}\Delta Y_{ik} -\Delta X_{ik}\Delta Y_{ij}$$

即：

$$D=(X_j-X_i)(Y_k-Y_i) -(X_k-X_i)(Y_j-Y_i)$$

當 $D\neq 0$ 時，三點在水平面上的投影不共線，可解得：

$$a= \frac{ \Delta Z_{ij}\Delta Y_{ik} -\Delta Z_{ik}\Delta Y_{ij} }{D}$$ $$b= \frac{ \Delta X_{ij}\Delta Z_{ik} -\Delta X_{ik}\Delta Z_{ij} }{D}$$

展開後：

$$a= \frac{ (Z_j-Z_i)(Y_k-Y_i) -(Z_k-Z_i)(Y_j-Y_i) }{ (X_j-X_i)(Y_k-Y_i) -(X_k-X_i)(Y_j-Y_i) }$$ $$b= \frac{ (X_j-X_i)(Z_k-Z_i) -(X_k-X_i)(Z_j-Z_i) }{ (X_j-X_i)(Y_k-Y_i) -(X_k-X_i)(Y_j-Y_i) }$$

其中 $a$、$b$ 即為三角形平面在 $X$、$Y$ 方向的高程梯度。

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三、坡度 Slope

水平梯度向量為：

$$\nabla Z= \left( \frac{\partial Z}{\partial X}, \frac{\partial Z}{\partial Y} \right) =(a,b)$$

其大小為：

$$|\nabla Z|=\sqrt{a^2+b^2}$$

坡度角 $S$ 為地表平面與水平面之夾角，因此：

$$\tan S=\sqrt{a^2+b^2}$$

所以：

$$\boxed{ S=\tan^{-1}\left(\sqrt{a^2+b^2}\right) }$$

若要求百分比坡度，則：

$$\boxed{ \text{坡度百分比} =100\sqrt{a^2+b^2}\% }$$

若要求角度制，應將反正切結果由弧度換算為度：

$$S_{\degree} = \frac{180}{\pi} \tan^{-1}\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)$$

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四、坡向 Aspect

最大上升方向為梯度方向：

$$\mathbf{g}=(a,b)$$

最大下降方向則為：

$$\mathbf{d}=(-a,-b)$$

因 $X$ 軸通常代表向東、$Y$ 軸代表向北，故最大下降方向的東向分量為 $-a$，北向分量為 $-b$。

以北方為 $0^\circ$、順時針為正，坡向可用：

$$\boxed{ A=\operatorname{atan2}(-a,-b) }$$

其中 $\operatorname{atan2}(E,N)$ 表示以北向分量 $N$ 與東向分量 $E$ 計算方位角。

核心觀念

本題考查兩個層次：

1. 地圖投影的分類依據與基本要素。
2. 臺灣地區 TWD97 座標系統所採用之投影種類及其分類屬性。

地球表面為曲面，地圖則為平面，必須利用數學方式將參考橢球面或球面上的位置轉換至平面，此種轉換稱為地圖投影（Map Projection）。由於曲面展開為平面時必然產生變形，因此任何投影均須說明其保留的幾何性質及產生的變形。

須區分：

• TWD97：屬於大地基準（geodetic datum）及座標基準。
• TWD97／TM2：是在 TWD97 大地基準上，採用二度分帶橫麥卡托投影所建立的平面座標系統。

解題方法

可依序從「投影面、投影方向、接觸方式、保留性質及投影參數」說明地圖投影，再套用至臺灣 TWD97／TM2，即可完整作答。

一、地圖投影的基本要素

1. 投影對象

投影對象通常為：

• 球面；
• 旋轉橢球面；
• 其他規則或不規則曲面。

現代大地測量及國家座標系統多以參考橢球體為數學基礎。投影的基本工作，是將橢球面上的大地經緯度 $(\varphi,\lambda)$，轉換為平面直角座標 $(E,N)$：

$$(E,N)=f(\varphi,\lambda)$$

其中 $E$ 為東坐標，$N$ 為北坐標。

2. 投影面種類

依展開面分類，主要有：

• 圓柱投影（cylindrical projection）：以圓柱面作為投影面。
• 圓錐投影（conic projection）：以圓錐面作為投影面。
• 方位投影或平面投影（azimuthal projection）：以平面作為投影面。

3. 投影方向

依投影面與地球的相對方向，可分為：

• 正軸投影（normal aspect）：投影面主軸與地球自轉軸一致。
• 橫軸投影（transverse aspect）：投影面主軸與地球自轉軸垂直。
• 斜軸投影（oblique aspect）：投影面主軸與地球自轉軸呈斜交。

4. 投影面與地球的接觸方式

依投影面與參考橢球面的關係，可分為：

• 切投影（tangent projection）：投影面與橢球面相切，接觸處比例尺通常為真。
• 割投影（secant projection）：投影面穿過橢球面，形成兩條或多條標準線；標準線上比例尺通常為真。

切投影的變形通常由接觸線向外增加；割投影則可將變形分散至標準線兩側。

5. 投影所保留的幾何性質

依投影所保留的性質，可分為：

• 等角投影（conformal projection）：局部角度及形狀保持，但面積會產生變形。
• 等積投影（equal-area projection）：面積保持，但角度或形狀會產生變形。
• 等距投影（equidistant projection）：在特定方向或特定線上保持距離。
• 真方位投影（azimuthal projection）：在特定中心點保持方向或方位。
• 任意投影（compromise projection）：不完全保持單一性質，而在角度、面積、距離及形狀之間取得平衡。

任何投影均無法同時完整保持角度、面積、距離與方向。

6. 投影中心線與主要參數

實際建立平面座標系統時，還須指定：

• 中央經線（central meridian）；
• 原點或起算緯線；
• 中央經線比例尺因子 $k_0$；
• 假東距（false easting）；
• 假北距（false northing）；
• 分帶寬度；
• 座標正負方向及單位。

平面坐標通常可概念化表示為：

$$E=E_0+k_0\Delta E$$ $$N=N_0+k_0\Delta N$$

其中 $E_0$、$N_0$ 分別為假東距與假北距，$k_0$ 為中央經線比例尺因子。

二、臺灣地區 TWD97 座標系統的投影分類

1. 採用橫麥卡托投影

臺灣地區 TWD97 平面座標系統採用 二度分帶橫麥卡托投影（Transverse Mercator 2-degree belt，簡稱 TM2）。

橫麥卡托投影是將麥卡托投影的圓柱軸旋轉九十度，使圓柱軸沿著赤道方向，因而使中央經線成為主要控制線，適合南北方向狹長的區域，例如臺灣。

核心觀念

本題考查數值地圖如何同時表現真實世界特徵物的兩項基本要素：

• 位置（Location）：特徵物在地球上的空間位置、形狀、大小與相互關係。
• 屬性（Attributes）：特徵物的名稱、類別、數量、時間、狀態等非幾何資訊。

數值地圖的核心不是單純儲存圖形，而是建立「空間資料」與「屬性資料」之間的對應關係，使系統能由某一位置找到其所代表的特徵物，再取得該特徵物的相關屬性。

可將此關係表示為：

$$\text{位置} \longleftrightarrow \text{空間幾何} \longleftrightarrow \text{特徵物識別碼} \longleftrightarrow \text{屬性資料}$$

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解題方法

解答可從「空間表示」與「屬性連結」兩部分說明。

一、以座標系統表現位置

數值地圖須先建立明確的空間參考系統，例如地理座標系統或投影座標系統。每一個空間位置均以座標表示：

$$P=(x,y)$$

若使用三維資料，則可表示為：

$$P=(x,y,z)$$

其中 $x、y$ 可代表平面位置，$z$ 可代表高程或其他第三維資訊。透過座標系統，數值地圖中的位置能與真實地球表面建立一致的空間對應。

二、以向量資料表現特徵物的幾何

向量式數值地圖以幾何圖形表示特徵物，基本型態包括：

1. 點（Point）：以一組座標表示位置，例如測量控制點、電桿、井、地標。
2. 線（Line／Polyline）：由一連串有順序的座標點組成，例如道路、河川、等高線。
3. 面（Polygon）：由封閉的線所構成，例如地籍區、行政區、建築物基地、湖泊。

例如，一條道路可表示為：

$$L=\{P_1,P_2,\ldots,P_n\}$$

一個地籍區則可用封閉多邊形表示：

$$A=\{P_1,P_2,\ldots,P_n,P_1\}$$

幾何資料除了描述位置，也能表現特徵物的形狀、長度、面積及拓樸關係，例如相鄰、相交、連接與包含。

三、以屬性資料表描述特徵物內容

每一個空間特徵物均配置一個唯一識別碼，例如 Feature_ID。屬性資料則以資料表的紀錄描述該特徵物：

Feature_ID	Name	Type	Length	Status
R001	中山路	道路	1250 m	使用中

空間資料中的幾何物件與屬性資料表中的紀錄，透過唯一識別碼建立一對一或一對多的關聯：

$$G_i \longleftrightarrow ID_i \longleftrightarrow A_i$$

其中：

• $G_i$：第 $i$ 個特徵物的幾何資料；
• $ID_i$：該特徵物的唯一識別碼；
• $A_i$：該特徵物的屬性集合。

因此，地圖上的一條道路不只具有線形位置資料，也能連結道路名稱、道路等級、路寬、鋪面種類及交通狀態等屬性。

四、以空間—屬性函數表現任意位置的資訊