110 地方特考三等 測量製圖 測量學 考古題詳解

核心觀念

閉合差是測量觀測結果依幾何條件或已知條件計算後，與理論應有值之間的差值。它反映觀測量中所累積的誤差，包含儀器誤差、自然環境影響、觀測誤差及計算誤差等。

直接水準測量的基本觀測量為後視讀數 $BS$ 與前視讀數 $FS$，每一測站的高程差為

$$\Delta h=BS-FS$$

若由起點 $A$ 測至終點 $B$，則高程差應滿足

$$H_B-H_A=\sum BS-\sum FS=\sum \Delta h$$

若為閉合水準路線，起點與終點為同一點，理論高程差為零，因此應有

$$\sum \Delta h=0$$

實際觀測後若不等於零，其差值即為閉合差。

閉合差本身不是某一測站的單獨誤差，而是整條水準路線或水準網中各項誤差的累積表現。閉合差可用來：

1. 判斷觀測成果是否符合精度要求。
2. 檢查觀測及計算是否有粗差。
3. 將閉合差合理分配至各觀測高程差，求得改正後成果。

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解題方法

本題可採用「建立高程差條件式 → 計算閉合差 → 檢核容許值 → 分配改正數」的方式作答。

直接水準測量一個簡單水準網時，通常先將各測線的水準觀測結果整理為高程差 $\Delta h_i$，並依測線方向代入閉合條件。對一個閉合迴路，其理論條件為

$$\sum_{i=1}^{n}\Delta h_i=0$$

因此閉合差定義為

$$f=\sum_{i=1}^{n}\Delta h_i$$

若以後視、前視讀數表示，則

$$f=\sum BS-\sum FS$$

對於起點、終點為不同已知水準點的附合水準路線，則閉合差為

$$f=\sum \Delta h_i-(H_B-H_A)$$

也可寫為

$$f=H_B^{\text{觀測}}-H_B^{\text{已知}}$$

其中：

• $f>0$：觀測所得高程差偏大。
• $f<0$：觀測所得高程差偏小。
• $f=0$：在計算精度內符合閉合條件。

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簡單水準網實例

設已知水準點 $A$ 的高程為

$$H_A=100.000\ \text{m}$$

以直接水準測量形成三角形閉合水準網，觀測結果如下：

測線	觀測方向	觀測高程差 $\Delta h$	路線長度
$A\rightarrow P$	上升	$+1.245$ m	$1.0$ km
$P\rightarrow Q$	下降	$-0.830$ m	$0.8$ km
$Q\rightarrow A$	下降	$-0.420$ m	$1.2$ km

此迴路的理論高程差為零，因此

$$f=(+1.245)+(-0.830)+(-0.420)$$ $$f=-0.005\ \text{m}$$

即

$$f=-5\ \text{mm}$$

負閉合差表示沿閉合路線累計的觀測高程差比理論值少 $5$ mm。由 $A$ 出發計算一周後，未能精確回到原高程，而得到低於 $A$ 點 $5$ mm 的結果。

未改正時的高程為：

$$H_P=100.000+1.245=101.245\ \text{m}$$ $$H_Q=101.245-0.830=100.415\ \text{m}$$

由 $Q$ 返回 $A$：

$$H_A'=100.415-0.420=99.995\ \text{m}$$

與已知高程 $100.000$ m 相差

$$99.995-100.000=-0.005\ \text{m}$$

與前述閉合差一致。

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閉合差的容許檢核

閉合差計算後，必須與規定的容許閉合差比較。水準測量常以路線長度 $K$ 表示容許值，例如某一等級水準測量可表示為

$$|f|\leq C\sqrt{K}$$

其中：

• $f$：實測閉合差，通常以 mm 表示。
• $K$：水準路線長度，通常以 km 表示。
• $C$：依水準測量等級及規範所定的常數。

實際考試作答時，應依題目指定的測量規範或精度等級代入。若題目未提供規範常數，應說明「先依該水準測量等級之容許閉合差檢核」。

若

$$|f|>\text{容許閉合差}$$

則不得直接分配改正數，應查明是否有讀數、記簿、點號、方向、儀器或測站配置錯誤，必要時重新觀測。

若

$$|f|\leq\text{容許閉合差}$$

則可將閉合差合理分配至各測線，求得改正後高程。

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閉合差的改正方式

改正數的總和必須抵銷閉合差，因此必須滿足

$$\sum c_i=-f$$

其中 $c_i$ 為第 $i$ 段高程差的改正數。

本例中

核心觀念

本題考查「非可及點」的三維坐標測定。煙囪頂點 $P$ 無法架設儀器或設置覘標，因此不能採用直接測量；應在地面選擇可到達且視線良好的控制點，以：

1. GNSS 測定地面控制點的三維坐標。
2. 全站儀由不同控制點觀測煙囪頂點 $P$ 的方向角與垂直角。
3. 以水平角交會求得 $P$ 的平面坐標。
4. 以垂直角及水平距離求得 $P$ 的高程。

其核心是「前方交會」與「間接高程測量」。

GNSS 所得通常為橢球高 $h$；若成果要求正高 $H$，應利用大地水準面高程異常 $N$ 轉換：

$$H=h-N$$

全站儀若量得仰角 $v$，則：

$$\tan v=\frac{\Delta Z}{D}$$

其中 $D$ 為水平距離。若全站儀量得天頂距 $z$，則：

$$v=90^\circ-z,\qquad \tan v=\cot z$$

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解題方法與測量流程

一、選定並測定地面控制點

在煙囪周圍選擇至少兩個可通視、可架設儀器的地面點 $A$、$B$。兩點應具備下列條件：

• 能清楚看見煙囪頂點 $P$。
• 兩點間距離適當，形成良好交會幾何。
• 避免兩條觀測方向幾乎平行，交會角宜接近 $60^\circ$ 至 $120^\circ$。
• 點位穩固，方便全站儀重複架設及檢核。

以 GNSS 在 $A$、$B$，並最好另設檢核點 $C$ 進行觀測，取得其坐標：

$$A(E_A,N_A,Z_A),\qquad B(E_B,N_B,Z_B)$$

GNSS 測量時應注意：

• 使用同一坐標系、投影坐標系與高程基準。
• 採用固定解，並進行重複觀測或閉合檢核。
• 正確量測並輸入 GNSS 天線高。
• 確認 GNSS 橢球高與全站儀所使用高程的基準一致。
• 若採即時動態定位，應確認基準站、網路 RTK 或坐標轉換參數可靠。

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二、由已知坐標定向全站儀

將全站儀架設於 $A$ 點，量測並輸入儀器高 $i_A$，以 $B$ 點作為後視點定向。由已知坐標可計算 $A$ 至 $B$ 的方位角：

$$\alpha_{AB} = \operatorname{atan2} \left( E_B-E_A,\, N_B-N_A \right)$$

全站儀架設於 $B$ 點時，量測儀器高 $i_B$，以 $A$ 點後視，建立另一測站的方位基準。

若現場已有可靠控制網，也可利用多個已知點進行自由測站或後方交會，但測站坐標與方向必須具有足夠精度。

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三、觀測非可及點 $P$

在 $A$ 點觀測煙囪頂點 $P$，量得：

• 水平方向或水平角；
• 垂直角 $v_A$，或天頂距 $z_A$；
• 若煙囪表面適合無反射鏡測距，可另量測斜距 $s_A$ 或水平距離 $D_A$。

在 $B$ 點以相同方式觀測 $P$，量得：

• 水平方向；
• 垂直角 $v_B$；
• 必要時量測斜距或水平距離。

$P$ 點雖不能設置覘標，但全站儀仍可直接瞄準煙囪頂部的明確幾何點。若全站儀具備無反射鏡測距功能，也可對煙囪表面直接測距，但無反射鏡距離只能量到實際反射表面，必須確認反射點就是所定義的 $P$ 點。

每一測站宜採正、倒鏡觀測，並重複多測回，以消除或減弱：

• 照準誤差；
• 水平盤及垂直盤指標誤差；
• 視準軸誤差；
• 儀器定心與量高誤差；
• 大氣折光及溫壓造成的測距誤差。

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平面坐標計算

一、建立兩條觀測射線

由控制坐標及觀測方向，建立從 $A$、$B$ 指向 $P$ 的方位角 $\alpha_A$、$\alpha_B$。

設：

$$P(E_P,N_P)$$

從 $A$ 點出發的觀測線可表示為：

$$E_P=E_A+t_A\sin\alpha_A$$ $$N_P=N_A+t_A\cos\alpha_A$$

從 $B$ 點出發的觀測線可表示為：

$$E_P=E_B+t_B\sin\alpha_B$$ $$N_P=N_B+t_B\cos\alpha_B$$

其中 $t_A$、$t_B$ 分別為 $A$、$B$ 至 $P$ 的水平距離。

將兩組方程聯立：

$$E_B-E_A = t_A\sin\alpha_A-t_B\sin\alpha_B$$ $$N_B-N_A = t_A\cos\alpha_A-t_B\cos\alpha_B$$

解出 $t_A$、$t_B$ 後，代回任一組方程，即可得到：

$$E_P=E_A+t_A\sin\alpha_A$$ $$N_P=N_A+t_A\cos\alpha_A$$

這就是以兩已知控制點對非可及點進行的水平前方交會。

二、以三個以上測站進行平差

核心觀念

本題考查「行動式三維雷射掃描」應用於道路設施測繪時的可行性評估、外業程序、坐標控制、誤差來源與成果品管。

智慧型手機 LiDAR 通常以飛行時間或相位差原理量測距離，配合相機影像與 SLAM（Simultaneous Localization and Mapping，同時定位與建圖）技術，產生帶有三維坐標的點雲。其成果屬於近景、短距離、快速測量工具，精度與穩定性通常不及全站儀、GNSS、地面型雷射掃描儀等測量級儀器。

可行性判斷的核心為：

1. 測量對象的幾何特性是否適合掃描。
2. 所要求的平面位置、高程與尺寸精度是否超過手機 LiDAR 的能力。
3. 是否建立測量控制點與獨立檢核點。
4. 掃描環境是否會造成遮蔽、反射、透射、SLAM 漂移或點雲配準失敗。
5. 成果是否經過精度驗證，而非僅依賴應用軟體顯示的數值。

手機 LiDAR 適合快速建立道路環境的三維模型、設施盤點、初步測繪與尺寸估算。若成果要作為工程放樣、道路竣工測量、界址認定或其他具法定效力的測量資料，應以測量級儀器及既有控制成果為主，手機 LiDAR 僅能作為輔助工具，並須經獨立檢核。

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解題方法

一、依測量需求評估可行性

應先訂定下列測量規格：

• 平面位置精度。
• 高程精度。
• 道路標線寬度、長度及間距的容許誤差。
• 成果坐標系統、基準及圖資格式。
• 測量範圍與點雲密度需求。
• 成果用途是概略盤點、設計調查，或正式工程測量。

若僅要求交通號誌、電線桿、人孔蓋的相對位置與道路標線尺寸，且容許誤差為公分至數十公分等級，手機 LiDAR 在良好環境、短距離及完成控制校正後具有可行性。

若要求公分以下的絕對定位精度，或須直接作為道路工程放樣、施工驗收資料，則不能僅以手機 LiDAR 的內建定位成果作為定案資料。

二、各測量對象的適用性

1. 交通號誌

交通號誌本體通常具有明顯邊緣與規則形狀，適合以點雲及影像辨識。可測得：

• 號誌柱位置。
• 號誌箱體中心及外框尺寸。
• 號誌高度。
• 號誌與道路邊線、路口中心的相對位置。

但號誌牌、懸臂及細小構件容易受遮蔽，金屬表面也可能產生反射雜訊，必須從多個方向掃描。

2. 電線桿

電線桿可由點雲建立圓柱模型，求得桿身中心線及桿底位置。若以圓柱方程式或圓形斷面擬合，可降低個別點誤差對中心位置的影響。

電線、拉線及細小橫擔的尺寸通常小於手機 LiDAR 的有效解析能力，且容易被樹葉、建築物遮蔽。因此電線桿本體的位置具有可行性，細部線路資料則須採用其他測量方式補測。

3. 人孔蓋

人孔蓋通常位於道路平面，具有圓形或矩形邊界，適合由點雲或影像擷取。可測得：

• 人孔蓋中心坐標。
• 外框直徑或長、寬。
• 人孔蓋高程。
• 人孔蓋與道路標線的相對距離。

人孔蓋若被車輛、積水、泥沙或落葉遮蓋，掃描成果會產生缺口，外業時應確保其表面完整可見。

4. 道路標線

道路標線可利用彩色影像辨識邊界，再以 LiDAR 點雲建立道路平面，求得標線的平面尺寸。適合測量：

• 標線寬度。
• 標線長度。
• 虛線間隔。
• 導流線、箭頭及文字標線的外框尺寸。
• 標線與人孔蓋、路緣及交通設施的相對距離。

道路標線厚度小，且其表面與柏油路面高度差有限，單靠 LiDAR 高程資料未必能清楚分離，因此須結合彩色影像判讀。磨損、積水、反光與車輛遮蔽亦會降低邊界辨識精度。

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施測程序

一、測前規劃

1. 確定測區範圍、測量目的、精度標準及成果格式。
2. 選擇具 LiDAR 感測器的手機及適當應用軟體。
3. 確認軟體是否能輸出原始點雲、三維坐標、影像及測量報告。
4. 規劃掃描路線，使每一設施均能由多個方向觀測。
5. 避免只沿單一直線前進，宜形成閉合路徑，以降低 SLAM 累積漂移。

二、建立控制點與檢核點

手機 LiDAR 的內建定位通常不足以直接提供可靠的測量坐標，因此應在測區布設控制點。

控制點可利用 GNSS、全站儀或既有已知點測定，並以明顯標誌或專用標靶表示。另應布設若干獨立檢核點，檢核點不得全部用於模型配準，才能客觀評估成果精度。

控制點至少應分布於測區四周及內部，避免全部集中在一側或同一直線上。若測區呈長條形，應在起點、終點及中間位置均布設控制點。

三、設備檢查與現場校正

外業前應確認：

• LiDAR 感測器、相機及定位功能正常。
• 手機鏡頭清潔，電量及儲存空間充足。
• 應用程式設定固定，避免掃描期間自動改變解析度或坐標模式。
• 進行短距離測試，確認點雲密度、色彩套合及距離量測結果。
• 以已知長度或已知控制距離進行初步校正。

四、掃描作業

1. 從控制點附近開始掃描，緩慢且均勻移動手機。
2. 使道路標線、人孔蓋、電線桿及交通號誌均位於感測器有效量測距離內。
3. 對同一物體由正面、側面及斜角進行觀測，避免單一視角造成遮蔽。
4. 維持足夠的影像及點雲重疊率，使相鄰掃描區域能可靠配準。
5. 道路標線應降低拍攝高度，讓標線邊界在影像中清楚可辨。
6. 電線桿及交通號誌應繞行掃描，並注意桿底、懸臂及牌面是否被完整涵蓋。
7. 人孔蓋應於無車輛遮蔽時掃描，必要時補拍近距離影像。
8. 完成閉合路線後回到起始區域，檢查模型是否產生明顯錯位。

五、點雲配準與坐標化

將各掃描站或各段點雲進行配準，使相同物體在不同掃描區域中重合。常用方法包括：

• 以控制點進行配準。
• 以共同特徵點進行配準。
• 以 ICP（Iterative Closest Point）進行點雲最佳套合。
• 以閉合路徑檢查 SLAM 漂移。

若先得到局部坐標，再轉換至測量坐標系統，可採用三維相似轉換：

核心觀念

本題考查：

1. 平面直角坐標中兩點距離與方向。
2. 由兩個已知距離求三角形第三點坐標。
3. 餘弦定理求 $\angle CAB$、$\angle ABC$。
4. 順時角的方向判定，以及由題目所給象限條件選取正確交點。

已知：

$$A(215.750,222.170),\qquad B(342.860,216.490)$$

且

$$AC=149.590\text{ m},\qquad BC=137.400\text{ m}$$

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解題方法

一、先求 $AB$ 距離

$$\Delta E_{AB}=342.860-215.750=127.110$$ $$\Delta N_{AB}=216.490-222.170=-5.680$$

因此

$$AB=\sqrt{(127.110)^2+(-5.680)^2}$$ $$AB=\sqrt{16189.2145}=127.2368\text{ m}$$

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二、求 $\angle CAB$

在三角形 $ABC$ 中，使用餘弦定理：

$$\cos\angle CAB = \frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2(AB)(AC)}$$

代入：

$$\cos\angle CAB = \frac{(127.2368)^2+(149.590)^2-(137.400)^2} {2(127.2368)(149.590)}$$ $$\cos\angle CAB=0.51719$$

所以

$$\angle CAB=58.856^\circ$$

換算為度分秒：

$$\boxed{\angle CAB\approx58^\circ51'23''}$$

因為 $C$ 位於 $A$ 點東北側，而 $B$ 位於 $A$ 點東南側，從 $AC$ 順時針轉至 $AB$，正是上述角度。

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三、求 $\angle ABC$

同樣利用餘弦定理：

$$\cos\angle ABC = \frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2(AB)(BC)}$$

代入：

$$\cos\angle ABC = \frac{(127.2368)^2+(137.400)^2-(149.590)^2} {2(127.2368)(137.400)}$$ $$\cos\angle ABC=0.36296$$

因此

$$\angle ABC=68.718^\circ$$

換算為度分秒：

$$\boxed{\angle ABC\approx68^\circ43'05''}$$

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四、求 $C$ 點坐標

以 $AB$ 為基準建立局部坐標。

1. 求 $A$ 到垂足的距離

設由 $C$ 向直線 $AB$ 作垂線，垂足為 $H$，令 $AH=x$。

由投影公式：

$$x= \frac{AC^2+AB^2-BC^2}{2AB}$$