109 地方特考三等 測量製圖 測量學 考古題詳解

核心觀念

本題考水準儀視準軸不水平時，前後視距不等所造成的讀數誤差。視準軸誤差會使水準尺讀數依視距成比例偏移；前後視距相等時，兩側的誤差可相消，視距不等時則留下高程差誤差。

已知兩點高程，先由高程差求出理想的尺讀數差，再與實測讀數差比較，求出視準軸傾斜率。設視準軸誤差角為 $i$，小角度下有：

解題方法

兩點的已知高程差為：

若視準軸水平，讀數差應與高程差相等，因此理想的讀數差為：

實測讀數差為：

實測讀數差與理想值相差：

核心觀念

本題考查水平距離的海平面歸化改正。地面測得的水平距離位於海拔 $h$ 處；歸化至海平面時，將該距離按地球曲率比例縮短。採用球形地球近似，地面距離 $D_h$ 與海平面距離 $D_0$ 的關係為：

其中 $R$ 為地球平均曲率半徑，$h$ 為測線平均海拔。此題未提供測區緯度或採用的地球半徑，計算時假設地球為半徑 $R=6\,370\ \mathrm{km}$ 的球體，且兩點位於相同海拔 $h=1.500\ \mathrm{km}$。

解題方法

已知地面水平距離 $D_h=2.350\ \mathrm{km}$。代入海平面歸化公式：

核心觀念

本題考驗誤差傳播定律：由互不相關的觀測量計算函數時，函數的變異數可由各觀測量的偏微分與變異數加權求得；不同函數的共變異數則由兩組偏微分共同計算。

令兩股直角邊長分別為 $x=3.00\ \mathrm{m}$、$y=4.00\ \mathrm{m}$，且 $\sigma_x=\sigma_y=0.02\ \mathrm{m}$、$\operatorname{Cov}(x,y)=0$。斜邊長為 $c=\sqrt{x^2+y^2}$，因此

解題方法

在 $x=3$、$y=4$ 時，$c=5\ \mathrm{m}$。由誤差傳播定律，

而兩函數的共變異數為

先求偏導數：

代入 $x=3$、$y=4$，得到

核心觀念

本題考平面直角坐標的坐標反算與極坐標正算：先由 $A、B$ 坐標求出 $AB$ 方位角，再依 $\angle BAC$ 求 $AC$ 方位角，最後用 $AC$ 長度換算成坐標增量。

測量方位角以北方向為 $0^\circ$，順時針增加。若方位角為 $\alpha$、距離為 $S$，則坐標增量為

解題方法

已知

先求由 $A$ 指向 $B$ 的坐標增量：

因此 $AB$ 方位角為

此方向位於東北象限，故不需另行加減 $180^\circ$。