109 地方特考三等 測量製圖 測量平差法 考古題詳解

核心觀念

本題考查間接觀測平差與條件觀測平差的模型差異。三角形內角和滿足幾何條件

觀測量等權且不相關，表示觀測權矩陣為單位矩陣 $P=I$。間接觀測平差以觀測方程式表示觀測量與未知參數的關係，並依最小二乘原理求改正數，使 $v^TPv$ 最小。

解題方法一：以兩角為未知參數

令未知參數為 $x_1,x_2$，第三角由三角形內角和決定：

觀測方程式可寫為

令參數近似值為 $x_1^0,x_2^0$，參數改正數為 $\Delta x_1,\Delta x_2$，整理成線性化形式 $v=A\Delta x+w$：

最小二乘解為

也可直接利用法方程式求改正數。因 $P=I$，且 $\Delta x_1,\Delta x_2$ 分別為 $v_1,v_2$，第三式給出 $v_3=-\Delta x_1-\Delta x_2$。令

核心觀念

變方—協變方矩陣 $\Sigma$ 的對角線元素是各隨機變數的變方，非對角線元素是兩變數間的協變方。中誤差為變方的正平方根：

$X$ 與 $Y$ 的相關係數則為

相關係數矩陣的對角線均為 $1$，且矩陣對稱。

解題方法

由矩陣對角線讀出變方：

因此三個中誤差為

再將各非對角線協變方除以對應中誤差的乘積：

核心觀念

訓練時間近似常態分布，但母體標準差未知，須以樣本標準差 $s$ 估計，因此平均數的信賴區間採用 $t$ 分布，自由度為 $n-1$。

雙尾信賴區間的形式為：

其中 $\alpha=1-\text{信心水準}$，$\frac{s}{\sqrt{n}}$ 是平均數的標準誤。

解題方法

一、求 95% 信賴區間

已知 $n=16$、$\bar{x}=30$ 天、$s=4.4$ 天。95% 信賴水準為雙尾區間，故 $\alpha=0.05$，自由度 $n-1=15$，使用題目提供的 $t_{15,0.025}=2.131$。

先計算標準誤：

再計算誤差界限：

因此信賴區間為：

約為 27.66 天至 32.34 天。

二、求估計誤差不超過 2 天所需樣本數

目標為雙尾 95% 信賴水準，且誤差界限 $E=2$ 天。此題的母體標準差未知，先以既有樣本標準差 $s=4.4$ 天估計；樣本數公式中的臨界值會隨自由度改變，故採用 $t$ 分布。

所需樣本數須滿足：

核心觀念

三角形內角滿足閉合條件：

因此，$C=180^\circ-A-B$。平差中，若角度觀測彼此獨立，線性組合的變異數為各觀測變異數的平方係數加權和。權數與變異數成反比：

解題方法

由閉合條件可得：

$A$、$B$ 的係數分別是 $-1$，所以 $C$ 的變異數為：

又因 $P_i\propto1/\sigma_i^2$，故：

代入 $P_A=2$、$P_B=1$：