114 地方特考三等 教育行政類科 教育測驗與統計 考古題詳解

核心觀念

本題以兩個類別變項的次數資料，檢驗彼此是否有關聯，適用卡方獨立性考驗。觀察值為各組實際人數，虛無假設成立時，依列、欄合計數計算期望次數，再比較觀察次數與期望次數的差異。

• $H_0$：研習頻率與是否使用創新教學相互獨立，兩者沒有顯著關聯。
• $H_1$：研習頻率與是否使用創新教學不獨立，兩者有顯著關聯。
• 顯著水準：$\alpha=.05$。
• 檢定統計量： $\chi^2=\sum \frac{(O-E)^2}{E}$ 其中 $O$ 為觀察次數，$E$ 為期望次數。
• 自由度： $df=(列數-1)(欄數-1)=(2-1)(3-1)=2$

解題方法與計算

1. 計算列合計、欄合計及總人數

2. 計算各格期望次數

獨立性假設成立時，每格期望次數為：

$E_{ij}=\frac{該列合計\times 該欄合計}{總人數}$

例如，「是、5 次」的期望次數為：

$E=\frac{130\times60}{200}=39$

依同一公式計算各格：

核心觀念

多因子研究設計將兩個或更多自變項（因子）的各種水準交叉組合，並在同一研究中觀察依變項。二因子設計主要檢驗三類效果：因子 A 的主要效果、因子 B 的主要效果，以及 A、B 的交互作用。

以 A 有 $a$ 個水準、B 有 $b$ 個水準為例，二因子模型可表示為：

其中，$\mu$ 為總平均，$\alpha_i$ 與 $\beta_j$ 分別代表 A、B 的效果，$(\alpha\beta)_{ij}$ 為交互作用，$\varepsilon_{ijk}$ 為誤差。

解題方法

本題分別從「分析假定」、「多因子設計相對於分開研究的優點」及「二因子設計的效果組合」作答。第三小題可把 A、B 的主要效果與交互作用視為三個效果項，列出其中五種「有顯著效果／無顯著效果」的組合。

（一）多因子變異數分析的假定

1. 觀察值獨立：各受試者的觀察值彼此獨立；若為組間設計，受試者隨機分派至各組，避免組別間相互影響。
2. 依變項為連續量尺：依變項通常須達等距或比率尺度。
3. 各組誤差近似常態分配：在各因子水準組合下，模型殘差近似常態分配。
4. 變異數同質：各組的誤差變異數相等；可用 Levene 檢定等方法檢視。
5. 模型與資料結構適切：觀察值與模型相符，且誤差項彼此獨立；若採多變量變異數分析（MANOVA），另須考量各組共變異數矩陣同質等假定。

答題時應指出，多因子設計的誤差常態性與變異數同質性是針對各「因子水準組合」下的誤差而言，而非只看各因子的整體平均。

（二）多因子研究設計的兩項優點

核心觀念

本題考查相依樣本（成對樣本）平均數差異的單尾 $t$ 檢定。同一縣市在計畫實施前後各測量一次，兩筆資料彼此相依；因此應先計算各縣市的前後差，再以差值進行單一樣本 $t$ 檢定。

以「實施前百分比減實施後百分比」定義差值：

計畫目的為降低受扶助學生比例，因此檢定方向為「差值平均數大於 $0$」。自由度為 $n-1$，其中 $n$ 是配對數。

解題方法與計算

1. 提出假設

令 $\mu_D$ 為各縣市「實施前減實施後」差值的母群平均數：

在計算檢定統計量時，虛無假設邊界取 $\mu_D=0$。

2. 計算配對差值

差值總和為 $20$，故平均差值為：

3. 計算差值標準差與標準誤

差值相對平均數的離差平方和為：

樣本變異數及樣本標準差為：

平均差值的標準誤為：

核心觀念與解題方法

本題考查教育測驗與統計中的五個基礎名詞。作答時宜依序交代各名詞的定義、適用情境，以及必要的公式或判斷重點；其中「平均數的次數分配」要指出其抽樣分配意義，「測驗偏差」則要區分偏差與個別考生的測驗誤差。

（一）無母數考驗（nonparametric tests）

無母數考驗是指不以母群體具有特定參數分配形式（例如常態分配）為主要前提的統計考驗。它常用於資料為類別或順序尺度、分配明顯偏離常態，或樣本數較小而參數考驗假設不易成立的情況。

常見方法包括：兩獨立樣本的曼－惠特尼 $U$ 考驗、兩相依樣本的威爾可克森符號等級考驗、多組獨立樣本的克魯斯卡－瓦利斯考驗，以及類別資料的卡方考驗。部分無母數方法會將原始分數轉為等級或次數後分析，因此不必依賴常態分配假設；但這不代表它完全沒有假設，仍須注意樣本獨立性、抽樣方式與研究設計等條件。

（二）克拉瑪 $\phi$ 係數（Cramer’s phi）

克拉瑪 $\phi$ 係數，較常稱為克拉瑪 $V$ 係數，是用來衡量兩個類別變項關聯強度的效果量，通常搭配列聯表及卡方考驗使用。它的值介於 $0$ 與 $1$ 之間；$0$ 表示沒有關聯，數值愈大表示關聯愈強。

其中 $\chi^2$ 為卡方統計量、$N$ 為總樣本數、$r$ 與 $c$ 分別為列聯表的列數與欄數。對 $2\times2$ 列聯表，$V$ 與 $\phi$ 係數相同；較大的列聯表則使用克拉瑪 $V$，以考量表格維度。其數值表示關聯程度，不直接表示因果關係。

（三）後設分析（meta-analysis）

後設分析是以系統性文獻回顧所蒐集的多項實證研究為對象，將各研究的結果轉換為共同的效果量，再依樣本數、變異數或其他權重加以整合，估計整體效果的統計方法。