107 地方特考四等 建築工程 工程力學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查組合截面（Composite Area）的幾何性質分析，包含以下力學原理與公式：

1. 基本幾何圖形之性質：

• 半圓形（半徑 $R$，直徑置於 $x$ 軸且對稱於 $y$ 軸）：
• 面積：$A_1 = \frac{1}{2} \pi R^2$
• 形心座標：$\bar{x}_1 = 0$，$\bar{y}_1 = \frac{4R}{3\pi}$
• 對直徑邊（$x$ 軸）與對稱軸（$y$ 軸）之二次面積矩：$I_{x1} = I_{y1} = \frac{1}{8} \pi R^4$
• 矩形（底寬 $b$、高 $h$）：
• 面積：$A_2 = b h$
• 形心座標：$\bar{x}_2 = 0$，$\bar{y}_2 = \frac{h}{2}$（以底邊為基準）
• 對底邊（$x$ 軸）之二次面積矩：$I_{x2} = \frac{b h^3}{3}$
• 對垂直形心軸（$y$ 軸）之二次面積矩：$I_{y2} = \frac{h b^3}{12}$

2. 一次面積矩（靜矩）與幾何中心（形心）定理： 組合圖形之形心座標公式： $\bar{x} = \frac{\sum A_i \bar{x}_i}{\sum A_i}, \quad \bar{y} = \frac{\sum A_i \bar{y}_i}{\sum A_i} = \frac{Q_x}{A}$ 裁切扣除部分之面積與靜矩採負值處理。若截面對某一軸對稱，則形心必落在該對稱軸上。

3. 二次面積矩疊加性與平行軸定理（Parallel Axis Theorem）：

• 組合圖形對同一直角座標軸之慣性矩可直接以代數和疊加（扣除區取負）： $I_x = I_{x1} - I_{x2}, \quad I_y = I_{y1} - I_{y2}$
• 平行軸定理：對任意平行軸之二次面積矩與形心軸慣性矩之關係為： $I_x = I_{\bar{x}} + A \bar{y}^2 \implies I_{\bar{x}} = I_x - A \bar{y}^2$

解題方法

依題意與命題慣例，半圓形直徑邊置於 $x$ 軸、對稱於 $y$ 軸，圓心位於原點 $(0,0)$；裁切之矩形區域為寬 $b = 100\ \mathrm{mm}$、高 $h = 50\ \mathrm{mm}$，底邊位於 $x$ 軸上且對稱於 $y$ 軸（即範圍為 $-50\ \mathrm{mm} \le x \le 50\ \mathrm{mm}$，$0 \le y \le 50\ \mathrm{mm}$）。

步驟一：各子區域基本幾何性質計算

1. 區域 1（半圓形）：

• 半徑 $R = 150\ \mathrm{mm}$
• 面積： $A_1 = \frac{1}{2} \pi (150)^2 = 11250\pi \approx 35342.92\ \mathrm{mm}^2$
• 形心座標： $\bar{x}_1 = 0, \quad \bar{y}_1 = \frac{4(150)}{3\pi} = \frac{200}{\pi} \approx 63.662\ \mathrm{mm}$
• 對 $x$ 軸之二次面積矩： $I_{x1} = \frac{1}{8} \pi (150)^4 = 63281250\pi \approx 1.98804 \times 10^8\ \mathrm{mm}^4$
• 對 $y$ 軸之二次面積矩： $I_{y1} = \frac{1}{8} \pi (150)^4 = 63281250\pi \approx 1.98804 \times 10^8\ \mathrm{mm}^4$

2. 區域 2（扣除之矩形）：

• 寬 $b = 100\ \mathrm{mm}$，高 $h = 50\ \mathrm{mm}$
• 面積： $A_2 = 100 \times 50 = 5000\ \mathrm{mm}^2$
• 形心座標： $\bar{x}_2 = 0, \quad \bar{y}_2 = \frac{50}{2} = 25\ \mathrm{mm}$
• 對 $x$ 軸之二次面積矩（底邊在 $x$ 軸）： $I_{x2} = \frac{100 \times (50)^3}{3} = \frac{12500000}{3} \approx 4.16667 \times 10^6\ \mathrm{mm}^4$
• 對 $y$ 軸之二次面積矩（$y$ 軸為矩形垂直形心軸）： $I_{y2} = \frac{50 \times (100)^3}{12} = \frac{12500000}{3} \approx 4.16667 \times 10^6\ \mathrm{mm}^4$

步驟二：求解各小題

(一) 此面積分別對 $x$ 軸、$y$ 軸之二次面積矩

利用面積慣性矩的代數疊加法：

1. 對 $x$ 軸之二次面積矩： $I_x = I_{x1} - I_{x2} = 63281250\pi - \frac{12500000}{3} \approx 198803855 - 4166667 = 194637188\ \mathrm{mm}^4 \approx 1.9464 \times 10^8\ \mathrm{mm}^4$

核心觀念

本題屬於工程力學中「靜力學截面法」與「材料力學組合應力」之典型考題，主要評量以下核心觀念：

1. 二力構件平衡條件：構件在無額外支承與外力下保持平衡，兩端所受外力必大小相等、方向相反且在同一直線上（即直徑兩端之共線拉力）。
2. 截面法（Method of Sections）求曲梁內力：將構件於目標截面切開，取隔離體（FBD），依靜力平衡方程式求解斷面法向的軸力（$N$）、切向的剪力（$V$）​與抵抗轉動的彎矩（$M$）。
3. 細長曲梁之純彎曲假設：題旨指明「構件斷面尺寸遠小於半徑 $r$」（$r'/r = 0.01 / 1 = 1/100 \ll 1$），表示曲率效應極微，無須使用繁複的溫克勒－巴哈（Winkler-Bach）曲梁理論，直接適用平直梁彈性彎曲公式。
4. 應力疊加原理（Principle of Superposition）：軸力與彎矩同時作用下，桿件橫斷面之正應力由均勻軸向拉應力與線性分布之彎曲應力線性疊加： $\sigma = \frac{N}{A} \pm \frac{M y}{I} = \frac{N}{A} \pm \frac{M}{Z}$ 最大拉應力發生於彎曲拉應力與軸向拉應力同號疊加之最外緣纖維。

解題方法

一、幾何與座標系統設定

建立直角座標系，令半圓之圓心為原點 $O(0,0)$：

• 兩端點 $A$、$C$ 位於直徑水平線上，座標分別為 $A(-1, 0)\ \mathrm{m}$、$C(1, 0)\ \mathrm{m}$。
• 外力為拉力 $P=100\ \mathrm{N}$，故 $C$ 點受力向右（$+x$ 方向，$\vec{P}_C = 100\hat{i}\ \mathrm{N}$），$A$ 點受力向左（$-x$ 方向，$\vec{P}_A = -100\hat{i}\ \mathrm{N}$），整體完全平衡。
• 依考卷圖示慣例，位置角 $\theta=30^\circ$ 為半徑 $OB$ 與水平半徑 $OC$ 之夾角。$B$ 點座標為： $x_B = r \cos 30^\circ = 1 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{m}$ $y_B = r \sin 30^\circ = 1 \times \frac{1}{2} = 0.5\ \mathrm{m}$

二、$B$ 點之軸力、剪力與彎矩

截取 $B$ 點右側之弧段 $CB$ 作為隔離體進行靜力平衡分析：

1. 彎矩 $M$： 對截面形心 $B$ 點取力矩平衡，外力 $P$ 作用於 $C(1,0)$ 且沿水平線作用，其對 $B$ 點的垂直力臂為 $y_B$： $\sum M_B = 0 \implies M - P \cdot y_B = 0$ $M = P \cdot r \sin 30^\circ = 100 \times 1 \times 0.5 = 50\ \mathrm{N\cdot m}$

2. 軸力 $N$ 與剪力 $V$： 在 $B$ 點，半徑方向（徑向單位向量 $\hat{e}_r$）與水平軸夾角為 $30^\circ$；構件切線方向（斷面法線方向 $\hat{t}$）垂直於徑向。 由隔離體合力平衡，斷面上所受的總內抗力向量必為 $\vec{R} = -100\hat{i}\ \mathrm{N}$。

• 軸力 $N$（定義為垂直於斷面之法向力，以受拉為正）： 外力 $P$ 投影至構件軸線切線方向： $N = P \sin 30^\circ = 100 \times 0.5 = 50\ \mathrm{N}\quad (\text{拉力})$
• 剪力 $V$（平行於斷面之切向力）： 外力 $P$ 投影至徑向方向：

核心觀念

本題為靜定桁架（Statically Determinate Truss）的內力與節點位移分析，主要考核以下力學觀念與公式：

1. 靜力平衡方程式（Equilibrium Equations）： 平面結構之平衡條件 $\sum F_x = 0$、$\sum F_y = 0$、$\sum M = 0$，配合節點法（Method of Joints）​求解各桿件軸力。
2. 軸向受力桿件之變形量（Axial Deformation）： $\Delta L = \frac{N L}{E A}$ 其中 $N$ 為桿件軸力（拉力為正、壓力為負）、$L$ 為桿長、$E$ 為彈性模數、$A$ 為桿件斷面積。
3. 單位力法／虛功法（Method of Virtual Work）： 求解桁架節點位移之標準方法，外虛功等於內虛功： $1 \cdot \Delta = \sum \frac{n \cdot N \cdot L}{E A}$ 其中 $n$ 為欲求位移方向施加單位虛載重（$1\ \mathrm{kN}$）所引發之桿件虛軸力。
4. 幾何變形協調條件（Compatibility Conditions）： 在微小位移假設下，節點位移與相鄰桿件軸向伸縮量、桿件剛體旋轉量維持相容關係。

解題方法

一、幾何條件與參數整理

題目文字未載明節點 $C$ 之垂直高度與支承型態（依原卷圖三標示，支承 $A$ 為鉸支承、支承 $B$ 為置於水平面之滾支承；桿件 $AC$ 為垂直桿且長度為 $h = 4\ \mathrm{m}$，底邊 $L_{AB} = 3\ \mathrm{m}$，構成典型 $3\text{-}4\text{-}5$ 之直角三角形桁架），據此幾何條件建立座標系：

• 節點座標：$A(0, 0)$、$B(3, 0)$、$C(0, 4)$（單位：$\mathrm{m}$）。
• 桿件長度：
• $L_{AB} = 3\ \mathrm{m}$
• $L_{AC} = 4\ \mathrm{m}$
• $L_{BC} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\ \mathrm{m}$
• 材料與斷面軸向剛度（Axial Rigidity）： $E A = (200 \times 10^6\ \mathrm{kN/m^2}) \times (4000 \times 10^{-6}\ \mathrm{m^2}) = 800,000\ \mathrm{kN} = 8 \times 10^5\ \mathrm{kN}$

二、真實外力系統之支承反力與桿件軸力（$N$）

外力條件：節點 $C$ 承受水平向右外力 $P_x = 700\ \mathrm{kN}$，垂直向下外力 $P_y = 700\ \mathrm{kN}$。

1. 求外支承反力：

• 水平平衡： $\sum F_x = 0 \implies A_x + 700 = 0 \implies A_x = -700\ \mathrm{kN} \quad (\leftarrow)$
• 對 $A$ 點取力矩平衡（$P_y$ 之作用線通過 $A$ 點，力矩為零）： $\sum M_A = 0 \implies B_y \times 3 - 700 \times 4 = 0 \implies B_y = \frac{2800}{3}\ \mathrm{kN} \quad (\uparrow)$
• 垂直平衡： $\sum F_y = 0 \implies A_y + B_y - 700 = 0 \implies A_y = 700 - \frac{2800}{3} = -\frac{700}{3}\ \mathrm{kN} \quad (\downarrow)$

2. 以節點法求桿件真實軸力 $N$（拉力為正，壓力為負）：

• 節點 $B$： 桿件 $BC$ 之方向斜率為水平 $3$、垂直 $4$、斜邊 $5$（$\cos\theta = 0.6$、$\sin\theta = 0.8$）。 $\sum F_y = 0 \implies B_y + N_{BC} \cdot \left(\frac{4}{5}\right) = 0 \implies \frac{2800}{3} + 0.8 N_{BC} = 0 \implies N_{BC} = -\frac{3500}{3}\ \mathrm{kN} \quad (\text{壓})$ $\sum F_x = 0 \implies -N_{AB} - N_{BC} \cdot \left(\frac{3}{5}\right) = 0 \implies N_{AB} = -\left(-\frac{3500}{3}\right) \times 0.6 = +700\ \mathrm{kN} \quad (\text{拉})$
• 節點 $C$： $\sum F_y = 0 \implies -P_y - N_{AC} - N_{BC} \cdot \left(\frac{4}{5}\right) = 0$ $-700 - N_{AC} - \left(-\frac{3500}{3}\right) \times 0.8 = 0 \implies N_{AC} = \frac{2800}{3} - 700 = +\frac{700}{3}\ \mathrm{kN} \quad (\text{拉})$

三、求解子題 (一)：$B$ 點之水平位移 $\Delta_{Bx}$

$A$ 點為固定鉸支承，水平位移 $\Delta_{Ax} = 0$。桿件 $AB$ 連接 $A$ 點與 $B$ 點，且沿水平軸線佈設，因此 $B$ 點之水平位移即等於桿件 $AB$ 之軸向伸長量： $\Delta_{Bx} = \Delta L_{AB} = \frac{N_{AB} L_{AB}}{E A}$ 代入已知數值： $\Delta_{Bx} = \frac{700\ \mathrm{kN} \times 3\ \mathrm{m}}{800,000\ \mathrm{kN}} = \frac{2100}{800,000}\ \mathrm{m} = 0.002625\ \mathrm{m} = 2.625\ \mathrm{mm} \quad (\rightarrow)$

（以單位力法驗算：於 $B$ 點施加向右單位虛力 $1\ \mathrm{kN}$，求得虛軸力 $n_{AB} = 1$、$n_{AC} = 0$、$n_{BC} = 0$，得到相同結果。）

四、求解子題 (二)：$C$ 點之水平位移 $\Delta_{Cx}$ 與垂直位移 $\Delta_{Cy}$

1. $C$ 點水平位移 $\Delta_{Cx}$（採用單位力法）

於節點 $C$ 施加水平向右之單位力 $1\ \mathrm{kN}$：

• 支承反力： $\sum M_A = 0 \implies B_{y1} \times 3 - 1 \times 4 = 0 \implies B_{y1} = \frac{4}{3}\ \mathrm{kN} \quad (\uparrow)$
• 節點平衡求虛軸力 $n$：
• 節點 $B$：

核心觀念

本題屬於三維空間共點力系（Concurrent Force System in 3D）與剛體靜力平衡問題，核心觀念與公式如下：

1. 空間共點力系的平衡條件： 三根繩索 $AD$、$BD$、$CD$ 與圓盤重力之作用線均通過共點 $D$（圓盤自重 $W$ 作用於圓心 $O$，其鉛垂作用線即為 $OD$）。空間共點力系平衡之充要條件為合力為零： $\sum F_x = 0, \quad \sum F_y = 0, \quad \sum F_z = 0$
2. 力的空間向量分解： 設各繩索與鉛垂線 $OD$ 之夾角為 $\theta = 30^\circ$，各繩索拉力 $T$ 在鉛垂方向（$z$ 軸）的分力為 $T_z = T \cos 30^\circ$，在水平面上的投影分力為 $T_h = T \sin 30^\circ$。
3. 幾何對稱與平衡配置： 題目圖形若未特別標記非對稱之水平偏角，依國考命題慣例與對稱平衡需求，本題欠缺水平面圓周角標註，在均勻圓盤三繩吊掛呈等角均勻分佈（即 $A$、$B$、$C$ 三點沿圓周互夾 $120^\circ$）之合理假設下進行求解。

解題方法

1. 建立空間座標系與位置向量

設圓盤圓心 $O$ 為座標原點 $(0, 0, 0)$，半徑為 $R$。 鉛垂線 $OD$ 為 $+z$ 軸，頂點 $D$ 之座標為 $(0, 0, h)$。 由繩索與鉛垂線夾角 $\theta = 30^\circ$ 可知： $\tan 30^\circ = \frac{R}{h} \implies h = \frac{R}{\tan 30^\circ} = \sqrt{3}R$ 繩索長度為： $L = \frac{R}{\sin 30^\circ} = 2R$

取 $A$ 點位於 $+x$ 軸上，$A$、$B$、$C$ 三點在水平面互隔 $120^\circ$：

• $A$ 點座標：$(R, 0, 0)$
• $B$ 點座標：$\left(R \cos 120^\circ, R \sin 120^\circ, 0\right) = \left(-\frac{1}{2}R, \frac{\sqrt{3}}{2}R, 0\right)$
• $C$ 點座標：$\left(R \cos 240^\circ, R \sin 240^\circ, 0\right) = \left(-\frac{1}{2}R, -\frac{\sqrt{3}}{2}R, 0\right)$
• $D$ 點座標：$(0, 0, \sqrt{3}R)$

2. 表示各繩索單位方向向量

各繩索對圓盤施加由邊緣指向頂點 $D$ 之拉力：

• 向量 $\vec{AD} = D - A = \left(-R, 0, \sqrt{3}R\right)$，其單位向量： $\vec{\lambda}_{AD} = -\frac{1}{2}\hat{i} + 0\hat{j} + \frac{\sqrt{3}}{2}\hat{k}$
• 向量 $\vec{BD} = D - B = \left(\frac{1}{2}R, -\frac{\sqrt{3}}{2}R, \sqrt{3}R\right)$，其單位向量： $\vec{\lambda}_{BD} = \frac{1}{4}\hat{i} - \frac{\sqrt{3}}{4}\hat{j} + \frac{\sqrt{3}}{2}\hat{k}$
• 向量 $\vec{CD} = D - C = \left(\frac{1}{2}R, \frac{\sqrt{3}}{2}R, \sqrt{3}R\right)$，其單位向量： $\vec{\lambda}_{CD} = \frac{1}{4}\hat{i} + \frac{\sqrt{3}}{4}\hat{j} + \frac{\sqrt{3}}{2}\hat{k}$