107 地方特考四等 水利工程 水資源工程概要 考古題詳解

核心觀念

本題旨在考驗水資源規劃與水庫水文分析的核心理論，涵蓋水庫調節原理、供水可靠度評估及質量平衡方程式：

1. 安全出水量（Safe Yield）：為水資源系統（尤其是地表水庫與地下水含水層）在滿足特定可靠度或最嚴苛水文條件下，所能維持之最大穩定供應率。在水庫工程中，其理論基礎為歷史最嚴苛乾旱期之質量平衡。
2. 里波累積曲線（Rippl Mass Curve）：由 W. K. Rippl 於 1883 年提出，利用水庫連續方程式（Continuity Equation）： $\sum I - \sum O = \Delta S$ 將入流量隨時間積分累積成圖，藉由圖解幾何特性（切線斜率代表流量、縱軸差值代表蓄水量變化），快速求解水庫蓄水容量與供水能力之間的消長關係。

解題方法

本題為純申論問答題，解題切入點與組織脈絡如下：

1. 第 (一) 子題：採「雙重範疇法」作答。由於安全出水量在水資源工程中常兼指「地表水庫系統」與「地下水系統」，應以地表水庫定義為主力（呼應後續之里波圖），並輔以地下水安全出水量定義，使內容周延完整，確保拿滿 5 分。
2. 第 (二) 子題：先定義里波圖之數理結構（橫軸為時間、縱軸為累積逕流量），說明其核心「目的」（評估水資源時空供需不平衡程度）；接著以工程雙向分析角度分列其兩大核心「用途」：正向求水庫設計容量、反向求既有水庫出水量，並補充防洪與溢流評估。
3. 第 (三) 子題：以系統工程觀點剖析。假設部分聚焦於「水文序列重複性」、「損耗忽略」與「需水量常數」；優缺點部分則對比其「物理圖解直觀、計算簡便」之優勢，與「缺乏破壞機率（確定性模型）、忽略動態蒸發損耗、受限於歷史紀錄長度」之侷限性。

選項分析

本題為國家考試專業科目之申論問答題，無選擇題選項。各子題評分核心與採分關鍵如下：

• 第 (一) 子題（5 分）：關鍵字為「最嚴苛枯旱期（Critical Drought Period）」、「不缺水」、「連續穩定供水量」。若僅答「不破壞環境的出水量」偏向地下水概念，缺乏水庫工程重點，易失分。
• 第 (二) 子題（10 分）：必須寫出里波圖之作圖原理（切線斜率＝出水率、垂直間距＝所需蓄水量），並明確分點列出「求所需有效蓄水容量」與「求既有水庫安全出水量」。
• 第 (三) 子題（10 分）：須劃分「假設」、「優點」、「缺點」三區塊，每項至少列出 2 至 3 點，不可混雜於同一段落。

解題技巧

1. 破題關鍵（圖解轉換思維）： 里波圖中，累積入流線上任一點之切線斜率代表「即時入流量」，需水線斜率代表「出水率」。當累積入流線斜率小於需水斜率時，代表進水小於出水，水庫處於失水狀態；其最大垂距即為水庫必須具備之「調節容量」。
2. 常見陷阱：

• 誤將「安全出水量（Safe Yield）」與「豐水期均勻出水量」混淆。安全出水量是針對「關鍵枯水期（Critical Period）」計算，具有抗旱保證之意涵。
• 探討里波圖缺點時，遺漏「無法考慮水庫蒸發與滲漏隨蓄水水位變動的非線性效應」，此為閱卷委員評定高分之關鍵點。

【答案】

(一) 安全出水量（Safe Yield）之定義

在水資源工程中，「安全出水量」依系統類型分為水庫地表水與地下水兩大範疇：

1. 水庫地表水系統（本題脈絡）： 指在歷史觀測紀錄中最嚴苛的枯旱期（Critical Period）條件下，水庫仍能連續、穩定且保證不完全乾涸所能供應之最大穩定出水率（Maximum Dependable Draft Rate）。在該出水率下，水庫之供水破壞機率在歷史極端乾旱條件下理論上為零。
2. 地下水系統（補充定義）：

核心觀念

1. 曼寧公式（Manning's Formula）： 在均勻流條件下，明渠流速與流量公式為： $V = \frac{1}{n} R^{2/3} S_0^{1/2}$ $Q = A V = \frac{1}{n} A R^{2/3} S_0^{1/2}$ 式中：$Q$ 為流量（$\text{m}^3/\text{s}$）、$A$ 為通水斷面積（$\text{m}^2$）、$R$ 為水力半徑（$R = A / P$，$\text{m}$）、$P$ 為濕周（$\text{m}$）、$S_0$ 為渠底坡降、$n$ 為曼寧糙率係數。

2. 最佳水力斷面（Best Hydraulic Section / 最具經濟斷面）之定義： 在糙率係數 $n$、渠底坡降 $S_0$ 固定之條件下：

• 當「通水斷面積 $A$ 固定」時，能通過「最大流量 $Q$」之斷面。
• 或當「設計流量 $Q$ 固定」時，所需「通水斷面積 $A$ 最小」之斷面。 由曼寧公式可知，$Q \propto A R^{2/3} = A \left(\frac{A}{P}\right)^{2/3} = \frac{A^{5/3}}{P^{2/3}}$。當斷面積 $A$ 為定值時，欲使流量 $Q$ 最大，等價於使濕周 $P$ 達到「極小值」（$P \to \min$），此時水力半徑 $R$ 達到最大。

3. 三角形渠道幾何特性： 設水深為 $y$，側坡比為 1 垂直比 $z$ 水平（$1:z$），則：

• 水面寬：$T = 2zy$
• 通水斷面積：$A = \frac{1}{2} T y = z y^2$
• 濕周：$P = 2 \sqrt{y^2 + (zy)^2} = 2y\sqrt{1+z^2}$
• 水力半徑：$R = \frac{A}{P} = \frac{zy}{2\sqrt{1+z^2}}$

解題方法

(一) 最佳水力斷面之定義與意涵

在明渠水力學中，「最佳水力斷面」（Best Hydraulic Section，又稱「最具水力效率斷面」或「最具經濟斷面」）具有以下定義與工程意涵：

1. 水力學定義：在渠道糙率係數 $n$、渠底坡降 $S_0$ 及斷面積 $A$ 給定條件下，能使輸水流量 $Q$ 達到最大之幾何斷面；亦即在給定設計流量 $Q$、坡降 $S_0$ 與糙率 $n$ 時，能使通水斷面積 $A$ 最小之斷面形狀。
2. 數學條件：由於 $Q = \frac{1}{n} A \left(\frac{A}{P}\right)^{2/3} S_0^{1/2}$，當 $A, n, S_0$ 固定時，流量最大化等價於濕周 $P$ 最小化（$\frac{dP}{dz} = 0$ 且 $\frac{d^2P}{dz^2} > 0$），此時水力半徑 $R = A / P$ 達到最大。
3. 工程效益：斷面積 $A$ 最小化可大幅減少土方開挖與回填量，而濕周 $P$ 最小化可降低渠槽襯砌材料面積與摩擦水頭損失，從而降低工程總造價。

(二) 滿足三角形渠道之最佳水力斷面的條件

對對稱三角形渠道而言，滿足最佳水力斷面的條件如下：

1. 側邊坡比條件： 側邊坡度為 $1$ 垂直比 $1$ 水平，即 $z = 1$（邊坡與水平面夾角 $\theta_h = 45^\circ$、與垂直線夾角 $\theta_v = 45^\circ$）。
2. 頂角條件： 兩側坡面所夾之底角（頂角）為直角： $2\theta_v = 90^\circ$
3. 幾何與水力要素關係：

• 斷面積：$A = y^2$
• 濕周：$P = 2\sqrt{2} y$
• 水面寬：$T = 2y$
• 水力半徑： $R = \frac{A}{P} = \frac{y^2}{2\sqrt{2}y} = \frac{\sqrt{2}}{4} y \approx 0.3536 y$
• 水力深度：$D = \frac{A}{T} = \frac{y^2}{2y} = \frac{y}{2}$
• 水力半徑與水深關係：$R = \frac{D}{\sqrt{2}} = \frac{y}{2\sqrt{2}}$

(三) 繪圖與推導過程

1. 斷面幾何圖

 ◀────────────── T = 2zy ──────────────▶
 ▼ ▼ 水面線
 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
 \ │ /
 \ │ /
 \ s │ y s /
 \ │ /
 \ θv │ /
 \ ─┘ │ /
 \ 1:z │ /
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 ▼ (底頂點)

核心觀念

1. 水文頻率分析與對數常態分布（Lognormal Distribution）：

• 設河川年尖峰流量為 $X$。若 $X$ 服從對數常態分布，則其對數轉換值 $Y = \ln X$（或常用對數 $Y = \log_{10} X$）服從常態分布（Normal Distribution）。
• 常態分布之母體偏態係數（Skewness Coefficient）為 $g = 0$。因此查閱頻率因子表時，必須選取 $g = 0.0$ 之列。
• 頻率分析之基本公式（Chow 頻率方程式）為： $Y_T = \bar{Y} + K_T \cdot S_Y$ 其中 $\bar{Y}$ 為 $Y$ 之平均值，$S_Y$ 為 $Y$ 之標準偏差，$K_T$ 為對應重現期距 $T$（年超越機率 $P = 1/T$）之頻率因子。

2. 重現期距與超越機率之對應：

• $T = 2$ 年：超越機率 $P = \frac{1}{2} = 50\%$
• $T = 50$ 年：超越機率 $P = \frac{1}{50} = 2\%$
• $T = 100$ 年：超越機率 $P = \frac{1}{100} = 1\%$

3. 水文風險與可靠度（Reliability）：

• 若某特定流量之年超越機率為 $p$，則在任一年內「不超過」該流量的機率為 $q = 1 - p$。
• 假設各年份之水文事件彼此獨立，則在未來連續 $N$ 年內「完全不發生超過該流量」之機率（即水利構造物之可靠度）為： $P_{\text{不發生}} = (1 - p)^N$

解題方法

(一) 重現期距 100 年的尖峰流量 $X_{100}$

1. 查表取得對應之頻率因子 $K$（取 $g = 0.0$ 列）：

• $T = 2$ 年（超越機率 $50\%$）：$K_2 = 0.000$
• $T = 50$ 年（超越機率 $2\%$）：$K_{50} = 2.054$
• $T = 100$ 年（超越機率 $1\%$）：$K_{100} = 2.326$

2. 求解對數變數之平均值 $\bar{Y}$ 與標準偏差 $S_Y$： 取自然對數轉換 $Y = \ln X$（若取 $\log_{10} X$ 計算，換底常數在後續比例中互相抵消，結果完全相同）：

• 由 $T = 2$ 年之流量 $X_2 = 800\text{ cms}$： $Y_2 = \ln(800) = \bar{Y} + K_2 \cdot S_Y = \bar{Y} + 0 \cdot S_Y \implies \bar{Y} = \ln(800) \approx 6.6846$
• 由 $T = 50$ 年之流量 $X_{50} = 2500\text{ cms}$： $Y_{50} = \ln(2500) = \bar{Y} + K_{50} \cdot S_Y \approx 7.8240$ 兩式相減求得標準偏差 $S_Y$： $S_Y = \frac{Y_{50} - Y_2}{K_{50}} = \frac{\ln(2500) - \ln(800)}{2.054} = \frac{\ln\left(\frac{2500}{800}\right)}{2.054} = \frac{\ln(3.125)}{2.054} = \frac{1.1394}{2.054} \approx 0.5547$

3. 推算 $T = 100$ 年之尖峰流量： $Y_{100} = \bar{Y} + K_{100} \cdot S_Y = 6.6846 + 2.326 \times 0.5547 = 6.6846 + 1.2903 = 7.9749$ 還原為實際流量： $X_{100} = e^{Y_{100}} = e^{7.9749} \approx 2907.2\text{ cms}$

(二) 未來 25 年內不會發生超過 2000 cms 的機率

核心觀念

本題評量河川水質模式中最經典之「史垂特－菲爾普斯模型」（Streeter-Phelps Model）的基本理論與物理機制：

1. 氧垂現象（Oxygen-sag Phenomenon）：含碳有機廢水（CBOD）排入河川後，好氧微生物分解有機物消耗溶氧（脫氧作用），同時大氣界面向水體溶入氧氣補充（再曝氣作用）。兩者速率消長使水體溶氧濃度呈現「先降後升」之下凹曲線。
2. 溶氧平衡微分方程式（Mass Balance for DO Deficit）： $\frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t} = 2.303 K_1 L_t - 2.303 K_2 D$ 經積分邊界條件推導出河川任意流行時間 $t$ 之溶氧不足量解析解。
3. 底數慣例：題目所給公式以底數 $10$ 表示（$10^{-K_1t}$），代表脫氧速率常數 $K_1$ 與再曝氣速率常數 $K_2$ 均採用常用對數（$\log_{10}$）系統，此為早期台灣國家考試及環工／水利工程經典教材之標準表示法。

解題方法

本題為純申論問答題，配分 25 分（5 分、10 分、10 分），切入點與編排原則如下：

1. 第 (一) 子題：採「成因機制 $\rightarrow$ 定義說明 $\rightarrow$ 關鍵特徵（臨界點）」三層次論述，並以文字簡繪或圖解說明溶氧濃度曲線走向與最低點（Critical Point）。
2. 第 (二) 子題：針對公式中出現的 $D_t$、$D_0$、$L$、$K_1$、$K_2$、$t$ 共 6 個符號，逐一明確寫出「中文物理名稱」、「定義/計算方式」及「常用工程單位」，並特別註明常數所對應之對數底數（底數 10）。
3. 第 (三) 子題：將 Streeter-Phelps 方程式建立時的物理、水力、化學與生物假設分門別類條列（如一維流動、穩態、一級反應動力、忽略次要源匯），邏輯嚴謹分點呈現，便於閱卷委員逐項給分。

解題技巧

1. 底數陷阱辨析：

• 自然對數系（以 $e$ 為底）：常寫為 $k_1$、$k_2$；微分式為 $\frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t} = k_1 L - k_2 D$。
• 常用對數系（以 $10$ 為底）：常寫為大寫 $K_1$、$K_2$；兩者關係為 $k = 2.303 K$。解題時特別註明「底數為 10 之常數」，能展現扎實的觀念深度。

2. 臨界點（Critical Point）的延伸概念： 氧垂曲線最低點即為臨界點，此處 $\frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t} = 0$，代表「脫氧速率等於再曝氣速率」，是水體溶氧最匱乏、生態承受力最脆弱之處。
3. 假設條列要完整：閱卷標準通常要求列出至少 4 至 6 項核心假設，切記不可只寫「穩定流」，須把「一維」、「活塞流（忽略縱向延散）」、「一級反應」、「不考慮硝化與底泥」等經典限制完整點出。

【答案】

(一) 氧垂曲線（oxygen-sag curve）之意義

1. 定義： 當含有易分解有機物之點源廢水排入承受水體（河川）後，水中好氧微生物分解有機物需消耗溶氧（脫氧作用，Deoxygenation）；同時，大氣中的氧氣會透過氣液界面重新溶入水體補充溶氧（再曝氣作用，Reaeration）。將河流水體自排污點沿下游流行時間（$t$）或流向距離（$x$）之溶氧濃度（$\text{DO}$）或溶氧不足量（$D$）繪製成空間分布圖，所得先下凹後回升之曲線，稱為「氧垂曲線」（Oxygen-sag Curve）。

2. 物理歷程特徵：

• 污染降解區（降谷段）：在排污點下游初期，水中殘餘有機物濃度高，脫氧速率大於再曝氣速率，使河水溶氧濃度持續下降。
• 臨界點（Critical Point）：當溶氧降至最低值（溶氧不足量達最大值 $D_c$）處，此瞬間脫氧速率恰等於再曝氣速率（$\mathrm{d}D/\mathrm{d}t = 0$），為河川最易發生缺氧、水質最惡劣之斷面。
• 自淨復原區（回升段）：通過臨界點後，有機物大幅消耗導致脫氧速率降低，再曝氣速率大於脫氧速率，水體溶氧逐步恢復至上游原生之飽和溶氧水準（河川自淨作用）。

(二) 史垂特－菲爾普斯方程式各符號意義說明