107 地方特考四等 水利工程 水文學概要 考古題詳解

核心觀念

本題評量水文學中降水轉化為地表與地下水流之兩大關鍵水文損耗歷程：入滲（Infiltration） 與 蒸發散（Evapotranspiration）。核心在於辨析「最大潛能（Capacity / Potential）」與「實際發生（Actual）」之間的物理機制與限制條件：

1. 入滲機制：受控於「地表供水率（降雨強度 $i$）」與「土壤吸水能力（入滲容量 $f_p$）」之動態消長，區分為供水控制（Supply-controlled）與土壤控制（Profile/Capacity-controlled）。
2. 蒸發散機制：受控於「大氣蒸發能量（能量限制，以潛勢蒸發散量 $PET$ 表徵）」與「土壤根群供水能力（水分限制，以實際蒸發散量 $AET$ 表徵）」。

解題方法

(一) 入滲容量與實際入滲率之關係及相等條件

1. 基本定義

• 入滲容量（Infiltration Capacity, $f_p$）：又稱入滲能，指在充分供水（地表有薄層積水或降雨極大）條件下，土壤表面單位時間內所能吸收之最大水量，具速率單位（如 $\text{mm/hr}$），隨降雨歷時因土壤孔隙飽和與黏土膨脹而隨時間遞減（可用 Horton 入滲公式描述）。
• 實際入滲率（Actual Infiltration Rate, $f$）：指在特定降雨事件中，水分實際穿過土壤表面滲入土體之速率。

2. 兩者之關係 實際入滲率受降雨強度 $i$ 與土壤入滲容量 $f_p$ 共同制約，其數學關係表示為： $f = \min(i, f_p)$

• 當降雨強度小於入滲容量（$i < f_p$）： 地表供水量不足以達到土壤吸水極限，入滲受「供水條件」控制。降雨全數滲入土壤，地表不產生積水與超滲逕流（Hortonian runoff），此時： $f = i < f_p$
• 當降雨強度大於或等於入滲容量（$i \ge f_p$）： 供水充足，土壤吸水達最大極限，入滲受「土壤物理特性」控制。多餘雨水滯留地表並開始產生窪蓄與地表逕流，此時： $f = f_p$

3. 兩者相等之時機 當降雨強度（或地表供水率）大於或等於入滲容量（即 $i \ge f_p$），或**地表已產生積水（Ponding）**時，實際入滲率等於入滲容量（$f = f_p$）。

(二) 潛勢能蒸發散量與實際蒸發散量之關係及相等條件

1. 基本定義

• 潛勢能蒸發散量（Potential Evapotranspiration, $PET$）：指在土壤水分充分供應、植被生長良好且完全遮蔽地面之理想條件下，單位時間內由大氣能量（日射、氣溫、風速、濕度）所能驅動之最大可能蒸發散量。
• 實際蒸發散量（Actual Evapotranspiration, $AET$）：指在現地實際土壤含水量、植被覆蓋度與生長狀態下，真實逸散至大氣中之水分總量。

核心觀念

本題旨在測驗土壤物理性質與非飽和層（包氣帶）土壤水文動態的基礎定義及物理機制：

1. 土壤相態與儲水空間：土壤由固相骨架、液相（水）與氣相（空氣）組成，孔隙率決定了土壤所能儲存流體的理論上限容量。
2. 土壤水分張力與水分分級：土壤水依受力特性可分為重力水（Gravity Water）、毛細管水（Capillary Water）與吸附水／吸濕水（Hygroscopic Water）。田間保水容量與凋萎點分別界定了農藝與水文循環中「植物可利用水分（Available Water）」的上下限。
3. 滲漏物理機制：入滲（Infiltration）為水分穿越地表進入土壤的過程，而滲漏（Percolation）為土壤水在重力梯度驅動下穿透非飽和層向深層（地下水面）垂直移動的通量，其傳輸受土壤質地、孔隙幾何構造、水力傳導度及初始含水狀態直接控制。

解題方法

申論題型每小題各佔 5 分，作答策略須達到「名詞定義明確、定量指標（張力／含水率／公式）精確、水文學涵義清楚」三重要件：

• 第 (一) 至 (三) 小題：採三段式論述——給出文字定義、物理公式或水分張力臨界值（以 bar、kPa 或 $pF$ 值量化）、並說明其在水文收支與植物需水上的工程意義。
• 第 (四) 小題：先精準定義「滲漏（Percolation）」，釐清其與「入滲（Infiltration）」的交界面差異，再由微觀到宏觀依序剖析「土壤質地與粒徑」、「孔隙大小分佈」、「水力傳導度（達西定律）」、「初始含水率及滯水曲線」、「層理與壓密構造」五大物理面向對滲漏行為的控制機制。

解題技巧

1. 張力指標記憶：

• 田間保水容量（FC）：土壤水分張力約為 $-0.1 \sim -0.33\text{ bar}$（約 $10 \sim 33\text{ kPa}$，$pF \approx 2.0 \sim 2.5$）。砂土趨近 $0.1\text{ bar}$，黏土趨近 $0.33\text{ bar}$。
• 凋萎點（WP）：土壤水分張力約為 $-15\text{ bar}$（約 $1500\text{ kPa}$，$pF \approx 4.2$）。
• 有效利用水容量（Available Water Capacity, AWC）：$\text{AWC} = \text{FC} - \text{WP}$。

2. 常見陷阱（專有名詞混淆）：

• 絕對不可將「滲漏（Percolation）」寫成「水分由地表穿入土壤」（此為 Infiltration 入滲）。滲漏專指「土體內部向下層深沉移動」的過程。
• 勿將孔隙率（Porosity, $n$）與孔隙比（Void Ratio, $e$）之分母搞混：孔隙率分母為「土壤總體積 $V$」，孔隙比分母為「固體顆粒體積 $V_s$」。

【答案】

(一) 孔隙率（Porosity, $n$）

1. 定義：土壤中孔隙體積（$V_v$）佔土壤總體積（$V$）之百分比或小數比值。
2. 數學式： $n = \frac{V_v}{V} \times 100\% = \frac{V_w + V_a}{V_s + V_w + V_a} \times 100\%$ 式中：$V_v$ 為孔隙體積；$V$ 為總體積；$V_s$、$V_w$、$V_a$ 分別為固體骨架、水分與空氣之體積。孔隙率亦可由孔隙比 $e = V_v / V_s$ 換算為 $n = \frac{e}{1+e}$。
3. 物理與水文意義：

• 孔隙率決定了土壤容納水分與氣體的最高理論上限。
• 當土壤完全飽和時，其體積含水率（Volumetric Water Content, $\theta$）即等於孔隙率（$\theta_s = n$）。典型砂土孔隙率約為 $30\% \sim 40\%$，黏土約為 $40\% \sim 55\%$。

(二) 田間保水容量（Field Capacity, FC）

1. 定義：土壤歷經充分灌溉或豪雨飽和後，多餘的重力水在重力作用下自然排水約 1 至 3 天（使重力排水速率顯著趨緩），土壤微細孔隙毛細管力所能吸附保留的最大體積含水率。

核心觀念

本題評量**水文平衡方程式（Hydrologic Budget Equation / Water Balance Equation）**之基本應用與單位換算。

根據質量守恆定律，在特定控制體積（湖泊）與時間間隔（$\Delta t$）內，水體的總流入量減去總流出量等於湖泊內部的蓄水量變化量：

$\sum \text{流入量} - \sum \text{流出量} = \text{蓄水變量} \ (\Delta S)$

針對本題湖泊系統，各水文分量定義如下：

1. 流入量（Inflow）：包含湖面直接降雨量（$P$）及地表逕流流入量（$I$）。
2. 流出量（Outflow）：包含湖面蒸發量（$E$）及地表逕流流出量（$O$）。
3. 地下水及側流：依題目假設，無側流與地下水之流入與流出（$G_i = G_o = 0$）。

故水平衡方程式可簡化為： $(P + I) - (E + O) = \Delta S$

整理後求蒸發量 $E$： $E = P + (I - O) - \Delta S$

解題方法

本題可採用「等效水深法（$\mathrm{mm}$）」或「總水體積法（$\mathrm{m^3}$）」求解，以等效水深法計算最為簡捷且不易出錯。以下以完整推導步驟說明：

步驟一：已知條件與基本參數設定

• 湖泊表面積： $A = 10\ \mathrm{km^2} = 10 \times 10^6\ \mathrm{m^2} = 10^7\ \mathrm{m^2}$
• 時間週期（6 月份）： 6 月共有 $30$ 天，換算為秒數： $\Delta t = 30 \times 24 \times 3600\ \mathrm{s} = 2,592,000\ \mathrm{s}$
• 降水量（水深）： $P = 164\ \mathrm{mm} = 0.164\ \mathrm{m}$
• 水位上升量（蓄水水深變量）： $\Delta h = +100\ \mathrm{mm} = +0.100\ \mathrm{m}$
• 淨地表流入率： $Q_{\text{net}} = I - O = 1.2 - 1.1 = 0.1\ \mathrm{m^3/s}$

步驟二：計算淨地表逕流之等效水深

整月份流入與流出之淨地表逕流體積：

核心觀念

本題為水文學中「水文歷線分析」與「單位歷線理論（Unit Hydrograph Theory）」的經典計算題，涵蓋以下核心觀念與公式：

1. 基流量分離（Baseflow Separation）與直接逕流歷線（DRH）： 總逕流歷線 $Q(t)$ 扣除基流量 $Q_b$ 後，即為直接逕流歷線 $q(t)$： $q(t) = Q(t) - Q_b$

2. 水文質量守恆與集水區面積計算： 直接逕流體積 $V_d$ 為直接逕流歷線對時間的積分。依梯形積分法（Trapezoidal Rule），時間間距 $\Delta t$ 下的直接逕流體積為： $V_d = \int q(t)\, dt \approx \sum_{i} \left(\frac{q_i + q_{i+1}}{2}\right) \Delta t$ 直接逕流體積亦等於集水區面積 $A$ 乘以有效雨量深度 $P_e$： $V_d = A \times P_e \implies A = \frac{V_d}{P_e}$ 單位換算關係：$1\ \mathrm{ha} = 10{,}000\ \mathrm{m^2}$。

3. 線性水文系統特性（可加性與倍數性）： 單位歷線理論假定集水區為線性非時變系統（Linear Time-Invariant System, LTI）：

• 倍數性（Proportionality）：逕流量大小與有效雨量成正比。
• 可加性／重疊原理（Superposition）：連續降雨事件產生的直接逕流歷線，可由各期降雨所引致之歷線依時差平移後疊加求得。

解題方法

(一) 計算集水區面積

1. 求各時段之直接逕流量 $q(t)$： 已知基流量 $Q_b = 0.01\ \mathrm{m^3/s}$，有效雨量 $P_e = 5\ \mathrm{mm} = 0.005\ \mathrm{m}$，時間間距 $\Delta t = 10\ \mathrm{min} = 600\ \mathrm{s}$。

• $t = 0\ \mathrm{min}$：$q(0) = 0.01 - 0.01 = 0.00\ \mathrm{m^3/s}$
• $t = 10\ \mathrm{min}$：$q(10) = 0.11 - 0.01 = 0.10\ \mathrm{m^3/s}$
• $t = 20\ \mathrm{min}$：$q(20) = 0.11 - 0.01 = 0.10\ \mathrm{m^3/s}$
• $t = 30\ \mathrm{min}$：$q(30) = 0.21 - 0.01 = 0.20\ \mathrm{m^3/s}$
• $t = 40\ \mathrm{min}$：$q(40) = 0.01 - 0.01 = 0.00\ \mathrm{m^3/s}$
• $t \ge 50\ \mathrm{min}$：$q(t) = 0.00\ \mathrm{m^3/s}$

2. 計算直接逕流總體積 $V_d$： 利用梯形數值積分計算歷線下面積： $V_d = \Delta t \times \left( \frac{q_0}{2} + q_1 + q_2 + q_3 + \frac{q_4}{2} \right)$ 代入數值： $V_d = 600 \times \left( \frac{0}{2} + 0.10 + 0.10 + 0.20 + \frac{0}{2} \right) = 600 \times 0.40 = 240\ \mathrm{m^3}$

3. 求集水區面積 $A$： $A = \frac{V_d}{P_e} = \frac{240\ \mathrm{m^3}}{0.005\ \mathrm{m}} = 48{,}000\ \mathrm{m^2}$ 換算為公頃： $A = \frac{48{,}000\ \mathrm{m^2}}{10{,}000\ \mathrm{m^2/ha}} = 4.8\ \mathrm{ha}$

(二) 計算延時 20 分鐘、有效雨量 10 mm 之流量歷線

1. 降雨拆解分析：

• 延時為 $20\ \mathrm{min}$，總有效雨量為 $10\ \mathrm{mm}$。
• 在水文學均勻降雨強度假設下，此場降雨強度為： $I = \frac{10\ \mathrm{mm}}{20\ \mathrm{min}} = 0.5\ \mathrm{mm/min}$
• 這相當於前後相鄰之兩場 $10\ \mathrm{min}$ 延時、有效雨量均為 $5\ \mathrm{mm}$ 的降雨：

核心觀念

本題評量都市水文與排水工程的核心基本功，主要涵蓋三個關鍵觀念：

1. 降雨強度－延時－頻率（Intensity-Duration-Frequency, IDF）曲線：表徵特定區域暴雨特性之統計曲線。降雨強度（$I$）、降雨延時（$t$）與重現期（$T$）三者間存在非線性反比及正比的物理關係。
2. 合理化公式（Rational Formula）之設計降雨強度決定原則：合理化公式為 $Q_p = \frac{1}{360} C I A$（公制常用型式）。其基本假定為「當降雨延時等於集水區集流時間（$t = t_c$）時，全集水區皆產生逕流貢獻，尖峰流量達到最大」，因此設計降雨強度 $I$ 必須由「設計重現期 $T$」與「集流時間 $t_c$」共同決定。
3. 水文風險與重現期之機率關係：每年水文極值事件假定為相互獨立之隨機變數。年超越機率（Annual Exceedance Probability）為 $P = \frac{1}{T}$，多年連續發生之聯合機率遵循獨立事件乘法定理。

解題方法

(一) 畫圖說明降雨強度－延時－頻率曲線

在答題卷上，應繪製以「降雨延時」為橫軸、「降雨強度」為縱軸之坐標圖，並標註不同重現期之曲線。

1. IDF 曲線示意圖

降雨強度 I (mm/hr)
 ▲
 │
 │ \
 │ \ ─── T = 100 年
 │ \
 │ \ ─── T = 50 年
 │ \
 │ \ ─── T = 10 年
 │ \
 │ \ ─── T = 2 年
 │ ───────────────
 └──────────────────────────────► 降雨延時 t (min 或 hr)

2. 曲線特性與物理意義說明

• 橫軸與縱軸：橫軸為降雨延時 $t$（常用單位為 $\text{min}$ 或 $\text{hr}$）；縱軸為平均降雨強度 $I$（單位為 $\text{mm/hr}$）。
• 延時與強度的關係（負相關）：在相同重現期 $T$ 下，降雨強度隨延時增加而遞減，呈現向下凹（反比）之平滑曲線。這是因為在物理上，極短時間內易有極劇烈的對流胞降雨，但長時間之平均降雨強度必然會被拉低。
• 重現期與強度的關係（正相關）：在相同降雨延時 $t$ 下，重現期愈長（曲線愈偏向右上），降雨強度愈大，代表發生頻率愈低之極端暴雨，其降雨強度愈大。
• 曲線不相交性：各重現期曲線彼此平行漸進、互不相交。

(二) 如何決定合理化公式裡的設計暴雨強度？

合理化公式為： $Q_p = \frac{1}{360} C I A$ 其中，$Q_p$ 為尖峰流量（$\text{m}^3/\text{s}$），$C$ 為逕流係數，$A$ 為集水區面積（$\text{ha}$），$I$ 為設計降雨強度（$\text{mm/hr}$）。

決定設計暴雨強度 $I$ 之完整步驟如下：

1. 選定設計重現期（Design Return Period, $T$）

• 依據排水工程之規劃等級、集水區受保護標的之重要性、水害風險容忍度，並參照排水設計規範或法規（如《市區道路工程規劃設計規範》或《排水設計手冊》），選定適當之保護標準。一般都市雨水下水道或側溝常採 2 年至 5 年，主要幹道或抽水站則採 10 年至 25 年不等。

2. 決定設計降雨延時（Design Rainfall Duration, $t_d$）

• 根據合理化公式之基本假設，當降雨延時達到集水區的「集流時間（Time of Concentration, $t_c$）」時，全集水區各點逕流皆已到達出口斷面，此時尖峰流量達最大值；若降雨延時大於 $t_c$，降雨強度因延時拉長而降低，流量反而變小。因此，設計降雨延時取等於集水區之集流時間： $t_d = t_c$