107 地方特考四等 測量製圖 測量平差法概要 考古題詳解

核心觀念

本題評量測量平差法中評估觀測品質與成果良窳的兩大核心統計指標：標準偏差（Standard Deviation, SD）與均方根誤差（Root Mean Square Error, RMSE）。 解題核心在於區分「精密度（Precision）」與「準確度（Accuracy）」之差異，以及理解「殘差（Residual, $v$）」與「真誤差（True Error, $\epsilon$）」在數學統計上的本質不同：

1. 精密度（Precision）與偶然誤差：評估多次重覆觀測值彼此接近的程度，由標準偏差量化。
2. 準確度（Accuracy）與總誤差：評估觀測值或推估值與「真值（或高精度基準值）」符合的程度，同時包含系統誤差與偶然誤差，由均方根誤差量化。
3. 貝索公式（Bessel's Correction）與自由度：未獲知母體真值時，使用樣本平均值取代母體平均值會消耗 1 個自由度，分母需採用 $n-1$。

解題方法

本題為理論申論題，答題架構應分為「公式定義」、「內容說明」、「特性分析」及「綜合比較」四個層次。

一、標準偏差（Standard Deviation, SD）

1. 計算公式

• 母體標準偏差（Population Standard Deviation, $\sigma$）（當真值或母體平均數 $\mu$ 已知時）： $\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2}{n}}$
• 樣本標準偏差（Sample Standard Deviation, $s$ 或 $\hat{\sigma}$）（工程與測量實務上真值未知，以樣本平均值 $\bar{x}$ 取代）： $s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n v_i^2}{n - 1}}$ 其中：
• $x_i$：第 $i$ 次觀測值
• $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$：算術平均數（最妥值）
• $v_i = x_i - \bar{x}$：觀測殘差（Residual）
• $n$：觀測次數；$n - 1$：自由度（Degrees of Freedom, $df$）

2. 內容與特性

• 代表精密度（Precision）：量測數據分布相對於「自身中心值（平均值）」的離散程度。數值越小，代表資料越集中、重複觀測的穩定度（一致性）越高。
• 無法反映系統誤差：若觀測數據存在固定的儀器校正誤差或大氣折光誤差等常數型系統誤差，平均值 $\bar{x}$ 會與各觀測值 $x_i$ 同步偏移相同量，殘差 $v_i = x_i - \bar{x}$ 中的系統誤差完全被相消，因此標準偏差**僅能反映偶然誤差（隨機誤差）**的離散程度，無法檢驗成果是否偏離真值。
• 無偏估計（Unbiased Estimator）：樣本變異數分母除以 $n - 1$，補償了以 $\bar{x}$ 代替 $\mu$ 所造成的自由度損失，使其數學期望值等於母體變異數，即 $E[s^2] = \sigma^2$。

二、均方根誤差（Root Mean Square Error, RMSE）

1. 計算公式

$\text{RMSE} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n (x_i - X)^2}{n}} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n \epsilon_i^2}{n}}$ 其中：

• $x_i$：第 $i$ 個觀測值、推估值或檢核點成果
• $X$：已知真值（True Value）或公認之高精度基準參考值（Benchmark Value）
• $\epsilon_i = x_i - X$：真誤差（True Error）
• $n$：檢核點或觀測樣本數

2. 內容與特性

• 代表準確度（Accuracy / External Accuracy）：評估實測成果與「外部客觀基準」的符合程度，衡量總體誤差大小。
• 同時包涵系統誤差與偶然誤差： 若定義偏差（Bias, 系統誤差估計）為 $b = \bar{x} - X$，則 RMSE 與樣本變異數之間具備以下代數關係：

核心觀念

1. 協變方矩陣（Covariance Matrix）定義： 對於觀測量向量 $L = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$，其協變方矩陣之主對角線元素為各觀測量的變方（Variance，$\sigma_a^2$、$\sigma_b^2$），非對角線元素為兩兩觀測量之間的協變方（Covariance，$\sigma_{ab} = \sigma_{ba}$）。當兩觀測量互相獨立時，其協變方為 $0$。
2. 多變數線性誤差傳播定律（General Law of Error Propagation）： 若待求未知量向量 $Z = \begin{bmatrix} X \\ Y \end{bmatrix}$ 與觀測量向量 $L$ 存在線性函數關係 $Z = J L$（其中 $J$ 為係數矩陣或雅可比矩陣 Jacobian Matrix），則未知量的協變方矩陣 $\Sigma_{ZZ}$（即 $\Sigma_{XY}$）與觀測量協變方矩陣 $\Sigma_{LL}$（即 $\Sigma_{ab}$）的關係式為： $\Sigma_{XY} = J \Sigma_{ab} J^T$
3. 相關係數（Correlation Coefficient）： 兩隨機變數 $X$ 與 $Y$ 之相關係數定義為兩者協變方除以各自標準誤差的乘積： $\rho_{XY} = \frac{\sigma_{XY}}{\sigma_X \sigma_Y} = \frac{\sigma_{XY}}{\sqrt{\sigma_X^2 \cdot \sigma_Y^2}}$ 其數值範圍滿足 $-1 \le \rho_{XY} \le 1$。

解題方法

（一）列出 $a$、$b$ 的協變方矩陣（5 分）

1. 題目給定 $a$ 與 $b$ 為「獨立觀測」，因此兩觀測量之間的共變異數（協變方）為零： $\sigma_{ab} = \sigma_{ba} = 0$
2. $a$ 與 $b$ 的標準誤差分別為 $\sigma_a = \sigma$ 及 $\sigma_b = 2\sigma$，對應的變方分別為： $\sigma_a^2 = \sigma^2$ $\sigma_b^2 = (2\sigma)^2 = 4\sigma^2$
3. 建立 $a$、$b$ 之協變方矩陣 $\Sigma_{ab}$： $\Sigma_{ab} = \begin{bmatrix} \sigma_a^2 & \sigma_{ab} \\ \sigma_{ba} & \sigma_b^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sigma^2 & 0 \\ 0 & 4\sigma^2 \end{bmatrix}$

（二）依據誤差傳播定律推出 $X$、$Y$ 的協變方矩陣（15 分）

1. 建立幾何函數關係： 由圖示可知 $A$、$B$、$C$ 依序位於同一直線上，線段幾何關係為：

• $a = \overline{AB} = X$
• $b = \overline{AC} = \overline{AB} + \overline{BC} = X + Y$

將待求距離 $X$、$Y$ 以觀測量 $a$、$b$ 表示： $X = a$ $Y = b - a = -a + b$

2. 化為矩陣方程式並求雅可比矩陣 $J$： $\begin{bmatrix} X \\ Y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$ 轉換矩陣（Jacobian Matrix）為：

核心觀念

本題屬於測量平差法中「單一未知數之獨立不等權觀測平差」的經典申論題型，測驗考生對基本平差理論的推導與應用能力，涵蓋以下核心觀念與定理：

1. 權（Weight）的定義：在獨立觀測中，各觀測值之權 $P_i$ 與其方差（中誤差之平方 $\sigma_i^2$）成反比。
2. 最小二乘原理（Principle of Least Squares）：當觀測值不等權時，以「加權殘差平方和為極小」（$\sum P_i v_i^2 = \min$）作為平差準則。
3. 加權平均值（Weighted Arithmetic Mean）：獨立不等權觀測單一未知數的最或是值（Most Probable Value）。
4. 誤差傳播定律（Law of Error Propagation）：求算線性函數或加權函數之精度評定工具。
5. 白賽爾公式（Bessel's Formula for Weighted Observations）：利用觀測值之改正數（殘差）估算後驗單位權中誤差。

解題方法

設欲測量之距離未知數為 $X$。以精度不同（即中誤差不同）的儀器獨立重複觀測該距離 $n$ 次，得觀測值序列為 $l_1, l_2, \dots, l_n$；各儀器觀測之中誤差分別為 $\sigma_1, \sigma_2, \dots, \sigma_n$。

一、 推算該距離之最或是值（$\hat{X}$）

1. 決定各觀測值之權（$P_i$）： 選定一任意正數作為單位權方差 $\sigma_0^2$，則各次觀測值之權 $P_i$ 定義為： $P_i = \frac{\sigma_0^2}{\sigma_i^2} \quad (i = 1, 2, \dots, n)$

2. 建立誤差方程式與目標函數： 設該距離之最或是值為 $\hat{X}$，則各次觀測之殘差（改正數）$v_i$ 為： $v_i = \hat{X} - l_i \quad (i = 1, 2, \dots, n)$ 依據最小二乘法原理，平差準則為加權殘差平方和極小： $\Phi = \sum_{i=1}^n P_i v_i^2 = \sum_{i=1}^n P_i (\hat{X} - l_i)^2 \to \min$

3. 求極值推導最或是值： 將目標函數 $\Phi$ 對未知數 $\hat{X}$ 取一階偏微分並令其為零： $\frac{d\Phi}{d\hat{X}} = 2 \sum_{i=1}^n P_i (\hat{X} - l_i) = 0$ 展開並整理： $\hat{X} \sum_{i=1}^n P_i - \sum_{i=1}^n P_i l_i = 0$ 解得最或是值 $\hat{X}$（即加權平均值）： $\hat{X} = \frac{\sum_{i=1}^n P_i l_i}{\sum_{i=1}^n P_i} = \frac{[P l]}{[P]}$ （其中採高斯符號，$[P l] = \sum_{i=1}^n P_i l_i$、$[P] = \sum_{i=1}^n P_i$）

二、 評定該最或是值之精度（$m_{\hat{X}}$）

評定最或是值的精度，實務上分為「計算後驗單位權中誤差」與「依誤差傳播定律求最或是值中誤差」兩個步驟：

1. 計算各觀測值之改正數與單位權中誤差（$m_0$）： 將求得之最或是值 $\hat{X}$ 代回求各觀測值的改正數 $v_i = \hat{X} - l_i$。 總觀測次數為 $n$，獨立未知數個數為 $u = 1$，多餘觀測數（自由度）為 $r = n - 1$。 依據加權白賽爾公式，後驗單位權中誤差 $m_0$ 為： $m_0 = \pm \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n P_i v_i^2}{n - 1}} = \pm \sqrt{\frac{[P v v]}{n - 1}}$

2. 推導最或是值之權（$P_{\hat{X}}$）： 將加權平均值展開為觀測值的線性函數： $\hat{X} = \frac{P_1}{[P]} l_1 + \frac{P_2}{[P]} l_2 + \dots + \frac{P_n}{[P]} l_n$ 依據獨立變數之誤差傳播定律：

核心觀念

本題旨在評量測量平差法中兩大基礎平差模式——**直接觀測平差法（加權算術平均值法）與間接觀測平差法（參數平差法 / 觀測方程式法）**之原理、計算流程及其理論等價關係：

1. 水準測量定權原則： 在水準測量中，高程差之觀測誤差具有累積特性，其方差（Variance）與水準路線長度 $l_i$ 成正比（即 $\sigma_i^2 \propto l_i$）。依據平差學中「權（Weight）與方差成反比」之定義，水準路線之權 $p_i$ 與路線長度 $l_i$ 成反比： $p_i \propto \frac{1}{l_i}$

2. 水準路線高差與行進方向關係： 依據水準測量觀測定義，高程差 $h = H_{\text{終點}} - H_{\text{起點}}$。解題前須依圖中箭頭方向嚴密判定起訖點：

• 路線 1（$A \to P$）：$h_1 = H_P - H_A \implies H_P = H_A + h_1$
• 路線 2（$B \to P$）：$h_2 = H_P - H_B \implies H_P = H_B + h_2$
• 路線 3（$P \to C$）：$h_3 = H_C - H_P \implies H_P = H_C - h_3$
• 路線 4（$P \to D$）：$h_4 = H_D - H_P \implies H_P = H_D - h_4$

3. 直接觀測平差（Direct Observation Adjustment）： 對未知量進行多次同精準度或不同精準度之直接觀測時，依最小二乘原理（$\sum p_i v_i^2 \to \min$），該未知量之最佳估值為加權算術平均值： $\hat{X} = \frac{\sum p_i X_i}{\sum p_i}$

4. 間接觀測平差（Indirect Observation Adjustment）： 將觀測量表達為未知參數之函數（$L + V = f(\hat{X})$），建立觀測方程式，經線性化或矩陣展開後形成法方程式（Normal Equations）： $(A^T P A)\hat{X} = A^T P L$ 藉由求解法方程式解出未知參數之平差值。

解題方法

（一）以直接觀測平差法計算 $P$ 點高程

1. 各路線觀測值權重（Weights）計算： 權與路線長度成反比，取比例常數 $c = 6\ \mathrm{km}$ 以簡化權數為整數：

• 路線 1（$l_1 = 2\ \mathrm{km}$）：$p_1 = \frac{6}{2} = 3$
• 路線 2（$l_2 = 6\ \mathrm{km}$）：$p_2 = \frac{6}{6} = 1$
• 路線 3（$l_3 = 2\ \mathrm{km}$）：$p_3 = \frac{6}{2} = 3$
• 路線 4（$l_4 = 3\ \mathrm{km}$）：$p_4 = \frac{6}{3} = 2$ 總權數： $\sum_{i=1}^4 p_i = 3 + 1 + 3 + 2 = 9$

2. 推算各水準路線所求得之 $P$ 點高程直接觀測值 $H_{Pi}$：

• 由路線 1：$H_{P1} = H_A + h_1 = 21.126 + 1.199 = 22.325\ \mathrm{m}$
• 由路線 2：$H_{P2} = H_B + h_2 = 23.141 + (-0.821) = 22.320\ \mathrm{m}$
• 由路線 3：$H_{P3} = H_C - h_3 = 22.788 - 0.464 = 22.324\ \mathrm{m}$
• 由路線 4：$H_{P4} = H_D - h_4 = 21.521 - (-0.799) = 22.320\ \mathrm{m}$

3. 計算加權算術平均值： 依直接觀測平差之加權算術平均公式： $\hat{H}_P = \frac{\sum_{i=1}^4 p_i H_{Pi}}{\sum_{i=1}^4 p_i}$ 代入數值： $\sum_{i=1}^4 p_i H_{Pi} = 3(22.325) + 1(22.320) + 3(22.324) + 2(22.320) = 66.975 + 22.320 + 66.972 + 44.640 = 200.907\ \mathrm{m}$ $\hat{H}_P = \frac{200.907}{9} = 22.323\ \mathrm{m}$

（二）以間接觀測平差法計算 $P$ 點高程，並說明成果是否相同與原因

1. 設定未知參數： 設待定未知參數為 $P$ 點高程平差值 $\hat{X} = \hat{H}_P$。

2. 列立觀測方程式： 觀測方程式通式為 $h_i + v_i = \hat{h}_i$（$v_i$ 為改正數）：

• 路線 1（$A \to P$）：$h_1 + v_1 = \hat{H}_P - H_A \implies v_1 = \hat{H}_P - (H_A + h_1) = \hat{H}_P - 22.325$
• 路線 2（$B \to P$）：$h_2 + v_2 = \hat{H}_P - H_B \implies v_2 = \hat{H}_P - (H_B + h_2) = \hat{H}_P - 22.320$
• 路線 3（$P \to C$）：$h_3 + v_3 = H_C - \hat{H}_P \implies v_3 = -\hat{H}_P + (H_C - h_3) = -\hat{H}_P + 22.324$