107 地方特考四等 測量製圖 測量學概要(包括地籍測量) 考古題詳解

核心觀念

本題涵蓋測量學三大基石主題：測量基準面分類、角度觀測儀器誤差消除原理，以及望遠鏡幾何光學與視野角計算。

1. 平面測量與大地測量的區別：

• 大地測量（Geodetic Surveying）：考量地球曲率，以大地水準面（Geoid）及旋轉橢球體面（Reference Ellipsoid）作為基準面，採用球面三角學與橢球幾何學進行計算，適用於大範圍、國家級控制網或高精度測量。
• 平面測量（Plane Surveying）：將局部地表視為水平面（忽視地球曲率），各測站鉛垂線視為互相平行，採用歐幾里得幾何與平面三角學計算，通常適用於測區半徑小於 $10\sim 20\ \mathrm{km}$ 或面積小於 $100\sim 400\ \mathrm{km}^2$ 之工程與細部測量。

2. 經緯儀正倒鏡觀測取平均值之用意：

• 水平角觀測採正鏡（盤左，Face Left）與倒鏡（盤右，Face Right）兩位置觀測並取平均值（即一測回），主要目的為消除或減弱儀器構造上的對稱性系統誤差，並減少讀數與對準之人為偶然誤差。
• 可消除的系統誤差：
• 視準軸誤差（$c$）：視準軸不垂直於橫軸。
• 橫軸誤差（$i$）：橫軸不垂直於直立軸。
• 照準部偏心差：照準部旋轉中心與水平度盤分劃中心不重合。
• 不可消除的誤差：直立軸傾斜誤差（直立軸未嚴格鉛直，正倒鏡符號相同，無法藉正倒鏡平均消除，必須靠精準整平消除）。

3. 望遠鏡視野角（Field of View, FOV）計算：

• 定義：望遠鏡所能看見之邊界射線在物鏡處所張開的夾角 $\theta$。
• 幾何關係：若目標距離為 $D$，在該距離所涵蓋之視野直徑（標尺截長）為 $S$：
• 嚴密公式： $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{S/2}{D} = \frac{S}{2D}$ $\theta = 2 \cdot \arctan\left(\frac{S}{2D}\right)$
• 小角度近似公式（$\theta$ 極小時，$\tan \theta \approx \theta$）： $\theta\ (\text{rad}) \approx \frac{S}{D}$ $\theta'' \approx \frac{S}{D} \times \rho'' \quad (\text{其中常數 } \rho'' \approx 206,265'')$

解題方法

(一) 平面測量與大地測量之比較（5 分）

從五個構面進行對比說明：

(二) 經緯儀量測水平角實施正倒鏡觀測取平均值之用意（5 分）

1. 消除儀器對稱性系統誤差：

• 視準軸誤差（Collimation Error, $c$）：若視準軸與橫軸夾角為 $90^\circ \pm c$，正鏡讀數誤差為 $+c\sec\alpha$，倒鏡讀數誤差為 $-c\sec\alpha$（$\alpha$ 為仰俯角），兩者取平均值可完全消除。
• 橫軸誤差（Horizontal Axis Error, $i$）：若橫軸與直立軸夾角為 $90^\circ \pm i$，正鏡讀數誤差為 $+i\tan\alpha$，倒鏡讀數誤差為 $-i\tan\alpha$，兩者取平均值可完全消除。
• 照準部偏心誤差：若照準部旋轉軸心與度盤中心不重合，正鏡與倒鏡兩次照準在度盤上相差約 $180^\circ$，取平均值可消除度盤偏心影響。

2. 減弱偶然誤差與提升成果可靠度：

核心觀念

本題考查距離測量中的鋼捲尺尺長檢定與尺長改正（Correction for Tape Length）以及相對精度（Relative Precision）之計算：

1. 尺長改正（$C_l$）： 鋼捲尺因製造、磨損或環境影響，其實際長度（實長 $l$）往往不等於標稱長度（名義長 $l_0$）。

• 單位尺長改正數：$\Delta l = l - l_0$
• 總尺長改正數： $C_l = \frac{D'}{l_0} \times \Delta l = D' \times \left(\frac{l - l_0}{l_0}\right)$
• 實際距離： $D = D' + C_l = D' \times \frac{l}{l_0}$ 其中 $D'$ 為量測所得之觀測距離，$D$ 為改正後之實際距離。

2. 相對精度（Relative Precision）： 衡量距離量測品質的指標，以測量誤差（或尺長誤差絕對值）與總距離之比值表示，慣例將分子化為 $1$： $\text{相對精度} = \frac{|C_l|}{D} = \frac{|\Delta l|}{l_0} = \frac{1}{K}$

解題方法

步驟一：整理已知條件

• 鋼捲尺名義長度：$l_0 = 20\ \mathrm{m}$
• 鋼捲尺檢定實長：$l = 19.994\ \mathrm{m}$
• 現場量測距離：$D' = 100.030\ \mathrm{m}$

步驟二：計算尺長改正數

1. 每尺段之長度偏差（單位尺長改正數）： $\Delta l = l - l_0 = 19.994 - 20.000 = -0.006\ \mathrm{m}$ （此尺較標準尺短 $0.006\ \mathrm{m}$，每次量測一整尺時，量出讀數偏大，故改正數為負值）

2. 全長之總尺長改正數 $C_l$： $C_l = \frac{D'}{l_0} \times \Delta l = \frac{100.030}{20} \times (-0.006) = 5.0015 \times (-0.006) = -0.030009\ \mathrm{m}$

核心觀念

本題旨在評量考生對電子測距儀（EDM）測距誤差組成與**隨機誤差傳播定律（Law of Propagation of Errors）**的理解與應用能力。

1. 電子測距儀（EDM）之測距中誤差組成： 原廠規格標示之測距精度通常表示為 $\pm(a + b\ \mathrm{ppm})$：

• 常數誤差（固定誤差，Fixed Error）$a$：與測量距離無關，主因包括儀器內部加常數改正殘差、電子零件延遲、光電信號相位起算偏差等。
• 比例誤差（Scale Error）$b\ \mathrm{ppm}$：與測量距離成正比，$\mathrm{ppm}$ 代表百萬分之一（$\text{parts per million}$，即 $10^{-6}$），主因包括晶體振盪器頻率漂移、大氣溫度與氣壓改正殘差等。距離為 $D$ 時，其誤差量為 $b \times 10^{-6} \times D$。

2. 測站外在誤差：

• 測站儀器定心誤差 $m_{\text{定心}}$。
• 照準點（稜鏡）誤差 $m_{\text{照準}}$。

3. 隨機誤差傳播定律： 在距離測量中，若各項誤差來源互為獨立不相關之隨機誤差，則觀測值之總中誤差（總誤差）等於各獨立隨機誤差分量平方和之平方根（Root-Sum-Squares, RSS）： $M = \pm \sqrt{m_1^2 + m_2^2 + \dots + m_n^2}$

解題方法

本題切入點為將「儀器內部測距誤差」與「外在安置及照準誤差」視為彼此獨立的隨機誤差，透過誤差傳播定律進行合成推導。

步驟一：統一單位並計算比例誤差量

已知量測距離 $D = 840.267\ \mathrm{m} = 840,267\ \mathrm{mm}$。 比例誤差係數 $b = 2\ \mathrm{ppm} = 2 \times 10^{-6}$。 比例誤差量 $m_b$ 為： $m_b = b \times D = 2 \times 10^{-6} \times 840,267\ \mathrm{mm} \approx 1.681\ \mathrm{mm}$

步驟二：分析儀器本身之測距誤差 $m_{\text{EDM}}$

電子測距儀的固定誤差 $a = 3\ \mathrm{mm}$ 與比例誤差量 $m_b = 1.681\ \mathrm{mm}$ 來自不同物理機制，學理上互為獨立隨機誤差： $m_{\text{EDM}} = \pm \sqrt{a^2 + m_b^2} = \pm \sqrt{3^2 + 1.681^2} = \pm \sqrt{9 + 2.826} \approx \pm 3.439\ \mathrm{mm}$

步驟三：計算距離量測之總誤差 $M$

將儀器測距誤差、定心誤差（$m_{\text{定心}} = \pm 3\ \mathrm{mm}$）及照準點誤差（$m_{\text{照準}} = \pm 4\ \mathrm{mm}$）依獨立隨機誤差傳播定律合成： $M = \pm \sqrt{m_{\text{EDM}}^2 + m_{\text{定心}}^2 + m_{\text{照準}}^2} = \pm \sqrt{a^2 + m_b^2 + m_{\text{定心}}^2 + m_{\text{照準}}^2}$

代入數值： $M = \pm \sqrt{3^2 + 1.681^2 + 3^2 + 4^2}$ $M = \pm \sqrt{9 + 2.826 + 9 + 16} = \pm \sqrt{36.826} \approx \pm 6.068\ \mathrm{mm}$

核心觀念

本題屬於地籍測量實務中的「面積單位換算」與「計量應用計算」，核心觀念涵蓋以下兩點：

1. 法定面積單位與民間慣用單位換算： 依據我國《度量衡法》與《地籍測量實施規則》（以命題當年民國 107 年之規定為準），地籍登記面積以公制「平方公尺」（$\text{m}^2$）為法定單位。民間不動產交易慣用之日制單位「坪」與公制單位的法定換算基準為： $1 \text{ 平方公尺} = 0.3025 \text{ 坪}$ 亦即： $1 \text{ 坪} = \frac{1}{0.3025} \text{ 平方公尺} = \frac{400}{121} \text{ 平方公尺} \approx 3.305785 \text{ 平方公尺}$
2. 複利鏈鎖計算法（連乘計算）： 求算總金額須進行「坪數 $\rightarrow$ 平方公尺 $\rightarrow$ 港幣總價 $\rightarrow$ 新臺幣總價」之連續尺度轉換： $\text{總價 (TWD)} = \text{面積 (坪)} \times \left(\frac{1 \text{ 平方公尺}}{0.3025 \text{ 坪}}\right) \times \text{單價 (HKD/}\text{m}^2\text{)} \times \text{匯率 (TWD/HKD)}$

解題方法

本題為非選擇題之計算題，解題採直接計算法，標準推導步驟如下：

步驟一：將房屋面積由「坪」換算為「平方公尺」

依標準定義 $1 \text{ 平方公尺} = 0.3025 \text{ 坪}$： $A = \frac{40}{0.3025} = \frac{16{,}000}{121} \approx 132.231405 \text{ 平方公尺}$

步驟二：計算房屋港幣（HKD）總價

香港當地行情每平方公尺為 $200{,}000$ 港幣： $P_{\text{HKD}} = A \times 200{,}000 = \frac{16{,}000}{121} \times 200{,}000 = \frac{3{,}200{,}000{,}000}{121} \approx 26{,}446{,}280.99 \text{ 元港幣}$

步驟三：折算為新臺幣（TWD）金額

題目給定港幣與新臺幣匯率比值為 $1 : 3.85$（即 $1 \text{ 港幣} = 3.85 \text{ 新臺幣}$）： $P_{\text{TWD}} = P_{\text{HKD}} \times 3.85 = \frac{3{,}200{,}000{,}000}{121} \times 3.85$

核心觀念

本題旨在測驗測量學中「方向表示法」之基本定義與相互轉換計算，主要涉及**方位角（Azimuth）與方向角（Bearing，又稱象限角）**之觀念：

1. 方位角（Azimuth, $\phi$）： 以子午線之正北方向為基準端，順時針方向量至目標測線之水平夾角，其數值範圍為 $0^\circ \le \phi < 360^\circ$。
2. 方向角（Bearing, $\theta$）： 以子午線之北端（N）或南端（S）為基準，向東（E）或向西（W）量至目標測線之水平銳角，其數值範圍為 $0^\circ \le \theta \le 90^\circ$。表示法包含起始基準（N 或 S）、夾角值與偏向方向（E 或 W），如 $N\theta E$、$S\theta E$、$S\theta W$、$N\theta W$。

兩者之象限換算關係如下表：

解題方法

(一) 方位角轉換為方向角

1. 方位角 $\phi_1 = 83^\circ20'03''$

• 象限判斷：$0^\circ < 83^\circ20'03'' < 90^\circ$，落在第一象限（東北象限，NE）。
• 計算步驟： $\theta_1 = \phi_1 = 83^\circ20'03''$
• 方向角：$N83^\circ20'03''E$

2. 方位角 $\phi_2 = 104^\circ31'03''$

• 象限判斷：$90^\circ < 104^\circ31'03'' < 180^\circ$，落在第二象限（東南象限，SE）。
• 計算步驟： 將 $180^\circ$ 化為 $179^\circ59'60''$ 進行借位減法： $\theta_2 = 180^\circ - 104^\circ31'03'' = 179^\circ59'60'' - 104^\circ31'03'' = 75^\circ28'57''$
• 方向角：$S75^\circ28'57''E$

核心觀念

本題測驗「測量平差與誤差傳播理論」中，同精度（等權）直接觀測值的統計量計算與常態分佈誤差理論：

1. 最或是值（Most Probable Value, MPV）：相同儀器與條件下之等權獨立觀測，其最或是值即為觀測值之「算術平均值」（Arithmetic Mean）$\bar{X}$： $\bar{X} = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i}{n}$
2. 殘差（Residual, $v_i$）與貝索公式（Bessel's Formula）：

• 殘差定義：$v_i = X_i - \bar{X}$（或 $\bar{X} - X_i$），且滿足 $\sum v_i = 0$ 之檢核條件。
• 單一觀測值之標準差 $S$： $S = \pm \sqrt{\frac{\sum v_i^2}{n - 1}}$

3. 最或是值（平均值）之標準差（Standard Deviation of the Mean, $S_{\bar{X}}$）： 依誤差傳播定律，獨立等權平均值之標準差為： $S_{\bar{X}} = \pm \frac{S}{\sqrt{n}} = \pm \sqrt{\frac{\sum v_i^2}{n(n - 1)}}$
4. 各級百分比誤差（Probability Errors, $E_p$）： 在常態分佈假設下，$E_p$ 代表誤差落於 $[-E_p, +E_p]$ 區間之機率為 $p\%$，其值為標準差乘以常態分佈對應之分位數臨界值係數 $C_p$（即 $E_p = C_p \cdot S$）：

• $E_{50}$（公算誤差／機差，Probable Error）：$P(-z \le Z \le z) = 0.50 \implies C_{50} \approx 0.6745$
• $E_{68.27}$（標準誤差／一倍標準差）：$P(-1 \le Z \le 1) = 0.6827 \implies C_{68.27} = 1.0000$
• $E_{90}$（90% 誤差）：$P(-z \le Z \le z) = 0.90 \implies C_{90} \approx 1.6449$
• $E_{95}$（95% 誤差）：$P(-z \le Z \le z) = 0.95 \implies C_{95} \approx 1.9600$

解題方法

(一) 計算最或是值

觀測次數 $n = 10$，各觀測值 $X_i$ 分別為： $164.156$、$164.101$、$164.095$、$164.101$、$164.129$、$164.132$、$164.083$、$164.123$、$164.126$、$164.150\text{ m}$。

總和為： $\sum_{i=1}^{10} X_i = 164.156 + 164.101 + \dots + 164.150 = 1641.196\text{ m}$

故最或是值（算術平均值）為： $\bar{X} = \frac{\sum X_i}{n} = \frac{1641.196}{10} = 164.1196\text{ m} \approx 164.120\text{ m}$

(二) 觀測值之標準差

以 $\bar{X} = 164.1196\text{ m}$ 計算各觀測值之殘差 $v_i = X_i - \bar{X}$ 及其平方：

註：$\sum v_i^2 = 5180.40\text{ mm}^2 = 0.00518040\text{ m}^2$（若將平均值四捨五入取至 $164.120\text{ m}$ 計算殘差，則 $\sum v_i^2 = 5182\text{ mm}^2$）。

自由度為 $n - 1 = 10 - 1 = 9$。代入貝索公式： $S = \pm \sqrt{\frac{\sum v_i^2}{n - 1}} = \pm \sqrt{\frac{5180.40}{9}} = \pm \sqrt{575.60} \approx \pm 23.99\text{ mm} \approx \pm 0.024\text{ m}$

(三) 平均值（最或是值）之標準差

最或是值之標準差 $S_{\bar{X}}$ 為：

核心觀念

本題的核心在於測量學中「大地坐標基準」（Geodetic Datum）之定義與演進。涉及之法源規範以命題當年（民國 107 年）之《基本測量實施規則》為準，重點觀念涵蓋：

1. 大地基準定義：包含參考橢球體（Reference Ellipsoid）之幾何參數（長半徑 $a$、扁率 $f$）、基準原點（Datum Origin）之空間位置與定向。
2. 參心坐標系統（Topocentric/Local Geodetic System）：如 TWD67，以區域性局部貼合大地水準面為目的，橢球中心未與地球質心重合。
3. 地心坐標系統（Geocentric Geodetic System）：如 TWD97，橢球中心與地球質心重合，直接連結國際地球參考框架（ITRF），具備三維空間幾何特性，能與 GNSS（如 GPS/WGS84）無縫整合。

解題方法

本題為標準的比較型申論題，閱卷評分重點在於「定義完整性」、「物理與幾何特性對比深度」以及「表格條理化」。解題切入步驟如下：

1. 分別闡述定義：依序說明 TWD67 與 TWD97 的參考橢球名稱與參數、基準原點之設定方式與定向依據。
2. 大地特性差異分析：從「參心 vs 地心」、「二維分離 vs 三維整合」、「幾何觀測技術（地面三角測量 vs 空間衛星測量）」、「全域貼合度與誤差累積」等維度深入論述。
3. 結構化表格呈現：將關鍵要素整理為對照表，使閱卷委員能迅速核對關鍵字給分。

選項分析

本題為申論題，無選項分析。

解題技巧

1. 記憶關鍵數字與專有名詞：

• TWD67：海福特橢球（Hayford 1924 / 國際赫爾蒙特橢球），$a = 6,378,388\text{ m}$、$f = 1/297$，原點為南投埔里虎子山一等天文點。
• TWD97：GRS80 橢球，$a = 6,378,137\text{ m}$、$f = 1/298.257222101$，原點為地球質心，框架為 ITRF94（歷元 1997.0）。

2. 掌握大地特性本質差異：

• 很多考生只背數據，忽略了「大地特性」的本質在於**「參心局部基準」與「地心地球基準」**的根本區別。寫出兩者中心之偏移（地心與虎子山參心原點之相對幾何關係），是拿到 18 分以上高分的關鍵。

3. 投影與基準勿混淆：

• 題目問的是「大地坐標基準」，而非「二度分帶橫麥卡托投影（TM2）」，雖然兩者在圖面應用上常搭配二度分帶，但重心務必放在大地基準（橢球、原點、定向、地心性）。

【答案】

一、TWD67 與 TWD97 大地坐標基準之定義

1. TWD67（Taiwan Datum 1967）大地坐標基準之定義：

• 基準性質：屬於傳統參心（局部）大地坐標系統（Local Geodetic Datum）。
• 參考橢球體：採用 1924 年國際赫爾蒙特/海福特橢球（Hayford Ellipsoid 1924），其幾何參數定義為：
• 長半徑 $a = 6,378,388\text{ m}$
• 扁率 $f = \frac{1}{297.0}$
• 基準原點：以南投縣埔里鎮之「虎子山一等天文點」為大地原點。
• 定向與推算：在虎子山大地原點實施天文觀測，決定其經度、緯度及至頭嵙山一等三角點之天文方位角，並令該點之大地起伏 $N = 0$（即設橢球高等於正高）。全區坐標係以原點出發，依一、二等三角網經地面水平角與基線測量逐步推算展開。

2. TWD97（Taiwan Datum 1997）大地坐標基準之定義：

• 基準性質：屬於現代地心大地坐標系統（Geocentric Geodetic Datum）。
• 參考橢球體：採用 GRS80（Geodetic Reference System 1980）橢球體，其幾何參數定義為：