107 地方特考四等 土木工程 測量學概要 考古題詳解

核心觀念

本題主要測驗測量平差之「同精度直接觀測值平差計算」以及「測量誤差來源與特性分析」：

1. 同精度直接觀測平差：

• 最或是值（Most Probable Value, $\hat{X}$）：在同精度獨立觀測條件下，觀測角的最或是值即為觀測值之算術平均值（Arithmetic Mean）。 $\hat{X} = \frac{\sum_{i=1}^n L_i}{n}$
• 殘差（Residual, $v_i$）：各觀測值與最或是值之差值，滿足理論檢核條件 $\sum v_i = 0$。 $v_i = L_i - \hat{X}$
• 觀測值中誤差（Standard Error of a Single Observation, $m$）：採用白賽爾公式（Bessel's Formula）評定單次觀測值之精度。 $m = \pm \sqrt{\frac{\sum v_i^2}{n - 1}}$
• 最或是值中誤差（Standard Error of the Mean, $M$ or $m_{\hat{X}}$）：平均值之精度，公式為 $M = \pm \frac{m}{\sqrt{n}}$。本題題目明確問「觀測值中誤差」，指單次觀測中誤差 $m$，答題時以 $m$ 為主，並可附上 $M$ 作為補充。

2. 測量誤差分類與成因： 觀測值差異來自三大誤差來源（儀器誤差、人為誤差、外界環境誤差），並體現於偶然誤差（使中誤差離散度變大）與系統誤差（使最或是值整體偏移）中。

解題方法

（一）兩位測量員之角度最或是值與觀測值中誤差計算

由於各觀測值的「度」與「分」皆為 $62^\circ18^\prime$，為簡化計算並避免錯誤，將公共部分提出，僅對「秒值」進行平差計算。

1. 測量員甲之計算（觀測次數 $n = 5$）

觀測秒值序列：$15^{\prime\prime},\ 22^{\prime\prime},\ 17^{\prime\prime},\ 20^{\prime\prime},\ 21^{\prime\prime}$

• 最或是值計算： $\bar{s}_A = \frac{15 + 22 + 17 + 20 + 21}{5} = \frac{95}{5} = 19.0^{\prime\prime}$ 故甲觀測之最或是值為： $\hat{X}_A = 62^\circ18^\prime19^{\prime\prime}$

• 殘差 $v_i = L_i - \hat{X}_A$ 及平方和計算：

• $v_1 = 15 - 19 = -4^{\prime\prime} \implies v_1^2 = 16$

• $v_2 = 22 - 19 = +3^{\prime\prime} \implies v_2^2 = 9$

• $v_3 = 17 - 19 = -2^{\prime\prime} \implies v_3^2 = 4$

• $v_4 = 20 - 19 = +1^{\prime\prime} \implies v_4^2 = 1$

• $v_5 = 21 - 19 = +2^{\prime\prime} \implies v_5^2 = 4$

• 檢核：$\sum v_i = (-4) + 3 + (-2) + 1 + 2 = 0$（符合要求）

• 平方和：$\sum v_i^2 = 16 + 9 + 4 + 1 + 4 = 34$

• 觀測值中誤差（單次觀測精度 $m_A$）： $m_A = \pm \sqrt{\frac{\sum v_i^2}{n - 1}} = \pm \sqrt{\frac{34}{5 - 1}} = \pm \sqrt{8.5} \approx \pm 2.92^{\prime\prime}$ (註：最或是值中誤差 $M_A = \pm \frac{2.92}{\sqrt{5}} \approx \pm 1.30^{\prime\prime}$)

2. 測量員乙之計算（觀測次數 $n = 5$）

觀測秒值序列：$34^{\prime\prime},\ 24^{\prime\prime},\ 28^{\prime\prime},\ 23^{\prime\prime},\ 31^{\prime\prime}$

• 最或是值計算： $\bar{s}_B = \frac{34 + 24 + 28 + 23 + 31}{5} = \frac{140}{5} = 28.0^{\prime\prime}$ 故乙觀測之最或是值為： $\hat{X}_B = 62^\circ18^\prime28^{\prime\prime}$

• 殘差 $v_i = L_i - \hat{X}_B$ 及平方和計算：

• $v_1 = 34 - 28 = +6^{\prime\prime} \implies v_1^2 = 36$

核心觀念

1. 三角高程測量幾何關係： 全測站儀在望遠鏡旋轉中心（橫軸）處，對目標點觀測斜距 $S$ 與天頂距 $Z$ 時，目標點相對於儀器橫軸之垂直高差 $V$ 與水平距離 $D$ 分別為： $V = S \cos Z$ $D = S \sin Z$
2. 高塔高度定義與儀器高消去： 高塔之高度 $H$ 為塔頂高程與塔底高程之差。設測站地面高程為 $H_A$、儀器高為 $i$：

• 塔頂高程：$H_{\text{頂}} = H_A + i + V_1 = H_A + i + S_1 \cos Z_1$
• 塔底高程：$H_{\text{底}} = H_A + i + V_2 = H_A + i + S_2 \cos Z_2$
• 塔高：$H = H_{\text{頂}} - H_{\text{底}} = S_1 \cos Z_1 - S_2 \cos Z_2$

由此可知，儀器高 $i$ 於相減過程中完全抵銷，故高塔高度及其中誤差與儀器高及其量測誤差無關（題目所給之儀器高為實務常態記錄，在幾何計算上屬干擾項）。

3. 獨立觀測量之誤差傳播定律： 設函數 $H = f(S_1, Z_1, S_2, Z_2)$，各觀測量彼此獨立且不相關，則其函數之中誤差 $\sigma_H$ 依一階微分展開遵循： $\sigma_H^2 = \left(\frac{\partial H}{\partial S_1}\right)^2 \sigma_{S_1}^2 + \left(\frac{\partial H}{\partial Z_1}\right)^2 \sigma_{Z_1}^2 + \left(\frac{\partial H}{\partial S_2}\right)^2 \sigma_{S_2}^2 + \left(\frac{\partial H}{\partial Z_2}\right)^2 \sigma_{Z_2}^2$ 特別注意：角度中誤差 $\sigma_Z$ 單位為角秒（$^{\prime\prime}$），在與長度相乘時必須轉換為弳度（$\mathrm{rad}$），即除以常數 $\rho^{\prime\prime} = \frac{180 \times 3600}{\pi} \approx 206265^{\prime\prime}$。

解題方法

步驟一：計算塔頂與塔底相對於儀器中心之垂直高差

1. 觀測塔頂：

• 斜距 $S_1 = 126.352\ \mathrm{m}$
• 天頂距 $Z_1 = 81^\circ35^\prime34^{\prime\prime} = 81.592778^\circ$
• 垂直高差： $V_1 = S_1 \cos Z_1 = 126.352 \times \cos(81^\circ35^\prime34^{\prime\prime}) = 126.352 \times 0.1462096 = +18.4739\ \mathrm{m}$

2. 觀測塔底：

• 斜距 $S_2 = 125.004\ \mathrm{m}$
• 天頂距 $Z_2 = 90^\circ43^\prime24^{\prime\prime} = 90.723333^\circ$
• 垂直高差： $V_2 = S_2 \cos Z_2 = 125.004 \times \cos(90^\circ43^\prime24^{\prime\prime}) = 125.004 \times (-0.0126242) = -1.5781\ \mathrm{m}$

步驟二：計算高塔之高度 $H$

$H = V_1 - V_2 = 18.4739 - (-1.5781) = 20.0520\ \mathrm{m} \approx 20.052\ \mathrm{m}$

步驟三：推導各觀測量之偏導函數

函數式：$H = S_1 \cos Z_1 - S_2 \cos Z_2$

1. 對 $S_1$ 偏微分： $\frac{\partial H}{\partial S_1} = \cos Z_1 = \cos(81^\circ35^\prime34^{\prime\prime}) \approx 0.14621$
2. 對 $Z_1$ 偏微分： $\frac{\partial H}{\partial Z_1} = -S_1 \sin Z_1 = -126.352 \times \sin(81^\circ35^\prime34^{\prime\prime}) \approx -124.994\ \mathrm{m}$
3. 對 $S_2$ 偏微分： $\frac{\partial H}{\partial S_2} = -\cos Z_2 = -\cos(90^\circ43^\prime24^{\prime\prime}) \approx +0.01262$
4. 對 $Z_2$ 偏微分： $\frac{\partial H}{\partial Z_2} = S_2 \sin Z_2 = 125.004 \times \sin(90^\circ43^\prime24^{\prime\prime}) \approx +124.994\ \mathrm{m}$

核心觀念

本題屬於平面控制測量中的「三角形內角平差」與「前方交會（Intersection）坐標計算」，核心涵蓋以下觀念與公式：

1. 平面三角形內角和幾何條件： 在平面測量中，三角形三內角之理論和為 $180^\circ$： $\sum_{i=1}^3 \theta_i = \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ 00' 00''$ 若觀測值總和不等於 $180^\circ$，其差值即為角度閉合差 $W = \sum \theta_{\text{obs}} - 180^\circ$。在同精度（等權）觀測條件下，平差改正數採平均分配：$v_i = -\frac{W}{3}$。
2. 坐標反算（方位角與邊長）： 依測量學標準平面坐標系（$X$ 為縱軸／向北為正，$Y$ 為橫軸／向東為正），由已知點 $A(X_A,Y_A)$ 與 $B(X_B,Y_B)$ 反算基線 $AB$ 之邊長 $S_{AB}$ 與方位角 $\phi_{AB}$： $S_{AB} = \sqrt{\Delta X_{AB}^2 + \Delta Y_{AB}^2} = \sqrt{(X_B - X_A)^2 + (Y_B - Y_A)^2}$ $\tan \phi_{AB} = \frac{\Delta Y_{AB}}{\Delta X_{AB}} = \frac{Y_B - Y_A}{X_B - X_A}$
3. 正弦定理（Law of Sines）推算未知邊長： 在 $\triangle ABC$ 中，已知基線邊長 $c = S_{AB}$ 及平差後各內角 $\alpha'$、$\beta'$、$\gamma'$，可求未知邊長 $b = S_{AC}$ 與 $a = S_{BC}$： $\frac{a}{\sin \alpha'} = \frac{b}{\sin \beta'} = \frac{c}{\sin \gamma'}$
4. 坐標正算： 由已知點方位角與平差內角推求待定點之邊長方位角，進而計算待定點坐標： $X_C = X_A + S_{AC} \cos \phi_{AC}$ $Y_C = Y_A + S_{AC} \sin \phi_{AC}$

解題方法

（一）以內角條件平差求 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$

1. 計算觀測角度總和： $\alpha = 63^\circ 10' 23''$ $\beta = 69^\circ 20' 16''$ $\gamma = 47^\circ 29' 39''$ $\sum \theta_{\text{obs}} = \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ 00' 18''$

2. 計算閉合差與改正數： 三角形內角條件閉合差： $W = \sum \theta_{\text{obs}} - 180^\circ = +18''$ 因各角為同等精度觀測（等權），改正數平均分配至三內角： $v_\alpha = v_\beta = v_\gamma = -\frac{W}{3} = -\frac{+18''}{3} = -6''$

3. 計算平差後角度： $\alpha' = \alpha + v_\alpha = 63^\circ 10' 23'' - 6'' = 63^\circ 10' 17''$ $\beta' = \beta + v_\beta = 69^\circ 20' 16'' - 6'' = 69^\circ 20' 10''$ $\gamma' = \gamma + v_\gamma = 47^\circ 29' 39'' - 6'' = 47^\circ 29' 33''$ 檢核：$\alpha' + \beta' + \gamma' = 63^\circ 10' 17'' + 69^\circ 20' 10'' + 47^\circ 29' 33'' = 180^\circ 00' 00''$（閉合無誤）。

（二）求 $C$ 點之坐標

本題採測量學國家考試通用坐標系（$X$ 為縱坐標北向，$Y$ 為橫坐標東向）。

1. 反算基線 $AB$ 之長度與方位角： 已知 $A(100.00, 200.00)$、$B(150.00, 300.00)$： $\Delta X_{AB} = X_B - X_A = 150.00 - 100.00 = +50.00\text{ m}$ $\Delta Y_{AB} = Y_B - Y_A = 300.00 - 200.00 = +100.00\text{ m}$ 基線長度 $S_{AB}$： $S_{AB} = \sqrt{50.00^2 + 100.00^2} = \sqrt{12500} = 50\sqrt{5} \approx 111.803\text{ m}$ 基線方位角 $\phi_{AB}$（$\Delta X > 0, \Delta Y > 0$，落於第一象限東北）： $\tan \phi_{AB} = \frac{\Delta Y_{AB}}{\Delta X_{AB}} = \frac{100.00}{50.00} = 2.000000$ $\phi_{AB} = \arctan(2) = 63^\circ 26' 05.82'' \approx 63^\circ 26' 06''$

2. 利用正弦定理推算邊長 $S_{AC}$ 與 $S_{BC}$： 由三角形正弦定理： $\frac{S_{AB}}{\sin \gamma'} = \frac{S_{AC}}{\sin \beta'} = \frac{S_{BC}}{\sin \alpha'}$ 各平差角正弦值：

• $\sin \gamma' = \sin(47^\circ 29' 33'') \approx 0.737194$
• $\sin \beta' = \sin(69^\circ 20' 10'') \approx 0.935683$

核心觀念

本題為地籍測量與工程測量中極具代表性的「土地面積計算」與「土地等面積分割」綜合計算題，主要涵蓋三大核心觀念：

1. 坐標法計算面積（高斯面積公式／鞋帶公式）： 封閉多邊形各頂點坐標依順時針或逆時針依序排列時，其面積 $A$ 可由坐標交叉乘積求得： $2A = \left| \sum_{i=1}^{n} (E_i N_{i+1} - E_{i+1} N_i) \right| = \left| \sum_{i=1}^{n} N_i (E_{i+1} - E_{i-1}) \right|$
2. 對角線分割檢核法： 通過過渡點（如頂點 $A$）引對角線，將四邊形分割為兩個三角形，計算各三角形面積以快速研判分割線之落點邊界。
3. 等高三角形面積比與定比分點公式： 同頂點的兩三角形共用高時，面積比等於底邊長度比。當分割線落於某邊時，可利用面積比例求出分點之定比比值，進而求得交點坐標： $E_P = E_1 + t(E_2 - E_1), \quad N_P = N_1 + t(N_2 - N_1) \quad (0 \le t \le 1)$

解題方法

步驟一：確定頂點順序與點位命名

將已知四點依空間幾何相對位置進行連線。為避免多邊形邊界交叉（自交），依點位順時針排序命名如下：

• 點 $A$：$(242520\text{ m}, 2654730\text{ m})$（第一組測點，分割線通過之起始點）
• 點 $B$：$(242570\text{ m}, 2654790\text{ m})$（第一組測點，偏北）
• 點 $C$：$(242620\text{ m}, 2654750\text{ m})$（第二組測點，偏東）
• 點 $D$：$(242590\text{ m}, 2654710\text{ m})$（第二組測點，偏南）

各點之相對向量檢核皆為向右轉折，四邊形 $ABCD$ 為外凸封閉四邊形。

步驟二：計算四邊形土地總面積

為簡化手算計算量，將坐標平移至局部原點 $(E_0, N_0) = (242500, 2654700)$：

• $A(e_A, n_A) = (20, 30)$
• $B(e_B, n_B) = (70, 90)$
• $C(e_C, n_C) = (120, 50)$
• $D(e_D, n_D) = (90, 10)$

利用坐標乘積展開式（鞋帶公式）計算雙倍面積 $2A$： $e_A n_B - e_B n_A = 20 \times 90 - 70 \times 30 = 1800 - 2100 = -300$ $e_B n_C - e_C n_B = 70 \times 50 - 120 \times 90 = 3500 - 10800 = -7300$ $e_C n_D - e_D n_C = 120 \times 10 - 90 \times 50 = 1200 - 4500 = -3300$ $e_D n_A - e_A n_D = 90 \times 30 - 20 \times 10 = 2700 - 200 = +2500$

代入加總： $2A = |(-300) + (-7300) + (-3300) + 2500| = |-8400| = 8400\text{ m}^2$ $A = \frac{8400}{2} = 4200\text{ m}^2$

步驟三：判斷等面積分割線落點位置

題目要求分割線通過點 $A$，將全區分為兩筆等面積土地： $A_{\text{目標}} = \frac{A}{2} = \frac{4200}{2} = 2100\text{ m}^2$

自頂點 $A$ 連接對角線 $AC$，計算 $\triangle ABC$ 之面積：