107 地方特考四等 土木工程 結構學概要與鋼筋混凝土學概要 考古題詳解

核心觀念

1. 靜定桁架之靜力平衡：依據平面靜力平衡方程式（$\sum F_x = 0$、$\sum F_y = 0$、$\sum M = 0$）求解整體結構之外部支承反力；再利用節點法（Method of Joints）針對各獨立節點取隔離體平衡（$\sum F_x = 0$、$\sum F_y = 0$），依序求解各桿件軸向內力，並按受力狀態標明為「張力（Tension, T）」或「壓力（Compression, C）」。
2. 虛功原理與單位荷重法（Unit Load Method）：桁架節點彈性位移之標準能量分析方法，其公式為： $1 \cdot \Delta = \sum \frac{N \cdot n \cdot L}{EA}$ 其中 $N$ 為真實外載重引發之桿件軸力，$n$ 為在欲求變位點沿變位方向施加虛擬單位載重（$1\ \mathrm{kN}$）引發之虛桿件軸力，$L$ 為桿件長度，$EA$ 為桿件軸向剛度。

解題方法

本題因題面未附實體掃描圖形（缺少桁架幾何尺寸、節點座標、支承型式與外力數值），依公職考試命題常規，設定最典型之標準考題配置進行分析：節點 $a$ 為鉸支承（座標 $(0, 0)\ \mathrm{m}$）、節點 $c$ 為滾支承（座標 $(8, 0)\ \mathrm{m}$），下弦中央節點 $b$ 座標為 $(4, 0)\ \mathrm{m}$，頂點 $d$ 座標為 $(4, 3)\ \mathrm{m}$，桿件包含下弦桿 $ab$、$bc$，中央垂直腹桿 $bd$，斜桿 $ad$、$cd$；於節點 $b$ 承受垂直向下集中載重 $P = 120\ \mathrm{kN}$，所有桿件 $EA = 10^5\ \mathrm{kN}$。

一、支承反力分析

取整體結構為隔離體：

1. 水平平衡： $\sum F_x = 0 \implies R_{ax} = 0$
2. 對節點 $c$ 取力矩平衡： $\sum M_c = 0 \implies R_{ay} \times 8 - 120 \times 4 = 0 \implies R_{ay} = 60\ \mathrm{kN}\ (\uparrow)$
3. 垂直平衡： $\sum F_y = 0 \implies R_{ay} + R_{cy} - 120 = 0 \implies R_{cy} = 60\ \mathrm{kN}\ (\uparrow)$

二、實外力系統之桿件內力 $N$ 分析

規定桿件內力受拉為正（$+$，張力）、受壓為負（$-$，壓力）。斜桿與水平線夾角為 $\theta$，幾何關係滿足： $L_{ad} = L_{cd} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5\ \mathrm{m},\quad \cos\theta = \frac{4}{5} = 0.8,\quad \sin\theta = \frac{3}{5} = 0.6$

1. 節點 $b$ 平衡：

• 垂直方向：$\sum F_y = 0 \implies N_{bd} - 120 = 0 \implies N_{bd} = +120\ \mathrm{kN}\ \text{（張力）}$
• 水平方向：$\sum F_x = 0 \implies N_{bc} - N_{ab} = 0 \implies N_{ab} = N_{bc}$

2. 節點 $d$ 平衡：

• 由對稱性可知 $N_{ad} = N_{cd}$。
• 垂直方向： $\sum F_y = 0 \implies -N_{bd} - N_{ad}\sin\theta - N_{cd}\sin\theta = 0$ $-120 - 2 N_{ad}(0.6) = 0 \implies N_{ad} = -100\ \mathrm{kN}\ \text{（壓力）}$ $N_{cd} = -100\ \mathrm{kN}\ \text{（壓力）}$

3. 節點 $a$ 平衡：

• 水平方向： $\sum F_x = 0 \implies R_{ax} + N_{ab} + N_{ad}\cos\theta = 0$ $0 + N_{ab} + (-100)(0.8) = 0 \implies N_{ab} = +80\ \mathrm{kN}\ \text{（張力）}$
• 由對稱性得： $N_{bc} = +80\ \mathrm{kN}\ \text{（張力）}$
• 檢算垂直方向：$\sum F_y = R_{ay} + N_{ad}\sin\theta = 60 + (-100)(0.6) = 0$（平衡成立）。

三、虛載重系統之虛桿件內力 $n$ 分析

在欲求垂直變位之 $b$ 點施加虛擬向下單位載重 $1\ \mathrm{kN}$：

1. 虛反力： $r_{ax} = 0,\quad r_{ay} = 0.5\ \mathrm{kN}\ (\uparrow),\quad r_{cy} = 0.5\ \mathrm{kN}\ (\uparrow)$

核心觀念

本題考查靜定平面構架（Statically Determinate Frame）之反力計算與內力分析，核心觀念包含：

1. 整體靜態平衡方程式：以二維平面三個獨立平衡方程式求解支承反力： $\sum F_x = 0, \quad \sum F_y = 0, \quad \sum M = 0$
2. 二力構件（Two-Force Member）之判定：端點無外力矩與橫向荷載之直桿件，僅承受軸向力，其剪力與彎矩全線恆等於零。
3. 剛節點（Rigid Joint）之平衡：剛接節點處各桿件交會端之彎矩必須維持力矩平衡（$\sum M_{\text{joint}} = 0$）。
4. 載重、剪力與彎矩之微分關係： $\frac{dV}{dx} = -q(x), \quad \frac{dM}{dx} = V(x)$ 剪力值等於彎矩圖切線斜率；剪力為零之截面即為局部極值彎矩（$M_{\max}$）發生處。

解題方法

註：本題原卷圖形之幾何尺寸、支承形式與載重數值於卷面文字未予載明，依國考命題慣例點明缺漏條件，並依四等公職考試之標準靜定門形構架典型條件建立合理假設進行定案作答： 門形構架 $ABCD$ 中，柱 $AB$ 長度 $h = 4\text{ m}$，底端 $A$ 為鉸支承；水平梁 $BC$ 長度 $L = 6\text{ m}$，節點 $B$、$C$ 為剛接；柱 $CD$ 長度 $h = 4\text{ m}$，底端 $D$ 為水平地面上之滾支承；梁 $BC$ 承受垂直向下均布載重 $q = 20\text{ kN/m}$，頂端剛節點 $B$ 承受水平集中載重 $P = 30\text{ kN}$（向右）。

步驟一：求解支承反力

設 $A$ 點水平反力為 $A_x$（向左）、垂直反力為 $A_y$（向上）；$D$ 點垂直反力為 $D_y$（向上）。

1. 水平平衡 $\sum F_x = 0$： $P - A_x = 0 \implies A_x = 30\text{ kN} \quad (\leftarrow)$
2. 對 $A$ 點取力矩 $\sum M_A = 0$（逆時針為正）： $D_y \cdot L - (q \cdot L) \cdot \frac{L}{2} - P \cdot h = 0$ $D_y \cdot 6 - (20 \cdot 6) \cdot 3 - 30 \cdot 4 = 0$ $6 D_y - 360 - 120 = 0 \implies D_y = 80\text{ kN} \quad (\uparrow)$
3. 垂直平衡 $\sum F_y = 0$（向上為正）： $A_y + D_y - q \cdot L = 0 \implies A_y + 80 - 120 = 0 \implies A_y = 40\text{ kN} \quad (\uparrow)$

步驟二：各桿件之內力方程式與關鍵截面值

（符號規定：軸力以受拉為正；剪力使隔離體微元呈順時針旋轉為正；彎矩圖繪於「構件受拉側」）

1. 柱 $CD$（$0 \le y \le 4\text{ m}$，座標由柱底 $D$ 向上）

$D$ 端為光滑滾支承，無水平反力（$D_x = 0$）且無外加力矩，故柱 $CD$ 為純受壓之二力構件：

• 剪力：$V_{CD}(y) = 0$
• 彎矩：$M_{CD}(y) = 0$
• 軸力：$N_{CD}(y) = -80\text{ kN}$（壓力）

2. 柱 $AB$（$0 \le y \le 4\text{ m}$，座標由柱底 $A$ 向上）

底端受反力 $A_x = 30\text{ kN} \leftarrow$ 及 $A_y = 40\text{ kN} \uparrow$：

• 剪力方程式： $V_{AB}(y) = +A_x = +30\text{ kN} \quad (\text{全高為常數})$
• 彎矩方程式（以構架內側受拉為正）： $M_{AB}(y) = A_x \cdot y = 30 y \quad (\text{kN}\cdot\text{m})$
• 柱底 $y = 0$（$A$ 點）：$M_A = 0$
• 柱頂 $y = 4\text{ m}$（$B$ 點下側）：$M_{BA} = 30 \times 4 = 120\text{ kN}\cdot\text{m}$（內側／右側受拉）
• 軸力：$N_{AB}(y) = -40\text{ kN}$（壓力）

3. 剛節點 $B$ 之平衡

• 柱頂向節點傳遞力矩 $120\text{ kN}\cdot\text{m}$，為滿足 $\sum M_B = 0$，梁 $BC$ 左端必承受 $M_{BC} = 120\text{ kN}\cdot\text{m}$（下側受拉）。
• 水平力平衡：外力 $P = 30\text{ kN}$ 向右恰與柱頂剪力 $30\text{ kN}$ 向左平衡，故梁 $BC$ 無軸向力（$N_{BC} = 0$）。
• 垂直力平衡：柱軸向壓力傳遞為梁端初始向上剪力 $V_{BC}(0^+) = A_y = 40\text{ kN}$。

4. 梁 $BC$（$0 \le x \le 6\text{ m}$，座標由節點 $B$ 向右）

• 剪力方程式： $V_{BC}(x) = V_B - q \cdot x = 40 - 20 x \quad (\text{kN})$
• 左端 $x = 0$（$B$ 點）：$V_B = +40\text{ kN}$
• 剪力歸零點 $x_0$：

核心觀念

本題以命題當年（民國 107 年）之內政部《混凝土結構設計規範》（依據 ACI 318 精神訂定）為準。現行規範後續已有重要修正（如 ACI 318-19 引進之抗彎強度折減係數轉變區界限修改），但解題仍依 107 年考選部公布之法規基準作答。

本題主要測驗單筋矩形梁在純彎矩作用下的「極限強度設計法」，評量重點包含：

1. 等價矩形應力塊原理：Whitney 等價應力塊之深度 $a$ 與中性軸深 $c$ 之關係（$a = \beta_1 c$）。
2. 斷面內力平衡：混凝土受壓合力 $C_c = 0.85 f'_c a b$ 與鋼筋拉力 $T = A_s f_y$ 之平衡。
3. 拉力鋼筋降伏檢核與最外層鋼筋應變 $\epsilon_t$：檢核各排鋼筋是否達到降伏應變 $\epsilon_y$，並確認最外層拉力筋應變 $\epsilon_t$ 以判斷斷面破壞型態。
4. 強度折減係數 $\phi$ 的判定：區分拉力控制斷面（$\epsilon_t \ge 0.005$）、轉變區斷面（$\epsilon_y < \epsilon_t < 0.005$）與壓力控制斷面（$\epsilon_t \le \epsilon_y$），並計算對應之 $\phi$ 值。
5. 設計彎矩強度 $\phi M_n$：結合名目強度 $M_n$ 與折減係數 $\phi$ 求出最終設計容量。

解題方法

步驟一：彙整基本斷面幾何與材料性質

• 梁寬 $b = 40\ \mathrm{cm}$
• 混凝土抗壓強度 $f'_c = 280\ \mathrm{kgf/cm^2}$，因 $f'_c \le 280\ \mathrm{kgf/cm^2}$，取應力塊參數 $\beta_1 = 0.85$
• 鋼筋降伏強度 $f_y = 4200\ \mathrm{kgf/cm^2}$，彈性模數 $E_s = 2.04 \times 10^6\ \mathrm{kgf/cm^2}$，鋼筋降伏應變 $\epsilon_y = \frac{f_y}{E_s} \approx 0.00206$（規範簡化計算可取 $\epsilon_y = 0.002$）
• 拉力筋配置：8 支 D29 鋼筋，每支截面積 $A_b = 6.469\ \mathrm{cm^2}$，上下各排各配置 4 支 $A_s = 8 \times 6.469 = 51.752\ \mathrm{cm^2}$
• 上、下排鋼筋深度：
• 上排鋼筋形心深 $d_1 = 65\ \mathrm{cm}$（4 支 D29）
• 下排鋼筋形心深 $d_2 = d_t = 68\ \mathrm{cm}$（最外層拉力筋，4 支 D29）
• 全體拉力筋形心有效深度 $d$： $d = \frac{65 + 68}{2} = 66.5\ \mathrm{cm}$

步驟二：斷面水平力平衡與應力塊深度計算

假定全體拉力鋼筋均已達到降伏（$f_s = f_y$）： 混凝土壓力合力： $C_c = 0.85 f'_c a b$ 鋼筋拉力合力： $T = A_s f_y = 51.752 \times 4200 = 217358.4\ \mathrm{kgf}$

由斷面軸向力平衡 $C_c = T$： $0.85 \times 280 \times a \times 40 = 217358.4$ $9520 \times a = 217358.4 \implies a = 22.832\ \mathrm{cm}$

中性軸深度 $c$ 為： $c = \frac{a}{\beta_1} = \frac{22.832}{0.85} = 26.861\ \mathrm{cm}$

步驟三：檢核鋼筋降伏與最外層鋼筋應變 $\epsilon_t$

極限狀態下混凝土最外受壓緣極限壓應變取 $\epsilon_{cu} = 0.003$：

1. 上排鋼筋應變 $\epsilon_{s1}$ 檢核：

核心觀念

本題以命題當年（民國 107 年）內政部「混凝土結構設計規範」與「混凝土工程設計規範與解說（土木 401-100）」之梁剪力強度設計為準（現行規範相關公式與折減因數本質相同）。核心觀念涵蓋以下四項：

1. 梁斷面名義剪力強度組成： 梁之名義剪力強度 $V_n$ 由混凝土所能承受之剪力 $V_c$ 與剪力鋼筋（箍筋）所能承受之剪力 $V_s$ 共同提供： $V_n = V_c + V_s$ 設計剪力強度為 $\phi V_n$，其中剪力之強度折減因數 $\phi = 0.75$。
2. 垂直箍筋剪力強度公式： $V_s = \frac{A_v f_y d}{s}$ 式中 $A_v$ 為間距 $s$ 內垂直剪力箍筋之總截面積。矩形閉合箍筋垂直穿過剪力裂縫之肢數為 2 肢（雙肢箍筋），故 $A_v = 2 \times A_{v1}$。
3. 防止斜壓壓碎之剪力強度上限： 為避免梁腹混凝土在箍筋降伏前即因過大的斜向壓應力而發生脆性壓碎破壞，規範嚴格限制箍筋所能提供之名義剪力上限： $V_{s,\max} = 2.12\sqrt{f'_c} b_w d = 4 V_c$ 因此斷面名義剪力強度最大上限為： $V_{n,\max} = V_c + V_{s,\max} = 5 V_c = 2.65\sqrt{f'_c} b_w d$
4. 無箍筋梁之剪力容量與使用上限：

• 斷面本身的材料名義剪力強度僅由混凝土提供：$V_n = V_c + 0 = V_c$，對應之斷面設計剪力強度為 $\phi V_c$。
• 依規範規定，一般矩形梁（梁深大於 $25\ \mathrm{cm}$）當外力設計剪力 $V_u > \frac{1}{2}\phi V_c$ 時即強制要求配置最小剪力鋼筋；故未配箍筋之梁，其容許承受之最大外力設計剪力為 $\frac{1}{2}\phi V_c$。

解題方法

基本幾何與材料性質整理

• 梁寬 $b_w = 40\ \mathrm{cm}$
• 有效深度 $d = 55\ \mathrm{cm}$
• 混凝土抗壓強度 $f'_c = 280\ \mathrm{kgf/cm^2} \implies \sqrt{f'_c} = \sqrt{280} \approx 16.733\ \mathrm{kgf/cm^2}$
• 鋼筋降伏強度 $f_y = 4200\ \mathrm{kgf/cm^2}$
• 閉合單一環箍筋提供 2 垂直肢： $A_v = 2 \times 0.7133 = 1.4266\ \mathrm{cm^2}$
• 箍筋間距 $s = 15\ \mathrm{cm}$
• 剪力強度折減因數 $\phi = 0.75$

(一) 求斷面設計剪力強度 $\phi V_n$

1. 計算混凝土剪力強度 $V_c$： 題目給定簡式公式： $V_c = 0.53\sqrt{f'_c} b_w d = 0.53 \times \sqrt{280} \times 40 \times 55$ $V_c = 0.53 \times 16.733 \times 2200 = 19511\ \mathrm{kgf} \approx 19.51\ \mathrm{tf}$

2. 計算箍筋剪力強度 $V_s$： $V_s = \frac{A_v f_y d}{s} = \frac{1.4266 \times 4200 \times 55}{15} = 21970\ \mathrm{kgf} \approx 21.97\ \mathrm{tf}$

3. 檢核箍筋剪力強度上限與間距限制：

• 上限檢核： $V_{s,\max} = 2.12\sqrt{f'_c} b_w d = 4 V_c = 4 \times 19511 = 78044\ \mathrm{kgf}$ 因 $V_s = 21970\ \mathrm{kgf} \le V_{s,\max}$，斷面尺寸足夠，符合規範要求。
• 最大間距檢核： 因 $V_s = 21970\ \mathrm{kgf} \le 1.06\sqrt{f'_c} b_w d = 2 V_c = 39022\ \mathrm{kgf}$，最大允許間距為： $s_{\max} = \min\left(\frac{d}{2},\ 60\ \mathrm{cm}\right) = \min(27.5\ \mathrm{cm},\ 60\ \mathrm{cm}) = 27.5\ \mathrm{cm}$ 實際配置 $s = 15\ \mathrm{cm} \le 27.5\ \mathrm{cm}$，符合規定。