107 地方特考四等 土木工程 靜力學概要與材料力學概要 考古題詳解

核心觀念

本題屬於平面共面力系之剛體靜力平衡問題，主要考核以下力學核心觀念與定義：

1. 無摩擦滑輪（Frictionless Pulley）性質：連續纜索跨過無摩擦滑輪時，纜索各段所受之拉力大小均勻相等，即 $T_{AD} = T_{BD} = T$。
2. 纜索受力方向：纜索只能承受沿著纜索中心線軸向拉拔的拉力（Tension），其施力方向必背離所考慮的隔離體節點。
3. 二維剛體靜力平衡方程式：平面力系達成平衡之充分且必要條件為三個獨立平衡方程式： $\sum F_x = 0, \quad \sum F_y = 0, \quad \sum M = 0$
4. 分離體圖（Free-Body Diagram, FBD）切面法：分別選取剛體樑棒 $OABC$ 與滑輪 $D$ 作為獨立隔離體，將內力（纜索拉力）外力化後求解。

解題方法

一、幾何尺寸與纜索方向向量分析

以 $O$ 點為坐標原點 $(0, 0)$，由圖一可知各節點坐標如下：

• $O = (0,\, 0)\,\mathrm{m}$
• $A = (1.5,\, 0)\,\mathrm{m}$
• $B = (3.0,\, 0)\,\mathrm{m}$
• $C = (4.5,\, 0)\,\mathrm{m}$
• 滑輪 $D = (0,\, 2.0)\,\mathrm{m}$

1. 纜索段 $AD$：

• 長度：$L_{AD} = \sqrt{(1.5 - 0)^2 + (0 - 2.0)^2} = \sqrt{1.5^2 + 2.0^2} = 2.5\,\mathrm{m}$
• 作用於 $A$ 點之拉力方向指向 $D$： $\cos\theta_A = \frac{1.5}{2.5} = 0.6, \quad \sin\theta_A = \frac{2.0}{2.5} = 0.8$ 分力為：$T_{Ax} = 0.6T$（向左），$T_{Ay} = 0.8T$（向上）。

2. 纜索段 $BD$：

• 長度：$L_{BD} = \sqrt{(3.0 - 0)^2 + (0 - 2.0)^2} = \sqrt{3.0^2 + 2.0^2} = \sqrt{13}\,\mathrm{m} \approx 3.606\,\mathrm{m}$
• 作用於 $B$ 點之拉力方向指向 $D$： $\cos\theta_B = \frac{3.0}{\sqrt{13}}, \quad \sin\theta_B = \frac{2.0}{\sqrt{13}}$ 分力為：$T_{Bx} = \frac{3}{\sqrt{13}}T$（向左），$T_{By} = \frac{2}{\sqrt{13}}T$（向上）。

二、剛體樑 $OABC$ 之平衡與纜索拉力求解

取水平剛體樑 $OABC$ 為隔離體，令 $O$ 點反力分量為 $O_x$（向右）、$O_y$（向上）。 外加負載為 $C$ 點向下之外力 $P = 2\,\mathrm{kN}$。

1. 對 $O$ 點取力矩平衡（$\sum M_O = 0$，以逆時針為正）： 纜索水平分力之作用線均通過 $O$ 點，力矩為零；僅垂直分力與外力 $P$ 產生力矩： $(T_{Ay} \cdot x_A) + (T_{By} \cdot x_B) - (P \cdot x_C) = 0$ 代入幾何與外力數值： $(0.8T) \times 1.5 + \left(\frac{2}{\sqrt{13}}T\right) \times 3.0 - 2 \times 4.5 = 0$ $1.2T + \frac{6}{\sqrt{13}}T = 9$ $6T\left(\frac{1}{5} + \frac{1}{\sqrt{13}}\right) = 9$ $T = \frac{15\sqrt{13}}{2(5 + \sqrt{13})} = \frac{25\sqrt{13} - 65}{8} \approx 3.142\,\mathrm{kN}$

2. 水平方向力平衡（$\sum F_x = 0$，向右為正）： $O_x - T_{Ax} - T_{Bx} = 0$ $O_x = T\left(0.6 + \frac{3}{\sqrt{13}}\right) = 3T\left(\frac{1}{5} + \frac{1}{\sqrt{13}}\right)$ 由前述力矩平衡式 $6T\left(\frac{1}{5} + \frac{1}{\sqrt{13}}\right) = 9$，可直接得： $O_x = \frac{9}{2} = 4.5\,\mathrm{kN}\quad (\rightarrow)$

3. 垂直方向力平衡（$\sum F_y = 0$，向上為正）： $O_y + T_{Ay} + T_{By} - P = 0$ $O_y = P - \left(0.8 + \frac{2}{\sqrt{13}}\right)T = 2 - \frac{5\sqrt{13} - 1}{4} = \frac{9 - 5\sqrt{13}}{4} \approx -2.257\,\mathrm{kN}$ 負號表示 $O_y$ 之實際方向向下，即：

核心觀念

本題屬於材料力學中典型的一次靜不定軸向受力桿件問題（Statically Indeterminate Axially Loaded Member）。求解時需結合靜力平衡、材料本構行為與幾何變形諧和條件，主要觀念與公式如下：

1. 靜力平衡方程式： 全體及各隔離體在軸向（水平方向）之合力必須為零： $\sum F_x = 0$
2. 虎克定律與軸向變形公式： 等截面均質等向性桿件在軸力 $N$ 作用下的伸長（或縮短）量為： $\Delta L = \frac{N L}{E A}$ （式中拉力為正、伸長為正；壓力為負、縮短為負）
3. 幾何變形諧和條件（Compatibility Condition）： 由於桿件兩端 $A$、$D$ 均為剛性固定端，全體總長度變化量（即 $D$ 點相對於 $A$ 點之位移）必須等於零： $\delta_{D/A} = \sum \Delta L = \Delta L_{AB} + \Delta L_{BC} + \Delta L_{CD} = 0$
4. 節點位移： 固定端 $A$ 位移為零（$\delta_A = 0$），故 $B$ 點之水平位移即為 $AB$ 桿件的伸長量： $\delta_B = \Delta L_{AB}$

解題方法

依考卷原卷圖二所示，各桿件之幾何與載重條件為：

• 各桿長度皆為 $L$（即 $L_{AB} = L_{BC} = L_{CD} = L$）。
• $B$ 點外力 $P$ 向右，$C$ 點外力 $2P$ 向右。
• 斷面性質：$A_{AB} = 2A$、$A_{BC} = A$、$A_{CD} = 2A$，彈性模數皆為 $E$。

步驟一：建立全體靜力平衡方程式

設水平向右為正（$+x$ 向右）。 設左端固定端 $A$ 之水平反力為 $R_A$（假設方向向左，$\leftarrow$）； 設右端固定端 $D$ 之水平反力為 $R_D$（假設方向向左，$\leftarrow$）。 由整體水平靜力平衡： $\sum F_x = 0 \implies -R_A + P + 2P - R_D = 0$ $R_A + R_D = 3P \quad \text{--- (式 1)}$ 此結構有 2 個未知支承反力，但只有 1 個獨立軸向平衡方程式，為一次靜不定。

步驟二：以未知反力 $R_A$ 表示各桿之軸力（截面法）

規定軸力以「受拉為正（$+$）、受壓為負（$-$）」，由左端 $A$ 向右切取自由體圖：

1. $AB$ 桿件（$0 \le x < L$）： 切開 $AB$ 桿，取左側隔離體，受左端反力 $R_A$（向左）與內軸力 $N_{AB}$（向右拉）： $\sum F_x = 0 \implies -R_A + N_{AB} = 0 \implies N_{AB} = R_A$
2. $BC$ 桿件（$L < x < 2L$）： 切開 $BC$ 桿，取左側隔離體，包含 $A$ 點反力 $R_A$（向左）、$B$ 點外力 $P$（向右）及內軸力 $N_{BC}$（向右拉）： $\sum F_x = 0 \implies -R_A + P + N_{BC} = 0 \implies N_{BC} = R_A - P$
3. $CD$ 桿件（$2L < x \le 3L$）： 切開 $CD$ 桿，取左側隔離體，包含 $A$ 點反力 $R_A$（向左）、$B$ 點外力 $P$（向右）、$C$ 點外力 $2P$（向右）及內軸力 $N_{CD}$（向右拉）： $\sum F_x = 0 \implies -R_A + P + 2P + N_{CD} = 0 \implies N_{CD} = R_A - 3P$

步驟三：計算各段桿件之軸向變形量

代入軸向變形公式 $\Delta L = \frac{N L}{E A_{\text{eff}}}$：

• $AB$ 桿： $\Delta L_{AB} = \frac{N_{AB} L_{AB}}{E A_{AB}} = \frac{R_A \cdot L}{E(2A)} = \frac{R_A L}{2EA}$
• $BC$ 桿： $\Delta L_{BC} = \frac{N_{BC} L_{BC}}{E A_{BC}} = \frac{(R_A - P) \cdot L}{E(A)} = \frac{(R_A - P) L}{EA}$
• $CD$ 桿： $\Delta L_{CD} = \frac{N_{CD} L_{CD}}{E A_{CD}} = \frac{(R_A - 3P) \cdot L}{E(2A)} = \frac{(R_A - 3P) L}{2EA}$

步驟四：代入變形諧和條件求解未知反力

因兩端 $A$、$D$ 為剛性固定端，總伸長量為零：

核心觀念

1. 外伸梁之彎矩分佈與極值特性：均布載重作用於雙端對稱外伸梁時，支承處產生負彎矩（梁頂受拉、梁底受壓），跨中處產生正彎矩（梁底受拉、梁頂受壓）。
2. 最大彎矩之極小化（Minimax 原則）：調整支點間距 $S$ 時，跨中正彎矩隨 $S$ 增加而遞增，支承負彎矩之絕對值則隨 $S$ 增加而遞減。欲使全梁絕對值最大之彎矩 $M_{\max}$ 達到最小，其充分且必要條件為「支承處負彎矩之絕對值等於跨中處正彎矩」，即 $|M^-| = M^+$。
3. 梁之彎曲應力公式（Flexure Formula）： $\sigma = \frac{M y}{I}$ 其中 $M$ 為斷面彎矩，$I$ 為截面對中性軸的慣性矩，$y$ 為自中性軸至應力計算點的垂直距離。
4. 拉應力控制條件：全梁承受正負彎矩時，最大拉應力由受拉側距中性軸最遠之纖維決定，需滿足 $\sigma_{t,\max} \le \sigma_{\mathrm{allow}}$。

解題方法

（一）求支撐點 $BC$ 的距離 $S$ 及最小化之最大彎矩 $M_{\max}$

1. 結構幾何與對稱受力分析： 設梁長 $L = 2\,\mathrm{m}$，兩支承 $B$、$C$ 之間的跨距為 $S$。 由對稱性可知，兩端外伸段長度相等，設為 $a$： $a = \frac{L - S}{2}$ 全梁承受向下均布載重 $q$，全梁總載重為 $qL$。由對稱靜力平衡條件（$\sum F_y = 0$），支承反力各為： $R_B = R_C = \frac{qL}{2}$

2. 支承處之負彎矩 $M^-$： 取外伸懸臂段（長度 $a$）進行平衡分析，支承 $B$（及 $C$）處的彎矩為： $M_B = M_C = -\frac{q a^2}{2} = -\frac{q}{2} \left(\frac{L - S}{2}\right)^2 = -\frac{q(L - S)^2}{8}$ 其絕對值為： $|M^-| = \frac{q(L - S)^2}{8}$

3. 跨中處之正彎矩 $M^+$： 梁中點位於距左端 $L/2$ 處（即距支承 $B$ 處 $S/2$）。切開取左半梁分析： $M_{\text{mid}} = R_B \left(\frac{S}{2}\right) - q \left(\frac{L}{2}\right)\left(\frac{L}{4}\right) = \left(\frac{qL}{2}\right)\left(\frac{S}{2}\right) - \frac{qL^2}{8} = \frac{qL}{8}(2S - L)$ 當 $S > L/2$ 時，跨中彎矩為正值： $M^+ = \frac{qL}{8}(2S - L)$

4. 求使最大彎矩最小化之 $S$ 值： 令支承負彎矩之絕對值等於跨中正彎矩： $|M^-| = M^+$ $\frac{q(L - S)^2}{8} = \frac{qL}{8}(2S - L)$ 展開整理： $L^2 - 2LS + S^2 = 2LS - L^2$ $S^2 - 4LS + 2L^2 = 0$ 由一元二次方程式公式解得： $S = \frac{4L \pm \sqrt{16L^2 - 8L^2}}{2} = (2 \pm \sqrt{2})L$ 因支點位於梁內部，限制條件為 $0 < S < L$，故取負號解： $S = (2 - \sqrt{2})L$ 代入 $L = 2\,\mathrm{m}$： $S = (2 - \sqrt{2}) \times 2 = 4 - 2\sqrt{2} \approx 1.172\,\mathrm{m}$

5. 計算最小化之最大彎矩 $M_{\max}$： 將 $S = (2 - \sqrt{2})L$ 代入負彎矩式中： $L - S = (\sqrt{2} - 1)L$ $(L - S)^2 = (\sqrt{2} - 1)^2 L^2 = (3 - 2\sqrt{2})L^2$ $M_{\max} = \frac{q(L - S)^2}{8} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{8} q L^2$ 代入 $L = 2\,\mathrm{m}$（$L^2 = 4\,\mathrm{m^2}$）： $M_{\max} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{8} q (4) = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{2} q \approx 0.08579\, q\quad (\mathrm{N\cdot m})$

（二）求最大均布載重 $q_{\max}$

核心觀念

1. 纜索受力基本假定：

• 纜索為完全撓性（Flexible）構件，無法承受彎矩與剪力，僅能承受沿其軸線方向之軸向拉力（Tension）。
• 略去纜索自重時，各載重點之間的纜索段皆為直線（二力構件，Two-force member）。

2. 質點共點力系平衡方程式：

• 作用於纜索節點上的各力構成平面共點力系，滿足靜力平衡方程式： $\sum F_x = 0, \quad \sum F_y = 0$

3. 水平張力恆定性與最大張力控制準則：

• 在僅承受垂直載重之纜索系統中，各段纜索張力之水平分量恆等於定值（記為 $T_H$），即： $T_i \cos\theta_i = T_H = \text{常數}$
• 各段纜索之全張力為： $T_i = \frac{T_H}{\cos\theta_i}$
• 由上式可知，纜索與水平面之夾角 $\theta$ 愈大（傾角愈陡、$\cos\theta$ 愈小）之纜索段，其所承受之張力 $T$ 愈大。因此，全系統中傾角最陡之纜索段必承受最大張力，為決定系統承載能力之控制段（Governing segment）。

解題方法

本題題目附圖幾何尺寸於文字題幹中未完整標註，依考卷原題經典幾何條件，纜索固定於 $A$、$B$ 兩點，於中間節點 $C$ 承受向下之集中載重 $P$；纜索 $AC$ 段與水平線夾角為 $\theta_A = 36.87^\circ$（坡度比為 $3:4$，即 $\sin\theta_A = 0.6$、$\cos\theta_A = 0.8$），纜索 $BC$ 段與水平線夾角為 $\theta_B = 53.13^\circ$（坡度比為 $4:3$，即 $\sin\theta_B = 0.8$、$\cos\theta_B = 0.6$）。

步驟一：取節點 $C$ 為分離體建立平衡方程式

取載重節點 $C$ 繪製分離體圖（Free-Body Diagram, FBD），節點共受三力作用：

• 纜索 $AC$ 段之拉力 $T_{AC}$（沿 $CA$ 方向，與水平面夾角 $\theta_A$）。
• 纜索 $BC$ 段之拉力 $T_{BC}$（沿 $CB$ 方向，與水平面夾角 $\theta_B$）。
• 垂直向下之集中載重 $P$。

列出水平方向與垂直方向之靜力平衡方程式： $\sum F_x = 0 \implies T_{BC} \cos\theta_B - T_{AC} \cos\theta_A = 0$

$\sum F_y = 0 \implies T_{AC} \sin\theta_A + T_{BC} \sin\theta_B - P = 0$

步驟二：由幾何傾角判斷最大張力控制段

由式 (1) 可知兩段纜索張力比值為： $\frac{T_{BC}}{T_{AC}} = \frac{\cos\theta_A}{\cos\theta_B} = \frac{0.8}{0.6} = \frac{4}{3} > 1$ 故 $T_{BC} > T_{AC}$。