108 地方特考四等 土木工程 測量學概要 考古題詳解

核心觀念

本題測驗現代大地測量學與臺灣現行大地基準之核心架構，重點包含：

1. 動態基準與參考曆元（Reference Epoch）：臺灣地處板塊交界擠壓帶，地殼持續形變，建立坐標系統須指定時間基準（曆元），以配合速度場進行半動態坐標管理。
2. 大地基準之組成要素與演進：比較不同時期大地基準（TWD97 與 TWD97[2010]）在參考橢球、地圖投影、參考框架（ITRF）、歷次強震（如 921 集集地震）位移改正及控制網平差之異同。
3. 大地水準面起伏模型之建置（混合法 Hybrid Geoid）：物理大地測量中的重力法（Gravimetric Geoid）與空間測量中的幾何法（GPS/水準共點幾何起伏）之融合原理。
4. 高程系統與高程轉換模型：正高系統（Orthometric Height）、橢球高（Ellipsoidal Height）與大地起伏（Geoid Height）之間的幾何轉換關係式 $h = H + N$。

解題方法與架構

本題為申論問答題，各小題之解析邏輯如下：

1. 第 (一) 小題：先精準定義「2010」之大地測量學名詞（參考曆元），再由臺灣板塊構造運動之動態特性，論證標示曆元對資料套疊與半動態坐標維護的必要性。
2. 第 (二) 小題：將大地基準拆解為幾何幾何要素（橢球體、地圖投影）與動態物理要素（參考曆元、參考框架、同震形變更新、坐標維護機制），條列比較「同」與「異」。
3. 第 (三) 小題：分別定義「純重力法大地起伏」與「GPS/水準幾何大地起伏」，闡明「混合法」係透過曲面擬合或最小二乘配置法消除兩者系統偏差與長波長誤差，藉此解釋命名緣由。
4. 第 (四) 小題：指明 TWVD2001 之高程物理定義（正高系統及基隆平均海水面基準），並寫出連接 GPS 橢球高與正高的函數關係式，明確指出關鍵中介資訊為「大地起伏（$N$）」。

詳細解析

(一) TWD97[2010] 中「2010」之意義與標示目的

1. 「2010」表示的意義：

• 2010 表示​「參考曆元」（Reference Epoch），具體指西元 2010.0 年（即 2010 年 1 月 1 日零時）​之坐標基準時間點。

2. 標示此項資訊的原因：

• 地殼板塊動態運動：臺灣位處歐亞大陸板塊與菲律賓海板塊碰撞擠壓帶，地表點位每年產生數公分之連續性板塊運動位移與斷層帶形變。
• 消除時間異時性誤差：若未註明觀測基準時間，不同年份測得之坐標將因地殼形變而無法精準套疊比較。
• 半動態（Semi-dynamic）坐標系統管理：標示參考曆元後，搭配全臺地殼形變速度場模型（Velocity Field），可將不同時期測得之動態衛星觀測成果，統一透過速度場歸算至 2010.0 曆元，確保國家基本圖資與各項工程測量成果在空間與時間維度的一致性。

(二) TWD97[2010] 與 87 年公告之 TWD97 大地基準的異同處

1. 相同處

• 參考橢球體相同： 兩者均採用 1980 年大地參考系統橢球體（GRS80），其幾何參數為：
• 長半軸 $a = 6,378,137\text{ m}$
• 扁率倒數 $1/f = 298.257222101$
• 地圖投影幾何參數相同： 均採用二度分帶橫麥卡托投影（TM2）：
• 中央經線：臺灣本島為東經 $121^\circ$（澎湖群島為東經 $119^\circ$）。
• 投影原點：中央經線與赤道（緯度 $0^\circ\text{N}$）之交點。
• 中央經線尺度比率：$m_0 = 0.9999$。
• 橫坐標西移量（加假值，False Easting）：$250,000\text{ m}$。
• 基準幾何中心定義相同： 兩者皆屬於地心坐標系統（Geocentric Coordinate System），其空間直角坐標原點均定義於地球質心。

2. 相異處

• 參考曆元不同：
• 原 87 年 TWD97：以民國 86 年（西元 1997.0 年）為參考曆元。
• TWD97[2010]：以西元 2010.0 年為參考曆元。
• 參考框架與觀測解算資料不同：
• 原 87 年 TWD97：採用早期國際地球參考框架 ITRF94，以民國 79 年至 86 年間之 GPS 全球追蹤站及全臺控制點觀測資料平差解算。
• TWD97[2010]：採用精度更高、約束更嚴密的國際地球參考框架（ITRF2005 / IGS05），納入全臺數百座連續衛星追蹤站（CORS）長期累積之觀測資料進行聯合平差。
• 點位坐標成果更新（修正 921 集集地震形變）：
• 原 87 年 TWD97：未包含民國 88 年（1999 年）921 集集大地震之地表同震與震後劇烈位移（車籠埔斷層周邊水平位移達數公尺），導致原控制點坐標在震後嚴重失真。
• TWD97[2010]：全面重新觀測並重算全臺一、二等衛星控制點，徹底吸納並修正 921 地震及後續地殼變形，提供符合現況的高精度坐標成果。
• 坐標維護機制不同：
• 原 87 年 TWD97：本質上屬靜態（Static）坐標系統，未建立隨時間動態改正之法制作業機制。
• TWD97[2010]：結合臺灣精密地殼水平與垂直形變速度場，轉型為半動態（Semi-dynamic）坐標系統。

(三) 混合法大地起伏模型（TWHYGEO2014）命名為「混合法」之原因

核心觀念

本題考查的是交會定位的幾何強度：已知兩個測站的位置，從兩測站各取得一項與待定點 $P$ 有關的觀測，再看兩條定位線在 $P$ 附近的交角。

交角接近 $90^\circ$ 時，交會位置穩定；交角接近 $0^\circ$ 或 $180^\circ$ 時，兩條定位線近乎平行或重合，交會位置不穩定。其敏感程度可概略以 $1/|\sin\theta|$ 表示，其中 $\theta$ 是兩條定位線的交角。

解題方法

依圖可判讀：$AC$ 與 $BD$ 近似垂直，$P$ 位於兩線交點附近；$A、P、C$ 大致共線，$B、P、D$ 大致共線。因此，從 $A$ 對 $P$ 的觀測方向大致沿 $AC$；從 $B$ 對 $P$ 的方向大致沿 $BD$，兩方向近乎垂直。從 $C$ 對 $P$ 的方向則仍大致沿 $AC$，與從 $A$ 出發的方向近乎共線。

（一）用皮尺量距

以 $A$、$B$ 兩點量距時，$AP$ 與 $BP$ 分別是以 $A$、$B$ 為圓心的兩圓半徑；兩圓在 $P$ 附近近乎垂直交會，定位效果較佳。

核心觀念

本題旨在評量考生對全球定位系統（GPS）訊號傳播物理特性、觀測量定義及其各類誤差來源與消除技術之掌握程度。

1. 大氣層折射延遲： GPS 衛星訊號穿透大氣層到達地表接收機時，受大氣介質折射率影響，電磁波傳播路徑產生彎曲且傳播速度小於真空光速 $c$，導致傳播時間增加（延遲）。大氣層主要依帶電與游離狀態分為兩大層：

• 電離層（Ionosphere）：距地表約 $50 \text{ km} \sim 1000 \text{ km}$，為色散介質（Dispersive Medium），其折射率與電磁波頻率 $f$ 相關，延遲量與頻率平方成反比（$I \propto \frac{1}{f^2}$）。
• 對流層（Troposphere）：距地表約 $0 \text{ km} \sim 50 \text{ km}$（主要集中在 $10 \text{ km}$ 以下），為非色散介質（Non-dispersive Medium），微波頻段下之折射率與頻率無關。

2. 虛擬距離（Pseudo-range）觀測方程式： 虛擬距離 $P$ 是利用接收機產生的複製品測距碼（C/A 碼或 P 碼）與接收到的衛星測距碼進行自相關比對，測得傳播時間差 $\Delta t$，再乘上真空光速 $c$ 所得之幾何距離測值： $P = c \cdot \Delta t = \rho + c(\delta t_r - \delta t^s) + I + T + M_P + \varepsilon_P$ 其中：

• $\rho$：衛星至接收機之真實幾何距離
• $c$：光速
• $\delta t_r$：接收機時鐘偏差（Receiver Clock Bias）
• $\delta t^s$：衛星時鐘偏差（Satellite Clock Bias）
• $I$：電離層延遲誤差
• $T$：對流層延遲誤差
• $M_P$：測距碼多路徑效應（Multipath）
• $\varepsilon_P$：接收機內部延遲與測量雜訊

解題方法

本題為典型申論題，採「成因剖析 $\to$ 改善策略」之對稱架構分項論述。

(一) 大氣層折射延遲誤差的主要因素與改善方法

1. 主要因素

• 電離層延遲（Ionospheric Delay）： 太陽高能輻射使高空大氣分子游離產生自由電子。當 GPS 訊號穿過時，測距碼訊號會產生傳播時間延遲（使測距值變大），而載波相位則產生相位超前。電離層延遲大小取決於總電子含量（Total Electron Content, TEC），受太陽黑子活動週期、季節、晝夜交替及地磁緯度影響劇烈。
• 對流層延遲（Tropospheric Delay）： 受未帶電的中性大氣分子折射所致，可細分為：
• 乾延遲（Dry / Hydrostatic Component）：約佔對流層總延遲的 $90\%$，主要由大氣壓力與絕對溫度決定，大氣性質穩定，極易精確估算。
• 濕延遲（Wet Component）：約佔 $10\%$，主要由大氣中的水氣分壓所引起，水氣在時空上的垂直與水平變異極大，難以完全藉由地表氣象參數精準預測。

2. 改善方法

• 雙頻觀測組合（Dual-Frequency Combination）： 利用電離層之色散特性，結合兩個不同載波頻率（如 $L_1$ 與 $L_2$）之觀測值，組成「無游離層線性組合（Ionosphere-Free Combination, $L_3$）」，可消除約 $99\%$ 的一階電離層延遲影響。
• 大氣經驗模型改正：
• 電離層：單頻接收機可利用廣播星曆中的 Klobuchar 模型 參數進行補償，約可消除 $50\% \sim 60\%$ 的延遲；或利用 IGS 釋出之全球電離層圖（Global Ionosphere Maps, GIM）進行後處理改正。
• 對流層：採用標準大氣模型（如 Hopfield 模型、Saastamoinen 模型）結合投影函數（Mapping Function, 如 Niell、VMF），可消除 $90\%$ 以上之對流層延遲。
• 差分定位技術（DGPS / 相對定位）： 在短基線（$< 10 \sim 20 \text{ km}$）環境下，測站與基準站的大氣延遲高度相關，透過雙差（Double Difference）可幾乎完全抵消電離層與對流層延遲。
• 設定衛星截止仰角（Elevation Cut-off Angle）： 衛星高度角越低，訊號在大氣層中穿透路徑越長，大氣延遲與模型誤差成倍放大。一般測量將截止角設定在 $10^\circ \sim 15^\circ$，直接剔除低仰角衛星訊號。

(二) 造成虛擬距離誤差的主要因素與改善方法

1. 主要因素

虛擬距離為「碼觀測量」，其主要誤差來源依傳播系統可劃分為三大類：

• 時鐘偏差（Clock Errors）：
• 接收機鐘差（$\delta t_r$）：接收機為控制成本多採用石英鐘，其走時穩定度遠遜於原子鐘，鐘差漂移劇烈，換算為距離誤差可達數百公尺至數公里。
• 衛星鐘差（$\delta t^s$）：衛星搭載之銫鐘或銣鐘雖然極為精密，但仍存在微小漂移與頻率偏移。
• 幾何與空間誤差：

核心觀念

本題的核心觀念為非線性函數之誤差傳播定律（Law of Propagation of Errors）​與解析幾何坐標反算。

1. 誤差傳播定律（獨立隨機變數）： 設觀測量或隨機變數 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 彼此獨立（互不相關，協方差 $\sigma_{x_i x_j} = 0$），其對應的中誤差（標準差）分別為 $\sigma_{x_1}, \sigma_{x_2}, \dots, \sigma_{x_n}$。若待求量 $y$ 為其非線性函數 $y = f(x_1, x_2, \dots, x_n)$，依據一階泰勒展開式線性化後，其方差傳播公式為： $\sigma_y^2 = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1} \right)^2 \sigma_{x_1}^2 + \left( \frac{\partial f}{\partial x_2} \right)^2 \sigma_{x_2}^2 + \dots + \left( \frac{\partial f}{\partial x_n} \right)^2 \sigma_{x_n}^2$ 待求量之中誤差即為： $\sigma_y = \sqrt{\sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial f}{\partial x_i} \right)^2 \sigma_{x_i}^2}$

2. 幾何坐標反算關係：

• 縱坐標差：$\Delta N_{AB} = N_B - N_A$
• 橫坐標差：$\Delta E_{AB} = E_B - E_A$
• 兩點距離：$S_{AB} = \sqrt{\Delta N_{AB}^2 + \Delta E_{AB}^2}$
• $A$ 至 $B$ 之方位角 $\alpha_{AB}$ 滿足： $\cos\alpha_{AB} = \frac{\Delta N_{AB}}{S_{AB}} = \frac{N_B - N_A}{S_{AB}}$ $\sin\alpha_{AB} = \frac{\Delta E_{AB}}{S_{AB}} = \frac{E_B - E_A}{S_{AB}}$

解題方法

步驟一：確立函數關係與變數誤差性質

由題意，$A(N_A, E_A)$ 點為無誤差之已知常數，即： $\sigma_{N_A} = 0, \quad \sigma_{E_A} = 0$

$B(N_B, E_B)$ 點之坐標具有中誤差 $\sigma_{N_B}$ 與 $\sigma_{E_B}$，且兩者不相關（協變方 $\sigma_{N_B, E_B} = 0$）。因此，距離函數 $S_{AB} = f(N_B, E_B)$ 僅視 $N_B$ 與 $E_B$ 為隨機變數： $S_{AB} = \left[ (N_B - N_A)^2 + (E_B - E_A)^2 \right]^{1/2}$

步驟二：對含有誤差之變數進行偏微分

應用微積分連鎖律（Chain Rule），求距離 $S_{AB}$ 分別對 $N_B$ 與 $E_B$ 之偏導函數：

1. 對 $N_B$ 偏微分： $\frac{\partial S_{AB}}{\partial N_B} = \frac{1}{2}\left[ (N_B - N_A)^2 + (E_B - E_A)^2 \right]^{-1/2} \cdot \frac{\partial}{\partial N_B}\left[ (N_B - N_A)^2 + (E_B - E_A)^2 \right]$ $\frac{\partial S_{AB}}{\partial N_B} = \frac{1}{2 S_{AB}} \cdot 2(N_B - N_A) = \frac{N_B - N_A}{S_{AB}}$

2. 對 $E_B$ 偏微分： $\frac{\partial S_{AB}}{\partial E_B} = \frac{1}{2}\left[ (N_B - N_A)^2 + (E_B - E_A)^2 \right]^{-1/2} \cdot \frac{\partial}{\partial E_B}\left[ (N_B - N_A)^2 + (E_B - E_A)^2 \right]$