108 地方特考四等 測量製圖 測量平差法概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查線性函數下隨機變數的變方—協變方矩陣傳遞。若隨機向量 $\mathbf{z}$ 經線性轉換 $\mathbf{w}=\mathbf{C}\mathbf{z}$，則

$$\boldsymbol{\Sigma}_{\mathbf{w}} =\mathbf{C}\boldsymbol{\Sigma}_{\mathbf{z}}\mathbf{C}^{\mathsf T}.$$

題目給定 $\sigma_U=2$、$\sigma_V=1$，以及 $\sigma_{UV}=-1$。標準差須先平方為變方，因此

$$\boldsymbol{\Sigma}_{UV} = \begin{bmatrix} \sigma_U^2 & \sigma_{UV}\\ \sigma_{UV} & \sigma_V^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -1\\ -1 & 1 \end{bmatrix}.$$

解題方法

由題目關係式，

$$X=AU-BV,\qquad Y=BU+AV.$$

代入 $A=3$、$B=-2$，得

$$X=3U+2V,\qquad Y=-2U+3V.$$

因此，以 $\begin{bmatrix}U&V\end{bmatrix}^{\mathsf T}$ 為輸入向量，線性轉換矩陣為

$$\mathbf{C} = \begin{bmatrix} 3 & 2\\ -2 & 3 \end{bmatrix}.$$

先求 $X$、$Y$ 的變方與協變方：

$$\begin{aligned} \sigma_X^2 &=3^2\sigma_U^2+2^2\sigma_V^2 +2(3)(2)\sigma_{UV}\\ &=9(4)+4(1)+12(-1)=28,\\[4pt] \sigma_Y^2 &=(-2)^2\sigma_U^2+3^2\sigma_V^2 +2(-2)(3)\sigma_{UV}\\ &=4(4)+9(1)-12(-1)=37,\\[4pt] \sigma_{XY} &=(3)(-2)\sigma_U^2+(2)(3)\sigma_V^2 +\bigl[(3)(3)+(2)(-2)\bigr]\sigma_{UV}\\ &=-6(4)+6(1)+5(-1)=-23. \end{aligned}$$

故

核心觀念

本題考常態分配下，信賴區間的「極限誤差」與「或然誤差」之間的換算。設測量誤差 $e\sim N(0,\sigma^2)$：

• $95\%$ 雙側信賴區間的極限誤差為 $1.96\sigma$。
• $50\%$ 雙側信賴區間的半寬稱為或然誤差，因 $P(|e|\le r)=0.5$，故 $r=0.6745\sigma$。

解題方法

已知 $95\%$ 信賴區間的極限誤差為 $20$ 公分，因此

$$1.96\sigma=20 \quad\Longrightarrow\quad \sigma=\frac{20}{1.96}\text{ 公分}.$$

或然誤差 $r$ 為

核心觀念

本題考驗抽驗比例、點位較差的統計量，以及如何依驗收規定判斷資料是否足以認定成果合格。題目沒有要求援引特定法條；判斷依據是題目所列驗收標準。

「驗收 $5\%$ 以上的點位」是抽驗數量門檻；「其中 $95\%$ 的點位位置要通過前述驗收標準」則要求以抽驗點中符合較差標準的比例判斷是否合格。

解題方法

一、檢查抽驗數量是否達標

乙方建置 $1900$ 個點，丙方抽驗 $110$ 個點：

$$\frac{110}{1900}\times 100\%\approx 5.79\%$$

因為 $5.79\%>5\%$，抽驗數量符合規定。

二、依兩項較差限制計算通過點數

每個點的位置較差須同時符合：

• 均方根誤差不超過 $10$ 公分；
• 最大較差不超過 $20$ 公分。

題目提供的分布為：$10$ 點落在 $8$ 至 $10$ 公分之間、$95$ 點落在 $10$ 至 $20$ 公分之間、$5$ 點超過 $20$ 公分。

其中，位置較差介於 $10$ 至 $20$ 公分的 $95$ 點，雖未超過最大較差 $20$ 公分，卻不能因此直接判定符合「均方根誤差 $10$ 公分」的要求。均方根誤差須由較差值計算：

核心觀念

本題考查以最小二乘法進行直線迴歸，以及由單位權中誤差推算參數標準差。觀測量等權且彼此獨立不相關，因此權矩陣可取 $P=I$，模型為

$$y_i=ax_i+b+v_i$$

其中 $v_i$ 為觀測殘差。參數估計值使殘差平方和 $\sum v_i^2$ 最小。

「$a$ 是否為有效參數」是檢定斜率是否顯著不為零。通常設虛無假設 $H_0:a=0$，以斜率估計值除以其標準差，與自由度為 $n-2$ 的 $t$ 臨界值比較。

解題方法與計算

設

$$\mathbf y= \begin{bmatrix} 10.65\\10.67\\10.35\\10.20 \end{bmatrix},\qquad A= \begin{bmatrix} 8&1\\10&1\\-5&1\\-15&1 \end{bmatrix},\qquad \mathbf X= \begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}.$$

最小二乘估計式為

$$\hat{\mathbf X}=(A^TPA)^{-1}A^TP\mathbf y.$$

因為 $P=I$，也可用中心化資料計算：

$$\bar x=\frac{8+10-5-15}{4}=-0.5,\qquad \bar y=\frac{10.65+10.67+10.35+10.20}{4}=10.4675.$$

斜率與截距為

$$\hat a= \frac{\sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)} {\sum (x_i-\bar x)^2} =\frac{8.085}{413} =0.0195763,$$ $$\hat b=\bar y-\hat a\bar x =10.4675-0.0195763(-0.5) =10.4772881.$$

因此迴歸直線為

$$\hat y=0.0195763x+10.4772881.$$

共有 $n=4$ 筆觀測、估計 $u=2$ 個參數，殘差自由度為 $n-u=2$。殘差平方和可由

$$\mathrm{SSE} =\sum(y_i-\bar y)^2-\frac{\left[\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)\right]^2} {\sum(x_i-\bar x)^2}$$

求得：