114 國安局特考三等 政經組(選試英文) 經濟學 考古題詳解

核心觀念

本題考查生產函數的偏導數、邊際產出、邊際技術替代率，以及規模報酬的判定。

生產函數為 $Q=f(l,k)=l+k$。勞動邊際產出（$MP_l$）是資本投入不變時，勞動增加一單位所帶來的產量變化；資本邊際產出（$MP_k$）則是勞動投入不變時，資本增加一單位所帶來的產量變化。邊際技術替代率（$MRTS_{lk}$）表示維持產量不變時，增加勞動可以替代多少資本。

解題方法與推導

（一）勞動與資本的邊際產出

分別對生產函數取偏導數：

$$MP_l=\frac{\partial Q}{\partial l}=1,\qquad MP_k=\frac{\partial Q}{\partial k}=1$$

因此，勞動與資本的邊際產出皆為 $1$。

（二）勞動邊際產出隨勞動增加的變化

由（一）可知 $MP_l=1$，與勞動投入 $l$ 無關。也可取勞動邊際產出的導數：

$$\frac{\partial MP_l}{\partial l} =\frac{\partial^2 Q}{\partial l^2} =0$$

因此，勞動增加時，勞動邊際產出不變。

（三）邊際技術替代率

等產量曲線可寫為：

$$Q=l+k \quad\Longrightarrow\quad k=Q-l$$

在產量 $Q$ 固定時，對 $l$ 微分：

核心觀念

本題考查邊際替代率、效用函數與消費者效用極大化。

$MRS_{XY}$ 表示在效用不變下，消費者願意以多少單位的 $Y$ 換取一單位的 $X$。若效用函數可微，則：

$$MRS_{XY}=-\frac{dY}{dX}\bigg|_{U=\bar U} =\frac{MU_X}{MU_Y}$$

其中 $MU_X=\partial U/\partial X$、$MU_Y=\partial U/\partial Y$。此處 $MRS_{XY}$ 採正值表示；無異曲線的斜率則為 $-MRS_{XY}$。效用極大化的內部解通常滿足 $MRS_{XY}=P_X/P_Y$。

解題方法與推導

（一）邊際替代率的意義（5 分）

邊際替代率是消費者在效用維持不變時，為多消費一單位 $X$ 所願意放棄的 $Y$ 數量。其大小反映消費者對兩種財貨的邊際偏好，也等於兩財貨邊際效用的比值：

$$MRS_{XY}=\frac{MU_X}{MU_Y}$$

無異曲線通常向右下方傾斜，因此其斜率為負；$MRS_{XY}$ 則以正值表示這個斜率的絕對值。

（二）$U(X,Y)=aX+bY$ 的 $MRS_{XY}$（4 分）

邊際效用為：

$$MU_X=a,\qquad MU_Y=b$$

因此：

$$MRS_{XY}=\frac{MU_X}{MU_Y}=\frac{a}{b}$$

此式假設 $b\ne 0$。線性效用代表兩財貨的邊際替代率固定，無異曲線為直線。

（三）$U(X,Y)=XY$ 的 $MRS_{XY}$ 與效用極大化（10 分）

先求邊際效用：

$$MU_X=Y,\qquad MU_Y=X$$

所以：

$$MRS_{XY}=\frac{Y}{X}$$

效用極大化的內部解需同時滿足切線條件與預算限制：

核心觀念

本題考查含比例所得稅額的簡單凱因斯模型，以及平均消費傾向、投資乘數與財政政策消除產出缺口的計算。

可支配所得為 $Y_d=Y-T$。本題稅收 $T=60$ 為定額稅，因此消費函數可寫為：

$$C=50+0.7(Y-60)$$

其中邊際消費傾向 $c=0.7$。均衡所得由總合支出等於產出決定：

$$Y=C+I+G$$

（一）均衡國民生產淨額

將消費函數及投資、政府支出代入均衡條件：

$$\begin{aligned} Y &=50+0.7(Y-60)+100+60\\ &=50+0.7Y-42+160\\ &=0.7Y+168 \end{aligned}$$

因此：

$$0.3Y=168 \quad\Rightarrow\quad \boxed{Y=560}$$

（二）平均消費傾向與投資乘數

先將消費函數整理為：

$$C=50+0.7(Y-60)=8+0.7Y$$

在均衡所得 $Y=560$ 時，消費為：

$$C=8+0.7(560)=400$$

平均消費傾向為消費占所得的比例：

$$APC=\frac{C}{Y}=\frac{400}{560}=\boxed{\frac{5}{7}\approx0.7143}$$

由於稅收是定額稅，所得變動一單位會使消費增加 $0.7$ 單位，故投資乘數為：

$$k_I=\frac{1}{1-c}=\frac{1}{1-0.7} =\boxed{\frac{10}{3}\approx3.3333}$$

（三）充分就業所得為 $700$：產出缺口與政府支出調整

目前均衡所得為 $560$，低於充分就業所得 $Y_f=700$，因此存在緊縮缺口。所得缺口為：

$$Y_f-Y=700-560=\boxed{140}$$

政府支出乘數與投資乘數相同，為 $\frac{10}{3}$。設政府支出變動為 $\Delta G$：

核心觀念

本題考查競爭市場均衡、單位稅的價格楔子、租稅負擔分攤，以及課稅造成的社會無謂損失。

供給曲線以生產者收到的價格 $P_s$ 表示，需求曲線以消費者支付的價格 $P_c$ 表示。每單位課稅 $t$ 時，兩者的關係為：

$P_c=P_s+t$

均衡時，供給量等於需求量。消費者剩餘與生產者剩餘的變化，則分別反映消費者與生產者承擔的租稅負擔。

解題方法與計算

（一）未課稅的市場均衡

未課稅時，消費者支付價格與生產者收到價格相同，令其為 $P$。均衡條件為 $Q_S=Q_D$：

$P-2=12-P$

$2P=14 \quad\Rightarrow\quad P=7$

將均衡價格代入供給或需求曲線：

$Q=7-2=5$

因此，均衡價格為 $7$，均衡產量為 $5$。

（二）每單位課徵 $2$ 元的稅

令生產者收到的稅後價格為 $P_s$，消費者支付價格為 $P_c$。單位稅造成價格差：

$P_c=P_s+2$

供給量由生產者收到的價格決定：

$Q_S=P_s-2$

需求量由消費者支付的價格決定：

$Q_D=12-P_c$

令供需相等，並代入 $P_c=P_s+2$：

$P_s-2=12-(P_s+2)$

$P_s-2=10-P_s$

$2P_s=12 \quad\Rightarrow\quad P_s=6$

所以：

$P_c=6+2=8$

均衡產量為：

$Q=6-2=4$

課稅後，生產者收到的價格為 $6$，消費者支付的價格為 $8$，均衡產量為 $4$。