107 警察特考三等 交通警察人員電訊組 通訊系統 考古題詳解

核心觀念

本題評量類比通訊中雙旁帶載波抑制（DSB-SC）​調變系統的發射訊號特性、頻譜分析以及接收端同調解調（Coherent Demodulation）的抗雜訊性能。核心觀念與公式涵蓋：

1. DSB-SC 調變原理與功率計算： 發射調變訊號為訊息訊號與載波之乘積 $s(t) = m(t)c(t)$。發射訊號平均功率 $P_s$ 可透過積化和差展開成正交單頻訊號求和，或利用獨立/正交訊號均方值性質計算： $P_s = \langle s^2(t) \rangle = P_m \times P_c$
2. 傅立葉轉換與頻譜搬移： 依據調變定理（Modulation Property），時域相乘對應頻域褶積。單頻餘弦波之頻譜由一對狄拉克脈衝（Dirac delta function）構成： $\mathcal{F}\{\cos(2\pi f_0 t)\} = \frac{1}{2}[\delta(f - f_0) + \delta(f + f_0)]$
3. 同調檢波（Coherent / Synchronous Detection）架構： 接收機由前置帶通濾波器（BPF）、乘法器（本地載波同步）與低通濾波器（LPF）組成。
4. 窄頻雜訊（Narrowband Noise）與輸出訊雜比（$\text{SNR}_o$）： 加性高斯白雜訊（AWGN）通過接收端 BPF 後可表為同相與正交表示式： $n(t) = n_I(t)\cos(2\pi f_c t) - n_Q(t)\sin(2\pi f_c t)$ 經同調乘法器與 LPF 後，僅剩同相雜訊分量 $\frac{1}{2}n_I(t)$。DSB-SC 系統的優值（Figure of Merit）為 $1$，其輸出訊雜比恆滿足： $\text{SNR}_o = \frac{P_s}{N_0 W}$

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解題方法

(一) 發射訊號功率 $P_s$ 與頻譜 $S(f)$

1. 訊號參數解析與時域表示式展開

• 訊息訊號：$m(t) = \cos(2000\pi t) = \cos(2\pi f_m t) \implies f_m = 1{,}000\text{ Hz} = 1\text{ kHz}$，頻寬 $W = f_m = 1{,}000\text{ Hz}$。
• 載波訊號：$c(t) = 2\cos(2\times 10^5\pi t) = 2\cos(2\pi f_c t) \implies f_c = 100{,}000\text{ Hz} = 100\text{ kHz}$。
• DSB-SC 發射訊號： $s(t) = m(t)c(t) = 2\cos(2000\pi t)\cos(2\times 10^5\pi t)$ 利用積化和差公式 $2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$： $s(t) = \cos(2\pi(100{,}000 + 1{,}000)t) + \cos(2\pi(100{,}000 - 1{,}000)t) = \cos(2\pi \cdot 101{,}000 t) + \cos(2\pi \cdot 99{,}000 t)$

2. 計算發射訊號功率 $P_s$ 訊號 $s(t)$ 由兩個不同頻率（$99\text{ kHz}$ 與 $101\text{ kHz}$）的正弦波疊加而成，兩者彼此正交，其總平均功率為各分量功率之和： $P_s = \frac{1^2}{2} + \frac{1^2}{2} = 0.5 + 0.5 = 1\text{ W}$

(亦可由訊號均方值驗證：$P_m = \frac{1^2}{2} = 0.5\text{ W}$，$P_c = \frac{2^2}{2} = 2\text{ W} \implies P_s = P_m \cdot P_c = 0.5 \times 2 = 1\text{ W}$)

3. 求頻譜 $S(f)$ 並繪圖 對 $s(t)$ 取傅立葉轉換： $S(f) = \frac{1}{2}\left[\delta(f - 101{,}000) + \delta(f + 101{,}000)\right] + \frac{1}{2}\left[\delta(f - 99{,}000) + \delta(f + 99{,}000)\right]$ 頻譜由位於 $\pm 99{,}000\text{ Hz}$ 與 $\pm 101{,}000\text{ Hz}$ 之四個脈衝組成，各脈衝之權重（衝量強度）皆為 $1/2$。

頻譜示意圖（單位：$\text{Hz}$）：

 S(f)
 ^
 1/2 1/2 1/2 1/2
 | | | |
 | | | |
 ---------+---------------+---------------+---------------+---------> f (Hz)
 -101,000 -99,000 99,000 101,000
 0

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(二) 同調接收機模型與輸出訊雜比（$\text{SNR}_o$）

1. 同調接收機系統模型架構圖

同調接收機包含前置帶通濾波器（濾除頻帶外雜訊）、乘法器（乘上同頻同相之本地載波）及基頻低通濾波器：

r(t) = s(t) + w(t)
-----> [ 帶通濾波器 (BPF) ] ----> v(t) ----> ( X ) ----> [ 低通濾波器 (LPF) ] ----> y(t) = y_s(t) + y_n(t)
 中心頻率: f_c = 100 kHz ^ 截止頻率: W = 1 kHz
 頻寬: B = 2W = 2 kHz | 通帶增益: 1
 |
 本地載波: c_L(t) = cos(2π f_c t)

2. 輸出訊號分量與訊號功率 $S_o$ 推導 設本地振盪器提供同頻同相載波 $c_L(t) = \cos(2\pi f_c t)$：

• 通過 BPF 後訊號無失真通過，乘法器輸出之訊號項為： $v_s(t) = s(t) \cdot \cos(2\pi f_c t) = 2m(t)\cos^2(2\pi f_c t) = m(t)\left[1 + \cos(4\pi f_c t)\right]$
• 經理想 LPF（截止頻率 $W = 1\text{ kHz}$，增益為 $1$）濾除兩倍載波高頻項 $m(t)\cos(4\pi f_c t)$，輸出解調訊號為： $y_s(t) = m(t) = \cos(2000\pi t)$
• 輸出訊號平均功率 $S_o$： $S_o = \langle y_s^2(t) \rangle = \frac{1^2}{2} = 0.5\text{ W}$

3. 輸出雜訊分量與雜訊功率 $N_o$ 推導

• 題目給定 AWGN 雜訊雙邊功率頻譜密度為 $S_w(f) = \frac{N_0}{2} = 10^{-6}\text{ W/Hz} \implies N_0 = 2 \times 10^{-6}\text{ W/Hz}$。

核心觀念

本題評量類比通訊系統中「商用調頻（FM）廣播」的核心規格計算與「超外差接收機（Superheterodyne Receiver）」架構設計，涵蓋三大核心觀念：

1. FM 調變指數與卡森法則（Carson’s Rule）： FM 訊號理論上具有無窮大頻寬，但其絕大部分（約 $98\%$ 以上）的訊號功率集中於有限頻寬內。工程上採用卡森法則估算傳輸頻寬需求 $B_T$： $B_T = 2(\Delta f + W) = 2(\beta + 1)W$ 其中 $\Delta f$ 為最大頻率偏移量（Peak Frequency Deviation），$W = f_m$ 為訊息訊號之最高頻率（頻寬），$\beta = \frac{\Delta f}{W}$ 為調變指數（Modulation Index）。

2. 超外差混頻原理（Heterodyning Principle）： 超外差架構利用混頻器（Mixer）將接收到的射頻訊號 $f_{\text{RF}}$ 與本地振盪器訊號 $f_{\text{LO}}$ 進行相乘（混頻），並透過後級帶通濾波器選出固定中頻（Intermediate Frequency, IF）： $f_{\text{IF}} = |f_{\text{RF}} - f_{\text{LO}}|$ 中頻通常固定為 $10.7\ \mathrm{MHz}$，有助於以固定高 $Q$ 值的濾波電路提供穩定的增益與選擇度（Selectivity），避免在高頻直接調諧引起的失真。

3. 本地振盪器注入方式（LO Injection Modes）： 依據 $f_{\text{LO}}$ 與 $f_{\text{RF}}$ 的相對高低，分為：

• 高側注入（High-side Injection / Supra-heterodyne）：$f_{\text{LO}} > f_{\text{RF}} \implies f_{\text{LO}} = f_{\text{RF}} + f_{\text{IF}}$
• 低側注入（Low-side Injection / Infra-heterodyne）：$f_{\text{LO}} < f_{\text{RF}} \implies f_{\text{LO}} = f_{\text{RF}} - f_{\text{IF}}$

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解題方法

(一) 計算 FM 廣播電台之頻寬需求 $B_T$

1. 參數列出：

• 訊息訊號頻寬：$W = 15\ \mathrm{kHz}$
• 最大頻率偏移量：$\Delta f = 75\ \mathrm{kHz}$

2. 計算調變指數 $\beta$： $\beta = \frac{\Delta f}{W} = \frac{75\ \mathrm{kHz}}{15\ \mathrm{kHz}} = 5$ 此數值遠大於 $1$，屬於寬頻調頻（WBFM）。

3. 依卡森法則計算傳輸頻寬 $B_T$： $B_T = 2(\Delta f + W) = 2(75\ \mathrm{kHz} + 15\ \mathrm{kHz}) = 2 \times 90\ \mathrm{kHz} = 180\ \mathrm{kHz}$ （亦即 $B_T = 2(\beta + 1)W = 2(5 + 1) \times 15\ \mathrm{kHz} = 180\ \mathrm{kHz} = 0.18\ \mathrm{MHz}$）

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(二) 設計超外差接收機方塊圖與計算本地振盪器頻率範圍

1. 超外差 FM 接收機方塊圖設計

FM 超外差接收機由天線接收射頻訊號後，經由選頻、降頻至中頻、限幅消除雜訊振幅擾動、鑑頻解調、去加重補償高頻，最後進行音訊功率放大輸出：

 [ 接收天線 ]
 │
 ▼
┌───────────────────────┐
│ RF 帶通放大器 │ (88 ~ 108 MHz，抑制映像頻率與帶外雜訊)
└───────────┬───────────┘
 │ f_RF
 ▼
 ┌─────────┐ ┌───────────────────────┐
 │ 混頻器 │ ◄────── │ 本地振盪器 (LO) │ (可變頻率 f_LO)
 └────┬────┘ f_LO └───────────────────────┘
 │ |f_RF - f_LO|
 ▼
┌───────────────────────┐
│ IF 中頻帶通放大器 │ (固定中心頻率 10.7 MHz，頻寬約 200 kHz)
└───────────┬───────────┘
 │
 ▼
┌───────────────────────┐
│ 振幅限幅器 (Limiter) │ (消除通道引入之 AM 雜訊與振幅漣波)
└───────────┬───────────┘
 │
 ▼
┌───────────────────────┐
│ FM 鑑頻器 (Demod.) │ (頻率/相位轉電壓訊號，解出訊息)
└───────────┬───────────┘
 │
 ▼
┌───────────────────────┐
│ 去加重電路 (De-emph.)│ (還原發射端預加重之高頻成份，降低雜訊)
└───────────┬───────────┘
 │
 ▼
┌───────────────────────┐
│ 音訊放大器 (Audio) │ ──► [ 揚聲器 (Speaker) ]
└───────────────────────┘

各級關鍵元件功能說明：

• RF 帶通放大器：提供低雜訊前級放大，並抑制映像頻率（Image Frequency）。
• 混頻器（Mixer）與本地振盪器（LO）：將可變之 $f_{\text{RF}}$ 降頻轉換為固定的中頻 $f_{\text{IF}} = 10.7\ \mathrm{MHz}$。
• IF 中頻放大器：接收機主要的增益與相鄰頻道選擇度來源，中心頻率為 $10.7\ \mathrm{MHz}$，通道頻寬設計為 $200\ \mathrm{kHz}$。
• 振幅限幅器（Amplitude Limiter）：去除傳輸過程中雜訊引起的振幅變動，確保進入解調器之訊號為純等幅波。
• FM 鑑頻器／解調器（Frequency Discriminator）：將中頻訊號的頻率變化轉化為與基頻訊息成正比的振幅電壓輸出。

核心觀念

本題旨在評量分時多工脈衝編碼調變（TDM-PCM）系統之架構設計、訊框規格、位元傳輸速率計算，以及均勻量化器之量化訊雜比（SQNR）推導。涉及之核心觀念與公式如下：

1. 訊框週期（Frame Period, $T_f$）與取樣速率（$f_s$）之關係： 在同步 TDM 系統中，每路訊號於一個訊框週期內各被取樣一次，因此訊框速率（Frame Rate, $R_f$）等於各路訊號之取樣頻率： $T_f = \frac{1}{f_s}, \quad R_f = f_s$

2. 訊框總位元數（$N_b$）與傳輸位元速率（Bit Rate, $R_b$）： 一個訊框包含同步序文（Preamble）與所有話路的量化編碼位元。設話路數為 $N$、每取樣之量化位元數為 $n$、同步序文為 $N_{\text{sync}}$ 位元，則： $N_b = N_{\text{sync}} + N \times n \quad (\text{bits/frame})$ $R_b = N_b \times R_f = N_b \times f_s \quad (\text{bps})$

3. 均勻量化之訊號雜訊比（SQNR）與「每位元 6 dB 定律」： 設輸入訊號振幅範圍為 $[-V_{\max}, V_{\max}]$，量化位元數為 $n$（量化階數 $L = 2^n$），量化步階大小 $\Delta = \frac{2V_{\max}}{2^n}$。 在均勻分佈假設下，量化雜訊功率（方差）為： $N_q = \sigma_q^2 = \frac{\Delta^2}{12} = \frac{V_{\max}^2}{3 \times 2^{2n}}$ 輸出端量化訊雜比為： $\text{SNR}_o = \frac{P_x}{N_q} = \frac{3 P_x}{V_{\max}^2} \cdot 2^{2n}$ 取分貝（$\text{dB}$）表示： $\text{SNR}_{o, \text{dB}} = 10 \log_{10}\left(\frac{3 P_x}{V_{\max}^2}\right) + 20 n \log_{10}(2) \approx \alpha + 6.02 n \quad (\text{dB})$ 當位元數增加 $\Delta n$ 時，訊雜比提升量為： $\Delta \text{SNR}_{\text{dB}} = 20 \Delta n \log_{10}(2) \approx 6.02 \times \Delta n \quad (\text{dB})$

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解題方法

(一) 繪出系統發射端方塊圖、訊框結構圖，並求位元速率

1. 系統發射端方塊圖

本系統採「先 PAM 分時多工、再集中 PCM 編碼」，最後加入訊框同步序文之架構（亦可採各路獨立 ADC 後進行數位多工，此處繪製經典 TDM-PCM 架構）：

話路 1 m₁(t) ──>[抗混疊濾波器 LPF]──┐
話路 2 m₂(t) ──>[抗混疊濾波器 LPF]──┼─> [旋轉換向取樣開關] ──> [均勻量化器] ──> [二元編碼器] ──┐
 : │ (Commutator) (12-bit) (Encoder) │
話路 20 m₂₀(t)──>[抗混疊濾波器 LPF]──┘ (fs = 10 ksps) v
 [訊框多工合成器] ──> TDM-PCM 輸出
 [同步序文產生器] ─────────────────────> (Framing MUX)
 (10-bit Preamble)

• 抗混疊低通濾波器（LPF）：限制各路語音頻寬，防止取樣時發生頻譜混疊。
• 旋轉換向開關（Commutator / Sampler）：以 $f_s = 10\ \text{ksps}$ 依序對 20 路訊號抽樣，形成分時多工之 PAM 脈衝序列。
• 均勻量化器與編碼器：將 PAM 脈衝轉換為 12-bit 二元碼。
• 訊框多工合成器：於每訊框前置插入 10-bit 同步序文，組成完整的 TDM 數位資料流。

2. 訊框結構圖（Frame Structure）

每個訊框的時間長度為取樣週期 $T_f = \frac{1}{f_s} = \frac{1}{10\ \text{kHz}} = 100\ \mu\text{s}$。

核心觀念

本題評量數位通訊中二元基頻傳輸（Binary Baseband Transmission）​之核心架構，包含以下重點：

1. 奈奎斯特無符元間干擾準則（Nyquist Criterion for Zero ISI）： 整體基頻系統脈波響應 $P(f) = G_{tx}(f) H_c(f) H_{rx}(f)$ 須滿足升餘弦（Raised Cosine, RC）頻譜特性。在理想通道（$H_c(f)=1$）下，發射端與接收端各配置一個滾邊因子（Roll-off factor）為 $\alpha$ 的平方根升餘弦（Square-Root Raised Cosine, SRRC）濾波器，兩者串聯即構成完整升餘弦響應，達成無 ISI。
2. 匹配濾波器（Matched Filter, MF）： 在加成性高斯白雜訊（AWGN）通道下，接收端濾波器頻率響應滿足 $H(f) = G_{tx}^*(f) e^{-j 2\pi f T_0}$，能使抽樣瞬間之訊雜比（SNR）達到最大。
3. 基頻傳輸頻寬（Transmission Bandwidth）： 採用滾邊因子為 $\alpha$ 之升餘弦或平方根升餘弦脈波時，基頻系統單邊絕對頻寬公式為： $B_T = \frac{1+\alpha}{2T_b} = \frac{R_b}{2}(1+\alpha)$
4. 眼狀圖（Eye Pattern）： 示波器在水平軸以符元週期 $T_b$ 掃描時顯示的信號軌跡疊合圖。對 2-PAM 而言，$M=2$，具備一個眼孔（$M-1=1$）。無 ISI 時，在最佳抽樣時刻軌跡將精確匯聚於兩點，呈現最大垂直開度。

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解題方法

(一) AWGN 通道下匹配濾波器接收機方塊圖及參數標明

1. 接收機架構推導與設計

• 輸入信號：$r(t) = s(t) + n(t)$，其中 $s(t) = \sum_k a_k g(t - k T_b)$，$a_k \in \{+A, -A\}$ 等機率出現，$n(t)$ 為雙邊功率頻譜密度（PSD）為 $N_0/2$ 之 AWGN。
• 匹配濾波器（Matched Filter）：為最大化抽樣瞬間的輸出 SNR，接收濾波器之衝激響應須匹配於發射脈波 $g(t)$。因發射端為 SRRC 脈波，接收濾波器亦須採用相同規格之 SRRC 濾波器。
• 抽樣器（Sampler）：在每一符元週期的最佳抽樣時間點 $t = k T_b$（取延遲基準 $t_0 = 0$）進行抽樣，輸出離散值 $y(k T_b)$。
• 門檻決策器（Threshold Detector）：針對抽樣信號進行極性判決，輸出解調位元 $\hat{b}_k$。

2. 接收機方塊圖

r(t) = s(t) + n(t)
 ────> [ 匹配濾波器 H(f) ] ────> y(t) ────> [ 抽樣器 ] ────> y(kT_b) ────> [ 門檻決策器 ] ────> 輸出位元判決
 ▲ (門檻 γ = 0) ^b_k ∈ {0, 1}
 │
 時脈訊號 t = k·T_b
 (週期 T_b = 0.5 μs)

3. 各方塊詳細參數

• 匹配濾波器（Matched Filter）：
• 型式：平方根升餘弦（SRRC）濾波器。
• 頻率響應：$H(f) = G_{tx}^*(f) = \sqrt{P_{RC}(f)}$。
• 符元週期：$T_b = \frac{1}{R_b} = \frac{1}{2\times 10^6\ \text{bps}} = 0.5\ \mu\text{s}$。
• 滾邊因子：$\alpha = 0.5$（50%）。
• 截止頻率：$f_0 = \frac{1}{2T_b} = 1\ \text{MHz}$；絕對頻寬為 $f_{\max} = f_0(1+\alpha) = 1.5\ \text{MHz}$。
• 抽樣器（Sampler）：
• 抽樣時脈速率：$f_s = \frac{1}{T_b} = 2\ \text{MHz}$。
• 抽樣時刻：$t = k T_b = k \times 0.5\ \mu\text{s}$（$k$ 為整數）。
• 門檻決策器（Decision Device）：
• 判決門檻值：$\gamma = 0\ \text{V}$（因符元等機率且發射電平為對稱之雙極性信號 $+A$ 與 $-A$）。
• 判決法則： $\hat{b}_k = \begin{cases} 1, & \text{若 } y(k T_b) > 0 \\ 0, & \text{若 } y(k T_b) \le 0 \end{cases}$

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(二) 求 $s(t)$ 之頻寬 $B_T$ 並繪出輸出眼狀圖

1. 傳送信號頻寬 $B_T$ 計算

基頻 PAM 系統採用升餘弦家族脈波時，基頻絕對傳輸頻寬（單邊頻寬）由奈奎斯特最小頻寬與過度頻寬（Excess Bandwidth）共同決定：

$B_T = \frac{1+\alpha}{2T_b} = \frac{R_b}{2}(1+\alpha)$

將題目給定參數代入：

• 位元速率：$R_b = 2\ \text{Mbps}$
• 滾邊因子：$\alpha = 0.5$

$B_T = \frac{2\ \text{MHz}}{2} \times (1 + 0.5) = 1\ \text{MHz} \times 1.5 = 1.5\ \text{MHz}$

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核心觀念

本題為國家考試（警察特考電訊組、高考三級電子／電信工程）極具代表性的數位通訊經典設計題，涵蓋數位調變系統從訊號合成、頻譜分析、最佳接收機結構、AWGN 與衰減通道效能評估，到現代行動通訊變形調變技術（$\pi/4$-DQPSK）的完整體系。涉及核心觀念如下：

1. QPSK 幾何表示與正交分解：QPSK 可視為兩路正交（同相 $I$ 與正交 $Q$）且互不干擾的 BPSK 信號之合成。若位元時間為 $T_b$、平均發射功率為 $P_s$，則位元能量 $E_b = P_s T_b$，符元時間 $T_s = 2T_b$，符元能量 $E_s = P_s T_s = 2E_b$。
2. 格雷編碼（Gray Coding）：使相鄰星座點的漢明距離（Hamming Distance）恰為 1 位元。在常見的中高訊噪比環境下，符元錯誤絕大多數發生在相鄰符元，因此符元錯誤率與位元錯誤率具備極為緊密的近似關係：$P_b \approx P_s / \log_2(M) = P_s / 2$。
3. 帶通信號之功率頻譜密度（PSD）：由基頻 NRZ 脈衝之傅立葉轉換經由載波正交調變推導，主瓣寬度（Null-to-Null Bandwidth）為 $B_{\text{null-to-null}} = 2/T_s = 1/T_b = R_b$。
4. AWGN 下最佳接收與決策法則：採用關聯器（Correlator）或匹配濾波器（Matched Filter），根據最小歐氏距離準則（Maximum Likelihood Decision Rule），以兩正交座標軸作為獨立臨界點（Threshold $= 0$）進行逐位元二元決策。
5. 瑞利衰減（Rayleigh Fading）通道之 BER：包絡振幅服從瑞利分布，瞬時訊噪比服從指數分布，平均位元錯誤率為高斯 $Q$ 函數在指數分布下的統計平均。
6. $\pi/4$-DQPSK 變異調變：藉由奇偶符元交替切換兩組相差 $\pi/4$ 的星座圖，限制連續符元間的最大相位跳躍為 $\pm 135^\circ$（消除 $180^\circ$ 穿越原點），大幅壓低封包起伏，並支援非同調差分檢波。

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解題方法

1. (一) 發射端與頻譜設計：

• 建立正規化正交基底函數 $\phi_1(t) = \sqrt{\frac{2}{T_s}}\cos(2\pi f_c t)$ 與 $\phi_2(t) = -\sqrt{\frac{2}{T_s}}\sin(2\pi f_c t)$。
• 將四個星座點以格雷碼編碼，依象限分配 $(\pm\sqrt{E_b}, \pm\sqrt{E_b})$。
• 串並轉換器（S/P）將輸入位元分為 $I$ 軌與 $Q$ 軌，分別進行 NRZ 電位映射，再乘上正交載波並相加。
• 帶通 PSD 由基頻矩形脈衝 $g(t) = \text{rect}(t/T_s)$ 之能量頻譜經載波雙邊平移疊加求得。

2. (二) 接收機設計與理論推導：

• 接收端以正交同步載波進行相干解調（Coherent Demodulation），經積分清除器（Integrate-and-Dump）濾波取樣。
• 正交通道之雜訊互為獨立高斯隨機變數，其決策區域分割為四個象限。
• 由於 $I$ 軌與 $Q$ 軌完全正交獨立解調，單軌之錯誤率等同於傳送能量 $E_b$ 的 BPSK，因此可直接由二維正確機率導出精確 SER，並得到 BER。

3. (三) 瑞利衰減通道分析：

• 設通道瞬時訊噪比為 $\gamma_b = \alpha^2 \frac{E_b}{N_0}$，因 $\alpha$ 為瑞利分布，$\gamma_b$ 具機率密度函數 $f_{\gamma_b}(\gamma_b) = \frac{1}{\bar{\gamma}_b} e^{-\gamma_b / \bar{\gamma}_b}$。
• 計算定積分 $\int_0^\infty Q(\sqrt{2\gamma_b}) f_{\gamma_b}(\gamma_b) d\gamma_b$ 取得閉式解。

4. (四) $\pi/4$-DQPSK 特性探討：

• 繪出 8 個均勻分佈於圓周上的星座點，區分為兩組交替切換的 QPSK 子星座。
• 從「非線性功率放大器（HPA）之頻譜洩漏（Spectral Regrowth）」與「差分非同調檢測降低硬體複雜度」兩大工程實務角度說明優點。

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各小題完整詳解

(一) 星座圖、發射機方塊圖及功率頻譜密度圖

1. 基本參數關係：

• 符元週期：$T_s = 2T_b$。
• 符元能量：$E_s = P_s T_s = 2P_s T_b = 2E_b$。
• 正規化正交基底函數定義為： $\phi_1(t) = \sqrt{\frac{2}{T_s}}\cos(2\pi f_c t), \quad \phi_2(t) = -\sqrt{\frac{2}{T_s}}\sin(2\pi f_c t), \quad 0 \le t \le T_s$

2. 格雷編碼星座圖（Constellation Diagram）： 信號向量為 $\mathbf{s}_i = (s_{i1}, s_{i2})$，其中 $s_{i1}, s_{i2} \in \{\pm \sqrt{E_s/2}\} = \{\pm \sqrt{E_b}\}$。 格雷碼指派確保任兩相鄰象限之符元僅差 1 個位元：

• 第一象限 $(+\sqrt{E_b}, +\sqrt{E_b}) \longleftrightarrow \mathbf{s}_1 = 00$
• 第二象限 $(-\sqrt{E_b}, +\sqrt{E_b}) \longleftrightarrow \mathbf{s}_2 = 01$
• 第三象限 $(-\sqrt{E_b}, -\sqrt{E_b}) \longleftrightarrow \mathbf{s}_3 = 11$
• 第四象限 $(+\sqrt{E_b}, -\sqrt{E_b}) \longleftrightarrow \mathbf{s}_4 = 10$

φ2(t) (Q-axis)
^
|
01 | 00
* | *
(-√Eb, +√Eb) | (+√Eb, +√Eb)
|
-----------------------+-----------------------> φ1(t) (I-axis)
|
* | *
11 | 10
(-√Eb, -√Eb) | (+√Eb, -√Eb)
|

3. 發射機方塊圖： 輸入位元序列 $b(t)$（速率 $R_b$）進入串並轉換器（S/P），分成同相軌（$I$ 軌）與正交軌（$Q$ 軌），兩軌之符元週期皆伸長為 $T_s = 2T_b$。經電位轉換映射後分別乘以載波相加輸出：

輸入位元串流 I-軌 b_I(t)
b(t) (Rb) +-----+ (週期 Ts) +------------+ s_I(t)
------------>| S/P |------------>| 電位轉換 |--------+
| | | 0->+√Eb | |
+-----+ | 1->-√Eb | |
| +------------+ v
| Q-軌 b_Q(t) +---+
| (週期 Ts) +------------+ | X |<--- √(2/Ts) cos(2π fc t)
+--------------->| 電位轉換 | +---+
| 0->+√Eb | |
| 1->-√Eb | v
+------------+ +---+ 帶通信號 s(t)
| | + |----------------->
v +---+
+---+ ^
| X |<--- -√(2/Ts) sin(2π fc t)
+---+ |
|---------------+

4. 帶通信號之功率頻譜密度圖（PSD）： 基頻 NRZ 脈衝寬度為 $T_s$，其功率頻譜為 $\text{sinc}^2(f T_s)$。調變至載波 $f_c$ 後，帶通平均功率頻譜密度 $S_s(f)$ 為： $S_s(f) = \frac{P_s T_s}{2}\left[\text{sinc}^2((f-f_c)T_s) + \text{sinc}^2((f+f_c)T_s)\right] = P_s T_b\left[\text{sinc}^2(2(f-f_c)T_b) + \text{sinc}^2(2(f+f_c)T_b)\right]$ 其中 $\text{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}$。

• 載波中心頻率：$\pm f_c$，頻譜峰值為 $P_s T_b$。
• 第一個頻譜零點（First Nulls）位於：$f_c \pm \frac{1}{T_s} = f_c \pm \frac{R_b}{2}$。
• 主瓣零點間頻寬（Null-to-Null Bandwidth）：$B_{\text{null-to-null}} = \frac{2}{T_s} = \frac{1}{T_b} = R_b$。

Ss(f)
^
Ps*Tb| /\
| / \
| / \
| /\ / \ /\
--+----+--\------/---+----+------/--+----+--------> f
| fc-Rb fc-Rb/2 fc fc+Rb/2 fc+Rb
|<----------------- Rb --------------->| (主瓣寬度)

---

(二) AWGN 接收機方塊圖、決策法則、SER 與 BER 公式

1. 接收機方塊圖： 採用正交相干檢波接收機，包含兩路匹配濾波器（或關聯器）與零臨界值比較器，最後以並串轉換器（P/S）復原出原始二元位元串流：

接收信號 r(t)
------------+--------------------------------------------+
| |
v v
+---+ +---+
| X |<--- √(2/Ts) cos(2π fc t) | X |<--- -√(2/Ts) sin(2π fc t)
+---+ +---+
| |
v v
+-----------+ +-----------+
| 積分清除器| ∫[0,Ts] dt | 積分清除器| ∫[0,Ts] dt
+-----------+ +-----------+
| r_I | r_Q
v v
+-----------+ +-----------+
| 臨界值 | 判決 > 0 輸出 0 | 臨界值 | 判決 > 0 輸出 0
| 比較器 | 判決 < 0 輸出 1 | 比較器 | 判決 < 0 輸出 1
+-----------+ +-----------+
| ^b_I | ^b_Q
+--------------------+ +-------------------+
| |
v v
+-------+ 判決位元串流 ^b(t)
| P/S |------------------------->
+-------+

2. 接收機決策法則（Decision Rule）： 設接收向量為 $\mathbf{r} = (r_I, r_Q)$，經關聯取樣後： $r_I = s_{i1} + n_I, \quad r_Q = s_{i2} + n_Q$ 其中 $n_I, n_Q \sim \mathcal{N}\left(0, \frac{N_0}{2}\right)$ 互為獨立。