107 警察特考三等 交通警察人員電訊組 電路學 考古題詳解

核心觀念

本題旨在評量線性直流電路之戴維寧定理（Thevenin’s theorem）​求解能力。戴維寧定理指出：任何由獨立電源、線性受控源及線性電阻所組成的雙端點（$a$ 與 $b$）線性網路，對外均可等效為一個獨立電壓源 $V_{th}$ 串聯一個等效電阻 $R_{th}$ 的簡單電路。

相關基本定義與定理公式如下：

1. 戴維寧等效電壓 $V_{th}$：定義為端點 $a$、$b$ 間之開路電壓（Open-circuit voltage），即： $V_{th} = V_{ab(oc)} = V_a - V_b$
2. 戴維寧等效電阻 $R_{th}$：

• 獨立電源歸零法：當電路內僅含獨立電源與電阻時，將所有獨立電源關閉（獨立電壓源短路、獨立電流源開路），由 $a$、$b$ 兩端點看入網路之等效電阻即為 $R_{th}$。
• 短路電流法（萬用關聯法）：若電路含受控源，或為求驗算，可將 $a$、$b$ 兩端短路求出短路電流 $I_{sc}$，則： $R_{th} = \frac{V_{th}}{I_{sc}}$

3. 電路分析基本定律：

• 克希荷夫電流定律（KCL）：任一節點之流入電流代數和等於流出電流代數和，$\sum I = 0$。
• 歐姆定律（Ohm's Law）：$V = I \times R$。

解題方法

本題題目未附具體圖形（原卷僅標註圖形佔位符），缺少圖（一）之電路拓撲與元件參數；以下依國家考試《電路學》戴維寧等效電路命題之最經典直流基準架構（含 $36\text{ V}$ 獨立電壓源、$3\text{ A}$ 獨立電流源與 $6\,\Omega$、$12\,\Omega$、$4\,\Omega$ 電阻網路）建立標準電路進行完整推導與求解。

電路拓撲配置假設

• 參考節點（接地點 $0\text{ V}$）設於端點 $b$，即 $V_b = 0\text{ V}$。
• 獨立直流電壓源 $V_s = 36\text{ V}$ 跨接於節點 1 與地之間，使節點 1 電位 $V_1 = 36\text{ V}$。
• 電阻 $R_1 = 6\,\Omega$ 連接於節點 1 與節點 2 之間。
• 電阻 $R_2 = 12\,\Omega$ 連接於節點 2 與地之間。
• 電阻 $R_3 = 4\,\Omega$ 連接於節點 2 與端點 $a$ 之間。
• 獨立直流電流源 $I_s = 3\text{ A}$ 連接於地與端點 $a$ 之間，方向朝上（注入端點 $a$）。

步驟一：求戴維寧等效電壓 $V_{th}$（開路電壓 $V_{oc}$）

當端點 $a$、$b$ 開路時，流出端點 $a$ 的負載電流為零。此時電流源 $I_s = 3\text{ A}$ 注入端點 $a$，因外部開路，該電流必完全流入電阻 $R_3$，由端點 $a$ 流向節點 2。

對節點 2 列寫克希荷夫電流定律（KCL，設流出為正）： $\frac{V_2 - 36}{6} + \frac{V_2}{12} - 3 = 0$

兩邊同乘以 12 以消除分母： $2(V_2 - 36) + V_2 - 36 = 0$ $2V_2 - 72 + V_2 - 36 = 0$ $3V_2 = 108 \implies V_2 = 36\text{ V}$

求端點 $a$ 之電位 $V_a$： 由於 $3\text{ A}$ 電流流經電阻 $R_3 = 4\,\Omega$ 流入節點 2，依歐姆定律，端點 $a$ 與節點 2 之電位差為： $V_a - V_2 = I_s \times R_3 = 3 \times 4 = 12\text{ V}$

核心觀念

本題評量雙埠網路（Two-Port Network）之傳輸參數（$T$ 參數／$ABCD$ 參數）分析、等效輸入阻抗求法與負載功率計算。

1. 傳輸參數定義式：

展開為線性聯立方程式：

• $V_1 = A V_2 + B (-I_2) = 5 V_2 + 10(-I_2)$
• $I_1 = C V_2 + D (-I_2) = 0.4 V_2 + 1(-I_2)$ 其中 $-I_2$ 即為由埠 2 流出、進入負載電阻 $R_L$ 之電流（記為 $I_L$）。

2. 端點邊界條件：

• 負載端（埠 2）：接有負載電阻 $R_L = 10\,\Omega$，滿足歐姆定律： $V_2 = R_L \cdot (-I_2) = 10 (-I_2)$
• 電源端（埠 1）：電源電壓 $V_s = 14\angle 0^\circ\,\mathrm{V}$ 串聯內部電阻 $R_s = 2\,\Omega$，依克希荷夫電壓定律（KVL）： $V_s = I_1 R_s + V_1 \implies 14\angle 0^\circ = 2 I_1 + V_1$

3. 功率計算公式： 負載消耗功率可由負載端電壓或電流求得： $P_L = |I_L|^2 R_L = \frac{|V_2|^2}{R_L}$

解題方法

本題最穩健且不易出錯的切入點為​「等效輸入阻抗法」，先求出由埠 1 看入的輸入阻抗 $Z_{\mathrm{in}}$，求得輸入端電流 $I_1$ 與電壓 $V_1$，再反推輸出端數值。

步驟一：求雙埠電路之等效輸入阻抗 $Z_{\mathrm{in}}$

將負載邊界條件 $V_2 = 10(-I_2)$ 代入傳輸參數方程式中： $V_1 = 5\big(10(-I_2)\big) + 10(-I_2) = 50(-I_2) + 10(-I_2) = 60(-I_2)$ $I_1 = 0.4\big(10(-I_2)\big) + 1(-I_2) = 4(-I_2) + 1(-I_2) = 5(-I_2)$

由此可得自埠 1 看入之輸入阻抗： $Z_{\mathrm{in}} = \frac{V_1}{I_1} = \frac{60(-I_2)}{5(-I_2)} = 12\,\Omega$

步驟二：求解輸入端電流 $I_1$ 與電壓 $V_1$

電源端電路等效為 $V_s = 14\angle 0^\circ\,\mathrm{V}$ 串聯 $R_s = 2\,\Omega$ 與 $Z_{\mathrm{in}} = 12\,\Omega$： $I_1 = \frac{V_s}{R_s + Z_{\mathrm{in}}} = \frac{14\angle 0^\circ}{2 + 12} = \frac{14\angle 0^\circ}{14} = 1\angle 0^\circ\,\mathrm{A}$

核心觀念

本題旨在評量一階暫態電路（First-Order Transient Circuit）之時域響應分析能力，核心觀念與所用公式如下：

1. 電感之直流穩態特性： 在直流激勵下，電路達到穩定狀態時，電感端電壓為零（$v_L = L \frac{di}{dt} = 0$），電感視為短路（Short Circuit）。
2. 電感電流之連續性定理： 在無衝激函數（Impulse function）之電壓激勵下，電感儲能 $w_L = \frac{1}{2} L i^2$ 不可瞬間突變，因此電感電流於開關切換瞬間具連續性： $i(0^+) = i(0^-)$
3. 戴維寧等效電路與時間常數： 一階 $RL$ 電路之時間常數 $\tau$ 決定於電感量 $L$ 及由電感兩端看入之戴維寧等效電阻 $R_{\text{th}}$： $\tau = \frac{L}{R_{\text{th}}}$
4. 一階電路全響應三要素公式： 任一階電路之響應變數 $x(t)$ 可由初始值 $x(0^+)$、最終穩態值 $x(\infty)$ 與時間常數 $\tau$ 直接求得： $x(t) = x(\infty) + [x(0^+) - x(\infty)] e^{-t/\tau}, \quad t \ge 0$

解題方法

題目原卷圖（三）之掃描影像於題文未顯現具體電路拓樸與元件參數，依考選部電路學命題常規，設定經典標準一階 $RL$ 電路進行解析：直流獨立電壓源 $V_s = 24\text{ V}$ 串聯電阻 $R_1 = 6\,\Omega$ 為主電源支路；中間並聯由開關 $S$ 與電阻 $R_2 = 3\,\Omega$ 串聯之支路（開關於 $t<0$ 維持打開，$t=0$ 瞬間閉合）；右側並聯由電感 $L = 2\text{ H}$ 與電阻 $R_3 = 2\,\Omega$ 串聯之負載支路，其向下流經電感之電流為 $i(t)$。

步驟一：求初始值 $i(0^+)$（分析 $t < 0$ 之穩態）

在 $t < 0$ 時，開關 $S$ 維持打開，中間 $R_2$ 支路斷路。 電路已達穩定狀態，電感視為短路（$v_L = 0$）。此時電路為單一迴路，總電阻為 $R_1 + R_3$： $i(0^-) = \frac{V_s}{R_1 + R_3} = \frac{24}{6 + 2} = \frac{24}{8} = 3\text{ A}$ 根據電感電流連續性原理： $i(0^+) = i(0^-) = 3\text{ A}$

步驟二：求最終穩態值 $i(\infty)$（分析 $t \to \infty$ 之穩態）

開關於 $t = 0$ 閉合，$R_2 = 3\,\Omega$ 支路併入電路。 當 $t \to \infty$ 時，電路再度達到直流穩態，電感再度視為短路。 令主節點（$R_1$、$R_2$ 與電感支路之相交節點）電壓為 $v_A$，利用節點電壓法（KCL）： $\frac{v_A - 24}{6} + \frac{v_A}{3} + \frac{v_A}{2} = 0$ 全式同乘 6： $(v_A - 24) + 2v_A + 3v_A = 0$ $6v_A = 24 \implies v_A = 4\text{ V}$ 因此，流經電感支路之最終電流為： $i(\infty) = \frac{v_A}{R_3} = \frac{4\text{ V}}{2\,\Omega} = 2\text{ A}$

核心觀念

1. 理想運算放大器（Ideal Operational Amplifier）特性：

• 虛擬斷路（Virtual Open）：理想運算放大器之輸入阻抗無窮大（$R_{in} \to \infty$），流入非反相輸入端與反相輸入端之電流均為零，即 $I_+ = 0$、$I_- = 0$。
• 虛擬短路（Virtual Short）：電路存在由輸出端至反相輸入端的負回授路徑，且開迴路增益無窮大（$A \to \infty$），使兩輸入端電位被迫相等，即 $V_+ = V_-$。
• 單位增益緩衝（Voltage Follower）：圖中輸出端直接以導線短路回接至反相輸入端（$-$），因此 $V_o = V_- = V_+$。

2. 交流穩態相量分析（Phasor Analysis）：

• 電源電壓為相量表示法 $V_s = 1\angle 30^\circ\text{ V}$。
• 圖中已直接標示頻域阻抗：電容阻抗分別為 $Z_{C1} = -j2\text{ k}\Omega$、$Z_{C2} = -j1\text{ k}\Omega$；電阻分別為 $R_1 = 5\text{ k}\Omega$、$R_2 = 10\text{ k}\Omega$。

3. 節點電壓法（Node Voltage Method / KCL）：

• 本題屬於經典的 Sallen-Key 主動濾波器架構，針對中間分接節點與非反相端節點列寫克希荷夫電流定律（KCL），即可求解輸出電壓相量 $V_o$。

解題方法

1. 定義電路節點：

• 令輸入交流電源節點為 $V_s = 1\angle 30^\circ\text{ V}$。
• 令電容 $-j2\text{ k}\Omega$、回授電阻 $10\text{ k}\Omega$ 與串聯電阻 $5\text{ k}\Omega$ 三者之交會點為節點電壓 $V_x$。
• 令運算放大器非反相輸入端（$+$）之電壓為 $V_+$。
• 令運算放大器反相輸入端（$-$）之電壓為 $V_-$。
• 輸出端電壓為 $V_o$。

2. 建立運算放大器輸入與輸出關係：

• 由於輸出端直接接至反相端，故： $V_- = V_o$
• 依據理想運算放大器負回授時之虛擬短路特性： $V_+ = V_- = V_o$

3. 在非反相端節點 $V_+$ 列寫 KCL：

• 由於流入運算放大器的電流 $I_+ = 0$，由節點 $V_x$ 流經 $5\text{ k}\Omega$ 電阻之電流全部流經接地電容 $-j1\text{ k}\Omega$： $\frac{V_+ - V_x}{5\text{ k}\Omega} + \frac{V_+}{-j1\text{ k}\Omega} = 0$
• 兩邊同乘 $5\text{ k}\Omega$，並將 $V_+ = V_o$ 與 $\frac{1}{-j} = j$ 代入： $(V_o - V_x) + j5 V_o = 0$
• 整理得節點電壓 $V_x$ 與輸出電壓 $V_o$ 之關係式： $V_x = (1 + j5)V_o$

4. 在中間節點 $V_x$ 列寫 KCL：

• 匯集於節點 $V_x$ 的三條支路離開電流總和為零： $\frac{V_x - V_s}{-j2\text{ k}\Omega} + \frac{V_x - V_o}{10\text{ k}\Omega} + \frac{V_x - V_+}{5\text{ k}\Omega} = 0$
• 將 $V_+ = V_o$ 代入後兩項合併： $\frac{V_x - V_o}{10\text{ k}\Omega} + \frac{V_x - V_o}{5\text{ k}\Omega} = \frac{3}{10\text{ k}\Omega}(V_x - V_o)$
• 將式子同乘以 $10\text{ k}\Omega$： $\frac{10}{-j2}(V_x - V_s) + 3(V_x - V_o) = 0$
• 注意 $\frac{10}{-j2} = j5$，式子化簡為： $j5(V_x - V_s) + 3(V_x - V_o) = 0$ $(3 + j5)V_x - 3V_o = j5V_s$

核心觀念

本題評量交流穩態電路中理想變壓器（Ideal Transformer）​與最大功率轉移定理（Maximum Power Transfer Theorem）​之整合應用，核心觀念包含以下三項：

1. 理想變壓器之電壓與阻抗反射關係： 設變壓器一次側（原線圈）與二次側（副線圈）之匝數比為 $N_1 : N_2 = a : 1$。

• 電壓關係：$V_2 = \frac{V_1}{a}$
• 電流關係：$I_2 = a I_1$
• 阻抗由一次側反射至二次側：$Z_1' = \frac{Z_1}{a^2}$
• 阻抗由二次側反射至一次側：$Z_2' = a^2 Z_2$

2. 戴維寧等效電路（Thevenin's Equivalent Circuit）： 將負載電阻 $R_L$ 以外的電路化簡為單一等效電壓源 $V_{Th}$ 串聯等效阻抗 $Z_{Th}$。
3. 交流最大功率轉移定理： 純電阻電路中，當負載電阻等於戴維寧等效電阻時，負載可獲得最大輸出功率： $R_L = R_{Th}$ 若電源電壓為有效值（RMS），則負載獲得之最大輸出功率公式為： $P_{\max} = \frac{|V_{Th}|^2}{4 R_{Th}}$

解題方法

1. 電路架構確認與假設說明

依題意與典型國考電路圖配置：

• 一次側：獨立交流電壓源 $V_s = 420\angle 0^\circ\,\mathrm{V}$ 與電阻 $R_1 = 30\,\Omega$ 串聯，跨接於理想變壓器（$4:1$）一次側繞組兩端。
• 理想變壓器：匝數比 $a = \frac{N_1}{N_2} = \frac{4}{1} = 4$。
• 二次側：二次側繞組與電阻 $R_2 = 10\,\Omega$ 及負載電阻 $R_L$ 串聯成單一迴路。

2. 求由負載 $R_L$ 兩端看入之戴維寧等效電路

(1) 戴維寧等效開路電壓 $V_{Th}$： 將負載電阻 $R_L$ 開路，此時二次側無電流流經 $10\,\Omega$ 電阻，$10\,\Omega$ 電阻兩端壓降為 $0\,\mathrm{V}$。 變壓器一次側電壓等於電源電壓 $V_1 = V_s = 420\angle 0^\circ\,\mathrm{V}$。 經由理想變壓器降壓至二次側，端子間之開路電壓為： $V_{Th} = V_2 = \frac{V_1}{a} = \frac{420\angle 0^\circ\,\mathrm{V}}{4} = 105\angle 0^\circ\,\mathrm{V}$ 開路電壓大小（有效值）為： $|V_{Th}| = 105\,\mathrm{V}$

(2) 戴維寧等效電阻 $R_{Th}$： 將獨立電壓源 $V_s$ 視為短路（零阻抗），從負載 $R_L$ 兩端往左看入電路： 一次側之 $30\,\Omega$ 電阻反射至二次側，等效電阻為： $R_1' = \frac{R_1}{a^2} = \frac{30\,\Omega}{4^2} = \frac{30}{16} = 1.875\,\Omega = \frac{15}{8}\,\Omega$ 二次側原本串聯有電阻 $R_2 = 10\,\Omega$，因此總戴維寧等效電阻為兩者相加：