110 鐵路特考高員三級 電力工程 電機機械 考古題詳解

110 年・鐵路特考・高員三級・電力工程
試題代碼 電機機械

第 一 題20 分

圖一為電磁鐵的磁路。鐵芯可視為理想導磁材料（μc→∞\mu_c\to\infty），兩氣隙的截面積皆為 Ag=36 cm2A_g=36\ \mathrm{cm^2}，兩氣隙長度皆為 g=5 mmg=5\ \mathrm{mm}，繞組匝數 N=350N=350，繞組通以直流電流 i=15 Ai=15\ \mathrm{A}。

已知空氣的導磁係數為 μ0=4π×10−7 H/m\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{H/m}。

（一）計算此繞組的電感值 LL，以及氣隙中儲存的磁能 WmW_m。（10 分）

（二）計算此電磁鐵的磁力。（10 分）

【圖一】電磁鐵磁路示意圖：鐵芯導磁係數為 μc→∞\mu_c\to\infty，具有兩個長度為 gg、截面積為 AgA_g 的氣隙；繞組電流為 ii，匝數為 N=350N=350。

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核心觀念

本題考查理想鐵芯電磁鐵的磁路、電感、氣隙磁能與磁力。因鐵芯導磁係數 μc→∞\mu_c\to\infty，磁阻集中在兩個氣隙；磁通依序通過兩個氣隙，因此兩氣隙的磁阻為串聯。

採用的關係式為：

Rg=gμ0Ag,Φ=NiR總,L=NΦi\mathcal{R}_g=\frac{g}{\mu_0 A_g},\qquad \Phi=\frac{Ni}{\mathcal{R}_{\text{總}}},\qquad L=\frac{N\Phi}{i}

氣隙磁能與磁力則使用：

Wm=12Li2,F單一氣隙=Bg2Ag2μ0W_m=\frac{1}{2}Li^2,\qquad F_{\text{單一氣隙}}=\frac{B_g^2A_g}{2\mu_0}

題目未要求納入漏磁與邊緣效應，以下依理想磁路計算。

解題方法

先將單位換算為 SI 制：

Ag=36 cm2=3.6×10−3 m2,g=5 mm=5×10−3 mA_g=36\ \mathrm{cm^2}=3.6\times10^{-3}\ \mathrm{m^2}, \qquad g=5\ \mathrm{mm}=5\times10^{-3}\ \mathrm{m}

（一）電感值與氣隙磁能

兩個相同氣隙串聯，總磁阻為：

R總=2gμ0Ag=2(5×10−3)(4π×10−7)(3.6×10−3)≈2.21×106 A/Wb\mathcal{R}_{\text{總}} =2\frac{g}{\mu_0 A_g} =\frac{2(5\times10^{-3})} {(4\pi\times10^{-7})(3.6\times10^{-3})} \approx 2.21\times10^6\ \mathrm{A/Wb}

磁通量為：

Φ=NiR總=350(15)2.21×106≈2.375×10−3 Wb\Phi=\frac{Ni}{\mathcal{R}_{\text{總}}} =\frac{350(15)}{2.21\times10^6} \approx 2.375\times10^{-3}\ \mathrm{Wb}

因此繞組電感為：

L=NΦi=350(2.375×10−3)15≈5.542×10−2 HL=\frac{N\Phi}{i} =\frac{350(2.375\times10^{-3})}{15} \approx 5.542\times10^{-2}\ \mathrm{H}

即：

L≈0.0554 H\boxed{L\approx 0.0554\ \mathrm{H}}

氣隙中儲存的磁能為：

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第 二 題20 分

圖二的電路中，Tr1Tr1 及 Tr2Tr2 為兩部 60 Hz60\ \mathrm{Hz}、25 kVA25\ \mathrm{kVA}、11.4 kV/380 V11.4\ \mathrm{kV}/380\ \mathrm{V} 之雙繞組單相變壓器。高壓側連接 11.4 kV11.4\ \mathrm{kV} 之正相序電源，低壓側供應 380 V380\ \mathrm{V}、45 kVA45\ \mathrm{kVA}、功率因數 0.80.8 落後之平衡三相負載。忽略變壓器的損失及阻抗。

（一）Tr1Tr1 及 Tr2Tr2 的連接方式，屬於變壓器的哪一種接法？（5 分）

（二）判斷此兩部變壓器是否過載？（5 分）

（三）分別計算兩變壓器傳輸的有效功率及無效功率各為若干？（10 分）

【圖二】電路示意圖：三相 11.4 kV11.4\ \mathrm{kV} 正相序交流電源連接至 Tr1Tr1 與 Tr2Tr2，兩部變壓器低壓側分別連接至三相平衡負載。低壓側標示相電壓／線電流為 a,Iaa,I_a、b,Ibb,I_b、c,Icc,I_c，負載規格為 380 V380\ \mathrm{V}、45 kVA45\ \mathrm{kVA}、功率因數 0.80.8 落後。

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核心觀念

本題考查兩台單相變壓器組成的開三角形（V-V）接法，以及平衡三相負載接上開三角形後的容量分配。

總負載複功率為

S3ϕ=P+jQ,P=3VLILcos⁡ϕ,Q=3VLILsin⁡ϕS_{3\phi}=P+jQ,\qquad P=\sqrt{3}V_LI_L\cos\phi,\qquad Q=\sqrt{3}V_LI_L\sin\phi

開三角形供應平衡三相負載時，每台變壓器的視在功率大小相同，為

∣STr∣=S3ϕ3|S_{Tr}|=\frac{S_{3\phi}}{\sqrt{3}}

不過兩台變壓器分擔的有效功率與無效功率不同；須依圖中的接線極性及正相序判斷。

解題方法

（一）接線方式

圖中一次側只使用兩部單相變壓器，分別接在線間；二次側兩組繞組首尾相接，形成三相端點 a,b,ca,b,c，但沒有第三部變壓器補上三角形的第三邊。因此為開三角形接法，也稱 V-V 接法。

（二）判斷是否過載

每台變壓器的額定容量為 25 kVA25\ \mathrm{kVA}。開三角形供應平衡三相負載時，每台所承受的視在功率為

∣STr1∣=∣STr2∣=453=25.98 kVA|S_{Tr1}|=|S_{Tr2}| =\frac{45}{\sqrt{3}} =25.98\ \mathrm{kVA}

因為

25.98 kVA>25 kVA25.98\ \mathrm{kVA}>25\ \mathrm{kVA}

所以 Tr1、Tr2 兩台均過載。每台負載率約為

25.9825×100%=103.9%\frac{25.98}{25}\times100\%=103.9\%

（三）各台變壓器傳輸的有效功率與無效功率

負載功率因數為 0.80.8 落後，因此

cos⁡ϕ=0.8,sin⁡ϕ=0.6,ϕ=36.87∘\cos\phi=0.8,\qquad \sin\phi=0.6,\qquad \phi=36.87^\circ

全體三相負載的有效功率及無效功率為

P3ϕ=45(0.8)=36 kWP_{3\phi}=45(0.8)=36\ \mathrm{kW} Q3ϕ=45(0.6)=27 kvarQ_{3\phi}=45(0.6)=27\ \mathrm{kvar}
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第 三 題20 分

額定 25 kW25\ \mathrm{kW}、250 V250\ \mathrm{V} 之他激式直流發電機（separately excited DC generator），電樞電阻為 0.14 Ω0.14\ \Omega。在轉速 1200 rpm1200\ \mathrm{rpm} 時，此直流機的磁化曲線如圖三所示。

（一）繪出此發電機的等效電路圖。（5 分）

（二）此直流發電機的額定電樞電流為何？（5 分）

（三）若此發電機轉速保持在 1200 rpm1200\ \mathrm{rpm}，且電樞電流限制在其額定值，當磁場電流為 1.0 A1.0\ \mathrm{A} 時，計算此發電機的端電壓及最大輸出電功率。（5 分）

（四）若此發電機的轉速降低為 900 rpm900\ \mathrm{rpm}，電樞電流限制在其額定值，磁場電流仍保持 1.0 A1.0\ \mathrm{A}，重新計算此發電機的端電壓及最大輸出電功率。（5 分）

【圖三】直流發電機磁化曲線，橫軸為磁場電流 IFI_F（A），縱軸為電樞電壓 EaE_a（V）。

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核心觀念

他激式直流發電機的磁場由獨立電源供應，電樞端電壓與內部感應電勢的關係為

Vt=Ea−IaRaV_t=E_a-I_aR_a

其中 VtV_t 為端電壓、EaE_a 為電樞感應電勢、IaI_a 為電樞電流、RaR_a 為電樞電阻。發電機輸出功率為

Pout=VtIaP_{\text{out}}=V_tI_a

磁化曲線給出 1200 rpm1200\ \mathrm{rpm} 時，磁場電流 IFI_F 與感應電勢 EaE_a 的關係。轉速改變而磁場電流不變時，磁通不變，故感應電勢與轉速成正比。

解題方法

（一）他激式發電機的電樞等效電路為內部電勢 EaE_a 串聯電樞電阻 RaR_a，再接負載；磁場繞組則由獨立電源供電。

獨立磁場電源⟶磁場繞組\text{獨立磁場電源}\longrightarrow \text{磁場繞組} Ea  (內部電勢)  −  Ra  −  (+ Vt −)  −  負載E_a\;(\text{內部電勢})\;-\;R_a\;-\;(+\,V_t\,-)\;-\;\text{負載}

發電機電流由正端流向負載，故端電壓等於內部電勢扣除電樞電阻壓降。

（二）額定輸出功率與端電壓分別為 25 kW25\ \mathrm{kW}、250 V250\ \mathrm{V}，所以額定電樞電流為

Ia,rated=PratedVrated=25 000250=100 AI_{a,\mathrm{rated}} =\frac{P_{\mathrm{rated}}}{V_{\mathrm{rated}}} =\frac{25\,000}{250} =100\ \mathrm{A}

他激式發電機的磁場電流由獨立電源供應，不計入電樞輸出電流，因此此處 Ia=100 AI_a=100\ \mathrm{A}。

（三）由圖三讀得，IF=1.0 AI_F=1.0\ \mathrm{A} 且轉速為 1200 rpm1200\ \mathrm{rpm} 時，Ea=150 VE_a=150\ \mathrm{V}。電樞電流限制為額定值 100 A100\ \mathrm{A}，因此

Vt=Ea−IaRa=150−(100)(0.14)=136 VV_t=E_a-I_aR_a =150-(100)(0.14) =136\ \mathrm{V}
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第 四 題20 分

額定 75 kVA75\ \mathrm{kVA}、480 V480\ \mathrm{V}、四極、Y 接、60 Hz60\ \mathrm{Hz} 之三相同步發電機，每相同步電抗為 1.0 Ω1.0\ \Omega，此發電機之滿載電流為 90 A90\ \mathrm{A}。無載時，調整磁場電流使其端電壓為 480 V480\ \mathrm{V}，然後保持磁場電流不變。

（一）當此發電機供應功率因數 0.80.8 落後之滿載電流時，計算發電機的端電壓。（10 分）

（二）當此發電機供應功率因數 0.80.8 超前之滿載電流時，計算發電機的端電壓。（10 分）

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核心觀念

同步發電機在磁場電流不變時，內部感應電勢 EAE_A 近似固定。發電機每相相量方程式為

E‾A=V‾ϕ+(RA+jXs)I‾A\underline{E}_A=\underline{V}_\phi+(R_A+jX_s)\underline{I}_A

題目未給定電樞電阻，採 RA≈0R_A\approx 0，因此

E‾A=V‾ϕ+jXsI‾A\underline{E}_A=\underline{V}_\phi+jX_s\underline{I}_A

滿載時給定電流為 90 A90\ \mathrm{A}。由無載端電壓設定為 480 V480\ \mathrm{V}，且磁場電流保持不變，可取無載內部感應電勢與相電壓相等。

Y 接時線電壓與相電壓關係為

VL=3VϕV_L=\sqrt{3}V_\phi

因此無載時

EA=Vϕ,0=4803=277.13 VE_A=V_{\phi,0}=\frac{480}{\sqrt{3}}=277.13\ \mathrm{V}

解題方法

以相電壓為基準，分別將落後與超前功率因數的電流寫成相量，再由

V‾ϕ=E‾A−jXsI‾A\underline{V}_\phi=\underline{E}_A-jX_s\underline{I}_A

求負載時的相電壓，最後換算成線電壓。功率因數角為

ϕ=cos⁡−1(0.8)=36.87∘\phi=\cos^{-1}(0.8)=36.87^\circ

且 XsIA=(1.0)(90)=90 VX_s I_A=(1.0)(90)=90\ \mathrm{V}。

（一）功率因數 0.80.8 落後

取端電壓為相量參考，落後電流為

I‾A=90∠(−36.87∘)=90(0.8−j0.6)=72−j54 A\underline{I}_A=90\angle(-36.87^\circ) =90(0.8-j0.6)=72-j54\ \mathrm{A}

由相量方程式：

E‾A=V‾ϕ+j(1)(72−j54)=(Vϕ+54)+j72\underline{E}_A =\underline{V}_\phi+j(1)(72-j54) =(V_\phi+54)+j72
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第 五 題20 分

一部額定 0.5 kW0.5\ \mathrm{kW}、120 V120\ \mathrm{V}、50 Hz50\ \mathrm{Hz} 的電容起動式單相感應電動機，其等效電路如圖四所示。起動時，主繞組與輔助繞組的阻抗參數如下：

主繞組：Zm=6.45+j8.27 ΩZ_m=6.45+j8.27\ \Omega

輔助繞組：Za=11.5+j8.15 ΩZ_a=11.5+j8.15\ \Omega

（一）未使用起動電容器時（電容器 CC 短路），此電動機於額定電壓下起動，求電動機起動電流 ILI_L 的大小及功率因數。（5 分）

（二）欲使用起動電容器，讓輔助繞組電流 IaI_a 與主繞組電流 ImI_m 於起動時相位相差 90∘90^\circ，求起動電容 CC 之值。使用此起動電容器後，計算電動機起動電流 ILI_L 的大小及功率因數。（15 分）

【圖四】電容起動式單相感應電動機等效電路：交流電源頻率為 50 Hz50\ \mathrm{Hz}、電壓為 120 V120\ \mathrm{V}，主繞組與輔助繞組並聯；主繞組電流為 ImI_m，輔助繞組電流為 IaI_a，線路電流為 ILI_L，輔助繞組串聯起動電容器 CC，並設有開關 SWSW。

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核心觀念

主繞組與輔助繞組並聯，兩繞組各自承受 120 V120\ \mathrm{V}。線路起動電流是兩支路電流的相量和：

I‾L=I‾m+I‾a\overline I_L=\overline I_m+\overline I_a

功率因數依線路電流與電源電壓的相位差計算：

pf=PV∣IL∣\mathrm{pf}=\frac{P}{V|I_L|}

電容起動時，串聯電容會使輔助繞組電流超前；題目要求兩繞組電流相差 90∘90^\circ，因此令 I‾a\overline I_a 超前 I‾m\overline I_m 90∘90^\circ。

（一）電容短路時

電容短路後，輔助支路只有阻抗 ZaZ_a。各支路電流為

I‾m=1206.45+j8.27=7.04−j9.02=11.44∠−52.0∘ A\overline I_m=\frac{120}{6.45+j8.27} =7.04-j9.02 =11.44\angle-52.0^\circ\ \mathrm{A} I‾a=12011.5+j8.15=6.95−j4.92=8.51∠−35.3∘ A\overline I_a=\frac{120}{11.5+j8.15} =6.95-j4.92 =8.51\angle-35.3^\circ\ \mathrm{A}

相加得

I‾L=(7.04+6.95)−j(9.02+4.92)=13.98−j13.94 A\overline I_L=(7.04+6.95)-j(9.02+4.92) =13.98-j13.94\ \mathrm{A}

因此

∣IL∣=13.982+13.942≈19.75 A|I_L|=\sqrt{13.98^2+13.94^2} \approx 19.75\ \mathrm{A}

線路電流落後電源電壓，功率因數為

pf=13.9819.75≈0.708\mathrm{pf}=\frac{13.98}{19.75}\approx 0.708

**答：**起動電流約 19.75 A19.75\ \mathrm{A}，功率因數約 0.7080.708（落後）。

（二）加入起動電容器

主繞組阻抗角為

θm=tan⁡−1(8.276.45)≈52.0∘\theta_m=\tan^{-1}\left(\frac{8.27}{6.45}\right)\approx 52.0^\circ

故主繞組電流落後電壓約 52.0∘52.0^\circ。要使輔助繞組電流超前主繞組電流 90∘90^\circ，輔助繞組電流角度須為

θa=−52.0∘+90∘=38.0∘\theta_a=-52.0^\circ+90^\circ=38.0^\circ
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