110 年鐵路特考高員三級電力工程考古題與詳解

Question 1

有一三相電力系統之單線圖如圖 1 所示。變壓器電抗為 $20\%$，以 $100\ \mathrm{MVA}$、$23/115\ \mathrm{kV}$ 為基準，輸電線阻抗為 $Z=j66.125\ \Omega$。匯流排 2 之負載為 $S2=185\ \mathrm{MW}+j6.6\ \mathrm{Mvar}$，匯流排 3 之負載為 $S3=0\ \mathrm{MW}+j20\ \mathrm{Mvar}$。匯流排 3 上之電壓須保持於 $115\angle 0^\circ\ \mathrm{kV}$。 利用標么值，決定匯流排 2 與匯流排 1 的電壓（kV）值。 圖 1 三相電力系統單線圖：發電機 $G$ 連接至匯流排 1，經阻抗 $j66.125\ \Omega$ 連接至匯流排 2；匯流排 2 連接負載 $S2$，匯流排 3 連接負載 $S3$。

Accepted Answer

核心觀念

本題考查標麼值換算、負載複功率與電流的關係，以及串聯電抗上的電壓降。以負載消耗功率為正，採用

S=VI^*,\qquad I=\left(\frac{S}{V}\right)^*

串聯阻抗兩端則有 $V_{\text{前}}=V_{\text{後}}+ZI$ 。匯流排 3 的電壓已知，因此由匯流排 3 往電源端逐段求電壓。

解題方法

1. 設定基準並換算線路阻抗

三相系統取 $100\ \mathrm{MVA}$ 為功率基準，電壓基準依變壓器比取低壓側 $23\ \mathrm{kV}$ 、高壓側 $115\ \mathrm{kV}$ 。高壓側阻抗基準為

Z_{\mathrm{base}}=\frac{(115\ \mathrm{kV})^2}{100\ \mathrm{MVA}} =132.25\ \Omega

因此線路阻抗的標麼值為

Z_{23}=\frac{j66.125}{132.25}=j0.5\ \mathrm{p.u.}

變壓器電抗為 $j0.2\ \mathrm{p.u.}$ 。兩側基準電壓符合變壓器比，故標麼值可直接使用。

2. 由匯流排 3 求匯流排 2 電壓

負載 $S_3=j20\ \mathrm{Mvar}$ 換算為

S_3= j0.2\ \mathrm{p.u.},\qquad V_3=1\angle 0^\circ\ \mathrm{p.u.}

流入負載的電流為

I_{23}=\left(\frac{S_3}{V_3}\right)^* =(-j0.2)\ \mathrm{p.u.}

因此

V_2=V_3+Z_{23}I_{23} =1+j0.5(-j0.2) =1.1\angle 0^\circ\ \mathrm{p.u.}

Question 2

有一電力系統網路如圖 2 所示。匯流排 1 為匱乏匯流排（slack bus），且 $V_1=1.0\angle 0^\circ\ \mathrm{p.u.}$ ；匯流排 2 為負載匯流排，且 $S_2=286.36\ \mathrm{MVA}$ ，功率因數為 $0.9778$ 落後。輸電線阻抗以 $100\ \mathrm{MVA}$ 為基準，為 $Z_{12}=0.02+j0.04\ \mathrm{p.u.}$ 。

利用高斯－賽德法，計算執行三次疊代後的 $V_2$ ； $V_2$ 初始值為 $1.0\angle 0^\circ$ 。

若經過數次疊代後，匯流排 2 之電壓收斂為 $0.9-j0.1\ \mathrm{p.u.}$ ，試計算 $S_1$ 及輸電線之實功率與虛功率損失。

圖 2 二匯流排電力系統圖：匯流排 1 與匯流排 2 之間連接輸電線 $Z_{12}=0.02+j0.04\ \mathrm{p.u.}$ ；匯流排 1 為匱乏匯流排，匯流排 2 之負載為 $S_2=286.36\ \mathrm{MVA}$ ，功率因數為 $0.9778$ 落後。

Accepted Answer

核心觀念 本題考高斯－賽德法計算負載匯流排電壓，以及以複功率計算匯流排注入功率和線路損失。 以 100 MVA 為基準，負載的標麼功率為 $$ S{L2}=\frac{286.36}{100} \left(0.9778+j\sqrt{1-0.9778^2}\right) \approx 2.8000+j0.6000\ \mathrm{p.u.} $$ 這是負載吸收功率，因此匯流排 2 的指定注入功率為 $P2=-2.8$ p.u.、$Q2=-0.6$ p.u.。功率因數落後代表負載吸收感性無功功率。 解題方法 先將線路阻抗換算成導納： $$ Y{12}=\frac{1}{0.02+j0.04}=10-j20\ \mathrm{p.u.} $$ 因此 $Y{22}=10-j20$、$Y{21}=-10+j20$。負載匯流排的高斯－賽德更新式為 $$ V2^{(k+1)} =\frac{1}{Y{22}} \left( \frac{P2-jQ2}{\left(V2^{(k)}\right)^} -Y{21}V1 \right) $$ 代入 $V1=1\angle0^\circ$、$P2=-2.8$、$Q2=-0.6$，得到 $$ V2^{(k+1)} =\frac{1}{10-j20} \left( \frac{-2.8+j0.6}{\left(V2^{(k)}\right)^} +10-j20 \right) $$ 從 $V2^{(0)}=1+j0$ 開始逐次代入：

Question 3

一個三匯流排電力系統的零、正、負相序匯流排阻抗矩陣為： $$ Z{\mathrm{bus}}^{0} =j \begin{bmatrix} 0.20 & 0.05 & 0.12\ 0.05 & 0.10 & 0.08\ 0.12 & 0.08 & 0.30 \end{bmatrix} \ \mathrm{p.u.} $$ $$ Z{\mathrm{bus}}^{1}=Z{\mathrm{bus}}^{2} =j \begin{bmatrix} 0.16 & 0.10 & 0.15\ 0.10 & 0.20 & 0.12\ 0.15 & 0.12 & 0.25 \end{bmatrix} \ \mathrm{p.u.} $$ 試求： （一）直接三相故障發生在匯流排 3 時之標么故障電流與各匯流排電壓。 （二）直接 $a$ 相單線對地故障發生在匯流排 3 時，求標么故障電流與匯流排 3 的各相電壓。

Accepted Answer

核心觀念

本題考查以對稱分量法分析三相短路與單線接地故障。故障點取自序阻抗匯流排矩陣的對角元素；各匯流排的電壓降則由故障點所在欄的互阻抗計算。

假設故障前系統平衡，故障前各匯流排正相電壓為 $1\angle 0^\circ$ p.u.，負相與零相電壓為零；故障阻抗為零。令 $a=1\angle 120^\circ$ ，並採用 $I_a$ 、 $I_b$ 、 $I_c$ 為流入故障點的電流方向。

對稱分量與相量的轉換關係為：

\begin{aligned} V_a&=V_0+V_1+V_2,\\ V_b&=V_0+a^2V_1+aV_2,\\ V_c&=V_0+aV_1+a^2V_2. \end{aligned}

解題方法

（一）匯流排 3 直接三相故障

平衡三相短路只有正相網路參與。匯流排 3 的正相自阻抗為 $Z_{33}^{1}=j0.25$ p.u.，因此故障電流為：

I_{1f}=\frac{V_{3,\mathrm{prefault}}}{Z_{33}^{1}} =\frac{1}{j0.25}=-j4\ \mathrm{p.u.}

三相對稱故障的負相與零相電流為零，所以：

I_{af}=I_{1f}=-j4,\qquad I_{bf}=a^2I_{1f},\qquad I_{cf}=aI_{1f}.

各匯流排的正相電壓由 $V_i^1=V_{i,\mathrm{prefault}}^1-Z_{i3}^1I_{1f}$ 計算；負相與零相電壓均為零。正相阻抗矩陣第 3 欄為 $(j0.15,\ j0.12,\ j0.25)^T$ ，故：

\begin{aligned} V_1^1&=1-(j0.15)(-j4)=0.40,\\ V_2^1&=1-(j0.12)(-j4)=0.52,\\ V_3^1&=1-(j0.25)(-j4)=0. \end{aligned}

由於只有正相電壓，各匯流排三相電壓分別為 $V_{ai}=V_i^1$ 、 $V_{bi}=a^2V_i^1$ 、 $V_{ci}=aV_i^1$ 。

（二）匯流排 3 的 $a$ 相直接單線對地故障

單線接地故障只有 $a$ 相有故障電流，因此序電流相等：

I_{0f}=I_{1f}=I_{2f}=I_s,\qquad I_{af}=3I_s.

三個序網路在故障點串聯。正相網路提供故障前電壓 $1$ p.u.，零相與負相網路的故障前電壓為零。因為故障直接接地，故障點 $V_{af}=0$ ，因此：

I_s=\frac{1}{Z_{33}^{0}+Z_{33}^{1}+Z_{33}^{2}} =\frac{1}{j(0.30+0.25+0.25)} =\frac{1}{j0.80} =-j1.25\ \mathrm{p.u.}

所以故障相電流為：

Question 4

一部 $60\ \mathrm{Hz}$ 同步發電機，其暫態電抗為 $0.2$ 標么，慣量常數為 $6\ \mathrm{MJ/MVA}$ 。此發電機經由一變壓器和雙回路傳輸線連接到無限匯流排，如圖 3 所示。忽略所有電阻值，系統各項以共同的 MVA 基準之電抗標么值標示於圖上。

發電機送出 $0.9$ 標么的實功率到匯流排 1，匯流排 1 上電壓值為 $1.2$ 標么，而無限匯流排電壓為 $V=1.0\angle 0^\circ$ 標么。試決定發電機激磁電壓及搖擺方程式。

若有故障發生在匯流排 1，故障阻抗為 $0.4$ 標么，且發電機激磁電壓保持在故障前的值，試求故障期間的搖擺方程式。

圖 3 系統資料：發電機暫態電抗 $X_d'=0.2$ ，變壓器電抗 $X_t=0.2$ ，匯流排 1 電壓幅值 $|V_1|=1.2$ ，兩條傳輸線電抗分別為 $X_{L1}=0.8$ 、 $X_{L2}=0.8$ ，並連接至無限匯流排 $V=1.0\angle 0^\circ$ 。

Accepted Answer

核心觀念 本題考同步發電機暫態穩定度。先由無限匯流排與匯流排 1 間的功率傳輸求出匯流排 1 的相角，再由發電機內部暫態電勢 $E'$ 求故障前電功率角特性。故障期間則將匯流排 1 的故障阻抗納入網路，重新求電功率角特性。 兩回線並聯的等效電抗為 $$ XL=0.8\parallel0.8=0.4\ 	ext{p.u.} $$ 發電機暫態電抗與變壓器電抗合計為 $$ Xg=Xd'+Xt=0.2+0.2=0.4\ 	ext{p.u.} $$ 忽略電阻，故障阻抗 $0.4$ p.u. 按純電抗 $j0.4$ p.u. 處理。 解題方法 令匯流排 1 電壓為 $V1=1.2\angle	heta1$ p.u.，無限匯流排電壓為 $V=1\angle0^\circ$ p.u.。兩匯流排間的實功率為 $$ P=\frac{|V1||V|}{XL}\sin	heta1 =\frac{1.2	imes1}{0.4}\sin	heta1 =3\sin	heta1 $$ 題目給定 $P=0.9$ p.u.，因此 $$ \sin	heta1=\frac{0.9}{3}=0.3,\qquad 	heta1=17.46^\circ $$ 發電機內部暫態電勢位於 $Xg=0.4$ p.u. 後方。由於流經 $Xg$ 的電流也是由匯流排 1 流向無限匯流排的電流， $$ E'=V1+jXg I $$ 又因為線路電抗也是 $0.4$ p.u.， $$ jXg I=V1-V $$ 所以 $$ E'=2V1-V =2(1.2\angle17.46^\circ)-1\angle0^\circ =1.2895+j0.7200 $$ 因此 $$ E'=1.4769\angle29.16^\circ\ 	ext{p.u.} $$ 故障前由 $E'$ 至無限匯流排的總電抗為 $$ X{\mathrm{pre}}=Xg+XL=0.4+0.4=0.8\ 	ext{p.u.} $$ 故障前電功率為 $$ P{e,\mathrm{pre}} =\frac{|E'||V|}{X{\mathrm{pre}}}\sin\delta =\frac{1.4769}{0.8}\sin\delta =1.8461\sin\delta $$ 機械輸入功率 $Pm=0.9$ p.u.。同步角速度為 $\omegas=2\pi(60)=377$ rad/s，慣量常數 $H=6$ MJ/MVA。搖擺方程式為 $$ \frac{2H}{\omegas}\frac{d^2\delta}{dt^2} =Pm-Pe $$ 代入數值後，故障前方程式為

110 鐵路特考高員三級電力工程電力系統考古題詳解

第 1 題25 分

核心觀念

解題方法

第 2 題25 分

第 3 題25 分

核心觀念

解題方法

（一）匯流排 3 直接三相故障

（二）匯流排 3 的 $a$ 相直接單線對地故障

第 4 題25 分

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核心觀念

解題方法

第 2 題25 分

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核心觀念

解題方法

（一）匯流排 3 直接三相故障

（二）匯流排 3 的 aaa 相直接單線對地故障

第 4 題25 分

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（二）匯流排 3 的 $a$ 相直接單線對地故障