112 鐵路特考高員三級 電力工程 電力系統 考古題詳解

112 年・鐵路特考・高員三級・電力工程
試題代碼 電力系統

第 一 題20 分

圖 1 為一個幅射型電力系統，傳輸線阻抗與操作參數示於圖中。每小題 10 分，共 20 分。

(一) 求此系統的匯流排導納（YY）矩陣，並辨別匯流排種類、已知變數與待求未知變數。

(二) 列出使用高斯－賽德（Gauss-Seidel）法求取匯流排 2 的電壓與相角所需疊代方程式。使用 V2=1.0∠0∘V_2=1.0\angle 0^\circ 作為初值，列出疊代二次過程與結果。

圖 1 系統參數：

  • Bus 1：V1=1.0∠0∘V_1=1.0\angle 0^\circ
  • Bus 2：V2∠θ2V_2\angle\theta_2
  • PD1=0.5P_{D1}=0.5
  • 匯流排 1 與匯流排 2 間傳輸線阻抗：j0.5j0.5
  • jQG2=j0.6jQ_{G2}=j0.6
  • PD2+jQD2=0.8+j0.6P_{D2}+jQ_{D2}=0.8+j0.6

圖 1：一個幅射型電力系統。

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核心觀念

本題考查：

  1. 由傳輸線阻抗求線路導納，建立匯流排導納矩陣 YbusY_{\text{bus}}。
  2. 判別平衡電力系統中的匯流排種類。
  3. 使用 Gauss-Seidel 法解潮流問題。
  4. 複功率注入定義：
Si=Pi+jQi=PGi−PDi+j(QGi−QDi)S_i=P_i+jQ_i=P_{Gi}-P_{Di}+j(Q_{Gi}-Q_{Di})

其中負載視為負的匯流排注入功率。

（一）匯流排導納矩陣與匯流排分類

1. 傳輸線導納

匯流排 1 與匯流排 2 間的線路阻抗為

Z12=j0.5Z_{12}=j0.5

因此線路導納為

y12=1j0.5=−j2y_{12}=\frac{1}{j0.5}=-j2

2. 匯流排導納矩陣

對兩匯流排系統，

Ybus=[y12−y12−y12y12]Y_{\text{bus}} = \begin{bmatrix} y_{12} & -y_{12}\\ -y_{12} & y_{12} \end{bmatrix}

代入 y12=−j2y_{12}=-j2：

Ybus=[−j2j2j2−j2]\boxed{ Y_{\text{bus}} = \begin{bmatrix} -j2 & j2\\ j2 & -j2 \end{bmatrix} }

亦即

[I1I2]=[−j2j2j2−j2][V1V2]\begin{bmatrix} I_1\\ I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -j2 & j2\\ j2 & -j2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_1\\ V_2 \end{bmatrix}

3. 匯流排種類與已知、未知變數

Bus 1：平衡匯流排（Slack Bus）

已知：

∣V1∣=1.0,θ1=0∘|V_1|=1.0,\qquad \theta_1=0^\circ

待求：

P1,Q1P_1,\qquad Q_1

Bus 1 的 P1P_1、Q1Q_1 用來平衡系統總功率及線路損失，因此不需預先指定。

Bus 2：負載匯流排（PQ Bus）

Bus 2 的淨注入功率為

P2=PG2−PD2=0−0.8=−0.8P_2=P_{G2}-P_{D2}=0-0.8=-0.8 Q2=QG2−QD2=0.6−0.6=0Q_2=Q_{G2}-Q_{D2}=0.6-0.6=0

因此 Bus 2 為 PQ Bus。

已知：

P2=−0.8,Q2=0P_2=-0.8,\qquad Q_2=0

待求：

∣V2∣,θ2|V_2|,\qquad \theta_2

圖中 Bus 1 的 PD1=0.5P_{D1}=0.5 屬於平衡匯流排的負載資料，會反映在最後所需的平衡功率 P1P_1 中，但不影響本小題的 YbusY_{\text{bus}} 矩陣及 Bus 2 的疊代計算。

（二）Gauss-Seidel 疊代法

1. 疊代方程式

潮流方程式為

Ii=∑j=1nYijVjI_i=\sum_{j=1}^{n}Y_{ij}V_j

又因為

Si=ViIi∗S_i=V_i I_i^*

可得 Gauss-Seidel 電壓疊代式：

Vi(k+1)=1Yii[Pi−jQi(Vi(k))∗−∑j≠iYijVj]V_i^{(k+1)} = \frac{1}{Y_{ii}} \left[ \frac{P_i-jQ_i}{\left(V_i^{(k)}\right)^*} -\sum_{j\neq i}Y_{ij}V_j \right]

對 Bus 2 而言：

Y22=−j2,Y21=j2Y_{22}=-j2,\qquad Y_{21}=j2

且

P2=−0.8,Q2=0,V1=1∠0∘=1P_2=-0.8,\qquad Q_2=0,\qquad V_1=1\angle0^\circ=1

所以

V2(k+1)=1−j2[−0.8(V2(k))∗−j2]V_2^{(k+1)} = \frac{1}{-j2} \left[ \frac{-0.8}{\left(V_2^{(k)}\right)^*} -j2 \right]

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第 二 題20 分

圖 2 為一個三相平衡配電系統供電兩組平衡負載電路，電源為 aa-bb-cc 相序，電源線電壓有效值為 3.45 kV3.45\ \mathrm{kV}。兩組負載均為平衡負載，因此在圖 2 上僅標示每相阻抗值。每小題 10 分，共 20 分。

(一) 計算負載吸收總三相總視在功率、總實（有效）功率與總虛（無效）功率。

(二) 計算負載匯流排線電壓與電壓調整率（V.R.%）。

圖 2 系統配置：

  • 三相電源線電壓：Vab=3.45 kVV_{ab}=3.45\ \mathrm{kV}
  • 電源線為三相配電線，每相串聯阻抗為 j0.2 Ωj0.2\ \Omega
  • 負載匯流排端點為 a′a'、b′b'、c′c'、n′n'
  • 第一組平衡負載為三角形接線，每相阻抗為 3.2+j2 Ω3.2+j2\ \Omega
  • 第二組平衡負載為星形接線，每相阻抗為 9.6+j6 Ω9.6+j6\ \Omega

圖 2：一個三相平衡配電系統供電兩組平衡負載電路。

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核心觀念

本題考查三相平衡配電系統的：

  1. 三角形負載與星形負載的等效轉換。
  2. 平衡三相電路的每相等效分析。
  3. 三相複功率計算：
S‾3ϕ=3V‾ϕI‾ϕ∗=P+jQ\underline{S}_{3\phi}=3\underline{V}_{\phi}\underline{I}_{\phi}^{*} =P+jQ
  1. 線電壓與相電壓關係： Vϕ=VLL3V_{\phi}=\frac{V_{LL}}{\sqrt{3}}
  2. 電壓調整率：
V.R.%=V無載−V滿載V滿載×100%\mathrm{V.R.}\%= \frac{V_{\text{無載}}-V_{\text{滿載}}}{V_{\text{滿載}}}\times100\%

由於系統、線路及兩組負載皆為平衡三相電路，可採每相等效電路計算。

解題方法

一、求負載等效阻抗

第一組為三角形負載：

ZΔ=3.2+j2 ΩZ_{\Delta}=3.2+j2\ \Omega

換算成每相星形等效阻抗：

ZΔ→Y=ZΔ3=1.0667+j0.6667 ΩZ_{\Delta\to Y}=\frac{Z_{\Delta}}{3} =1.0667+j0.6667\ \Omega

第二組為星形負載：

ZY=9.6+j6=9(1.0667+j0.6667) ΩZ_Y=9.6+j6 =9(1.0667+j0.6667)\ \Omega

兩組負載並聯，因此負載每相等效阻抗為：

ZL=ZΔ→Y∥ZYZ_L=Z_{\Delta\to Y}\parallel Z_Y

因為 ZY=9ZΔ→YZ_Y=9Z_{\Delta\to Y}，所以：

ZL=910ZΔ→Y=0.96+j0.6 ΩZ_L=\frac{9}{10}Z_{\Delta\to Y} =0.96+j0.6\ \Omega

線路每相阻抗為：

Zline=j0.2 ΩZ_{\text{line}}=j0.2\ \Omega

因此電源至負載匯流排的每相總阻抗：

Ztotal=Zline+ZL=0.96+j0.8 ΩZ_{\text{total}}=Z_{\text{line}}+Z_L =0.96+j0.8\ \Omega

（一）負載吸收總三相功率

1. 電源相電壓與線電流

電源線電壓有效值為：

VLL,s=3.45 kVV_{LL,s}=3.45\ \mathrm{kV}

電源相電壓：

Vϕ,s=3.453=1.9919 kVV_{\phi,s}=\frac{3.45}{\sqrt{3}} =1.9919\ \mathrm{kV}

線電流即每相電流，其有效值為：

Iϕ=Vϕ,s∣Ztotal∣I_{\phi} =\frac{V_{\phi,s}}{|Z_{\text{total}}|}

其中：

∣Ztotal∣=0.962+0.82=1.5616=1.2496 Ω|Z_{\text{total}}| =\sqrt{0.96^2+0.8^2} =\sqrt{1.5616} =1.2496\ \Omega

所以：

Iϕ=1991.91.2496≈1594 AI_{\phi} =\frac{1991.9}{1.2496} \approx1594\ \mathrm{A}

其平方為：

Iϕ2≈2.5407×106I_{\phi}^2\approx2.5407\times10^6

2. 負載總實功率與虛功率

負載複功率為：

S‾L=3Iϕ2ZL=3Iϕ2(0.96+j0.6)\underline{S}_L =3I_{\phi}^2Z_L =3I_{\phi}^2(0.96+j0.6)

因此總實功率：

PL=3Iϕ2(0.96)≈7.317×106 WP_L=3I_{\phi}^2(0.96) \approx7.317\times10^6\ \mathrm{W} PL≈7.32 MW\boxed{P_L\approx7.32\ \mathrm{MW}}

總虛功率：

QL=3Iϕ2(0.6)≈4.573×106 varQ_L=3I_{\phi}^2(0.6) \approx4.573\times10^6\ \mathrm{var} QL≈4.57 Mvar\boxed{Q_L\approx4.57\ \mathrm{Mvar}}

因為 QL>0Q_L>0，所以負載呈感性。

3. 負載總視在功率

∣SL∣=PL2+QL2|S_L|=\sqrt{P_L^2+Q_L^2}

或直接利用：

∣SL∣=3Iϕ2∣ZL∣|S_L|=3I_{\phi}^2|Z_L|

其中：

∣ZL∣=0.962+0.62=1.2816=1.1321 Ω|Z_L|=\sqrt{0.96^2+0.6^2} =\sqrt{1.2816} =1.1321\ \Omega

所以：

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第 三 題20 分

圖 3 為一個具有 3 個操作電壓等級的三相平衡電力系統單線圖，負載為一部等效同步電動機。圖中各電力設備的標么電抗為以本身額定為基準計算得到，三相傳輸線的每相總電抗實際值標於圖中，發電機電源線的電壓為 20 kV20\ \mathrm{kV}。每小題 10 分，共 20 分。

(一) 選取發電機的額定作為全系統標么計算基準值，繪出標么系統圖。

(二) 假設同步電動機在 13.2 kV13.2\ \mathrm{kV}、180 MW180\ \mathrm{MW}、功率因數 1.01.0 運轉，計算發電機輸出電壓實際值。

圖 3 系統單線圖：

  • Bus 1 至 Bus 2：發電機 G1G1，額定容量 300 MVA300\ \mathrm{MVA}、額定電壓 20 kV20\ \mathrm{kV}，次暫態電抗 Xd′′=20%X_d''=20\%。
  • Bus 2 至 Bus 3：變壓器 T1T1，額定容量 350 MVA350\ \mathrm{MVA}、額定電壓比 20 kV/230 kV20\ \mathrm{kV}/230\ \mathrm{kV}，標么電抗 XT1=0.1 puX_{T1}=0.1\ \mathrm{pu}。
  • Bus 3 至 Bus 4：輸電線，每相總電抗為 j32 Ω/phasej32\ \Omega/\mathrm{phase}。
  • Bus 4 至 Bus 5：變壓器 T2T2，額定容量 300 MVA300\ \mathrm{MVA}、額定電壓比 220 kV/13.2 kV220\ \mathrm{kV}/13.2\ \mathrm{kV}，標么電抗 XT2=0.1 puX_{T2}=0.1\ \mathrm{pu}。
  • Bus 5：同步電動機 MM，額定容量 300 MVA300\ \mathrm{MVA}、額定電壓 13.2 kV13.2\ \mathrm{kV}，次暫態電抗 Xd′′=18%X_d''=18\%。

圖 3：一個三相電力系統單線圖。

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核心觀念

本題考查：

  1. 多電壓等級電力系統的標么值換算。
  2. 變壓器兩側基準電壓的配置。
  3. 三相負載電流計算。
  4. 發電機內部電勢與端電壓的相量關係。

選定發電機額定值為全系統基準：

SB=300 MVA,VB1=20 kVS_B=300\ \text{MVA},\qquad V_{B1}=20\ \text{kV}

三相系統基準阻抗為：

ZB=VB2SBZ_B=\frac{V_B^2}{S_B}

其中電壓採線電壓，容量採三相總容量。

（一）標么系統圖

1. 各母線基準電壓

沿變壓器額定電壓比配置基準電壓：

VB1=VB2=20 kVV_{B1}=V_{B2}=20\ \text{kV}

經過 T1T1：

VB3=20×23020=230 kVV_{B3}=20\times\frac{230}{20}=230\ \text{kV}

經過 T2T2：

VB4=VB5=230×13.2220=13.8 kVV_{B4}=V_{B5}=230\times\frac{13.2}{220} =13.8\ \text{kV}

注意：由於 T2T2 的高壓側額定電壓為 220 kV220\ \text{kV}，而前一級基準電壓為 230 kV230\ \text{kV}，因此低壓側基準電壓為 13.8 kV13.8\ \text{kV}，不是 13.2 kV13.2\ \text{kV}。

2. 各設備標么電抗

發電機

發電機額定值與系統基準相同，因此：

XG1=0.20 puX_{G1}=0.20\ \text{pu}

變壓器 T1T1

原標么值基準為 350 MVA350\ \text{MVA}，電壓基準與額定電壓相同，換算為 300 MVA300\ \text{MVA} 基準：

XT1,new=0.1(300350)=0.0857 puX_{T1,\text{new}} =0.1\left(\frac{300}{350}\right) =0.0857\ \text{pu}

輸電線

在 230 kV230\ \text{kV}、300 MVA300\ \text{MVA} 基準下：

ZB,230=2302300=176.33 ΩZ_{B,230} =\frac{230^2}{300} =176.33\ \Omega

因此輸電線標么電抗為：

XL=32176.33=0.1815 puX_L=\frac{32}{176.33} =0.1815\ \text{pu}

變壓器 T2T2

T2T2 原標么值以 300 MVA300\ \text{MVA}、220/13.2 kV220/13.2\ \text{kV} 為基準。換算至 230/13.8 kV230/13.8\ \text{kV} 基準：

XT2,new=0.1(300300)(230220)2=0.1093 puX_{T2,\text{new}} =0.1\left(\frac{300}{300}\right) \left(\frac{230}{220}\right)^2 =0.1093\ \text{pu}

同步電動機

同步電動機額定容量為 300 MVA300\ \text{MVA}，但其額定電壓 13.2 kV13.2\ \text{kV} 與新基準電壓 13.8 kV13.8\ \text{kV} 不同：

XM,new=0.18(13.213.8)2=0.1647 puX_{M,\text{new}} =0.18\left(\frac{13.2}{13.8}\right)^2 =0.1647\ \text{pu}

3. 標么系統圖

因此，標么等效系統可表示為：

EG  −  j0.20  −  j0.0857  −  j0.1815  −  j0.1093  −  VM  −  j0.1647  −  EME_G \;-\;j0.20 \;-\;j0.0857 \;-\;j0.1815 \;-\;j0.1093 \;-\;V_M \;-\;j0.1647 \;-\;E_M

其中各段依序為：

  • 發電機：j0.20 puj0.20\ \text{pu}
  • T1T1：j0.0857 puj0.0857\ \text{pu}
  • 輸電線：j0.1815 puj0.1815\ \text{pu}
  • T2T2：j0.1093 puj0.1093\ \text{pu}
  • 同步電動機：j0.1647 puj0.1647\ \text{pu}
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第 四 題20 分

就以下 2 種常用的過電流保護電驛，請繪出並說明基本接線方塊圖、動作公式與保護目的。每小題 10 分，共 20 分。

(一) 瞬時／延時過電流電驛（50／51）。

(二) 差動電驛（87）。

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核心觀念

本題考兩種過電流保護方式的判別與基本設計：

  • 50／51 過電流電驛：比較電流是否超過整定值；50 為瞬時動作，51 為反時限或定時限延時動作。
  • 87 差動電驛：比較保護區域各端的電流。正常負載或區外故障時，流入與流出電流平衡；區內故障時，平衡遭破壞，電驛動作。

圖中 CT 為比流器，CB 為斷路器，Trip 為跳脫線圈。電驛接點通常接入直流控制電源迴路，以跳開斷路器。

（一）瞬時／延時過電流電驛（50／51）

基本接線方塊圖

電源 ── CB ── CT ── 被保護設備／線路
 │
 ├── 50 瞬時過電流元件 ──┐
 └── 51 延時過電流元件 ──┴── 跳脫迴路 ── CB 跳脫線圈

CT 將一次側電流縮小為電驛可量測的二次側電流。50 與 51 元件可共用 CT 二次電流，各自依整定值判斷是否啟動跳脫迴路。

動作公式與特性

設電驛量測電流為 II，拾取電流整定值為 IpuI_{\mathrm{pu}}。

50 瞬時過電流元件：

I≥Ipu,50⟹t≈tinstI \geq I_{\mathrm{pu},50} \quad\Longrightarrow\quad t \approx t_{\mathrm{inst}}

電流超過整定值後即發出跳脫命令，僅有電驛本身及斷路器的固有動作時間，沒有刻意設定的延時。

51 延時過電流元件：

I≥Ipu,51⟹t=top(I)I \geq I_{\mathrm{pu},51} \quad\Longrightarrow\quad t = t_{\mathrm{op}}(I)

若採反時限特性，故障電流越大，動作時間越短；一般反時限式可表示為

top=TMS(k(I/Ipu)α−1+c)t_{\mathrm{op}} = \mathrm{TMS} \left( \frac{k}{(I/I_{\mathrm{pu}})^\alpha-1} + c \right)

其中 I/IpuI/I_{\mathrm{pu}} 為電流倍數，TMS 為時間倍率，k、α、ck、\alpha、c 由所選電驛曲線決定。若採定時限式，拾取後則以設定時間延遲動作。

保護目的與協調

50 用於快速切除近端、故障電流較大的故障；51 用於提供較廣的過電流後備保護，並可利用延時與下游保護協調，讓故障區段附近的保護先動作。整定時須同時考量最大負載電流、故障電流與上下游保護的時間電流協調。

（二）差動電驛（87）

基本接線方塊圖

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第 五 題20 分

一個三相、60 Hz60\ \mathrm{Hz}、600 V600\ \mathrm{V} 負載匯流排供應兩組三相負載，其中負載 1 吸收實功率 300 kW300\ \mathrm{kW}、功率因數 0.7070.707 落後，負載 2 吸收視在功率 100 kVA100\ \mathrm{kVA}、功率因數 1.01.0。欲規劃在負載匯流排裝置一組三相、三角接線功因補償電容器組，以將負載總功率因數改善到 0.950.95 落後。每小題 10 分，共 20 分。

(一) 計算功因補償電容的三相總虛功率與每相電容值。

(二) 計算負載功率因數補償前、後的電源線電流值。

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核心觀念

三相平衡負載的實功率、虛功率與視在功率滿足功率三角形關係：

S=P2+Q2,pf=cos⁡ϕ=PS,Q=Ptan⁡ϕS=\sqrt{P^2+Q^2},\qquad \mathrm{pf}=\cos\phi=\frac{P}{S},\qquad Q=P\tan\phi

感性負載的虛功率為正（落後）；並聯電容器提供超前虛功率，用以抵銷負載的部分感性虛功率。補償後若仍為 0.950.95 落後，代表電源仍須供應感性虛功率。

三相平衡負載的線電流可由總視在功率計算：

S=3VLILS=\sqrt{3}V_L I_L

其中 VLV_L 為線電壓，ILI_L 為線電流。三角接線電容器每相承受線電壓，因此每相電容的虛功率為 Qphase=ωCVL2Q_{\mathrm{phase}}=\omega C V_L^2，三相總虛功率為 QC=3ωCVL2Q_C=3\omega C V_L^2，其中 ω=2πf\omega=2\pi f。

解題方法

（一）電容器三相總虛功率與每相電容值

負載 1 的實功率為 P1=300 kWP_1=300\ \mathrm{kW}，功率因數為 0.7070.707 落後。取 cos⁡ϕ1=0.707\cos\phi_1=0.707，則：

tan⁡ϕ1=1−0.70720.707≈1\tan\phi_1=\frac{\sqrt{1-0.707^2}}{0.707}\approx 1

因此負載 1 的虛功率為：

Q1=P1tan⁡ϕ1≈300 kvarQ_1=P_1\tan\phi_1\approx 300\ \mathrm{kvar}

負載 2 的視在功率為 100 kVA100\ \mathrm{kVA}，功率因數為 1.01.0，故：

P2=100 kW,Q2=0P_2=100\ \mathrm{kW},\qquad Q_2=0

補償前總實功率與總虛功率為：

PT=P1+P2=400 kWP_T=P_1+P_2=400\ \mathrm{kW} QT=Q1+Q2≈300 kvarQ_T=Q_1+Q_2\approx 300\ \mathrm{kvar}

補償後總功率因數為 0.950.95 落後，故電源仍需供應的感性虛功率為：

Qafter=PTtan⁡(cos⁡−10.95)=400(1−0.9520.95)≈131.5 kvarQ_{\mathrm{after}} =P_T\tan(\cos^{-1}0.95) =400\left(\frac{\sqrt{1-0.95^2}}{0.95}\right) \approx 131.5\ \mathrm{kvar}

電容器應抵銷的虛功率為：

QC=QT−Qafter≈300−131.5=168.5 kvarQ_C=Q_T-Q_{\mathrm{after}} \approx 300-131.5 =168.5\ \mathrm{kvar}

以電容器提供超前虛功率的大小表示，三相總電容虛功率為 168.5 kvar168.5\ \mathrm{kvar}。

三角接線時，每相電容承受 VL=600 VV_L=600\ \mathrm{V}，且 f=60 Hzf=60\ \mathrm{Hz}：

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