112 鐵路特考高員三級 電力工程 電機機械 考古題詳解

112 年・鐵路特考・高員三級・電力工程
試題代碼 電機機械

第 一 題20 分

將 10 V10\ \mathrm{V} 的直流電壓源經開關跨接於一個 500 mH500\ \mathrm{mH} 的電感器上。電感器之繞線電阻為 0.5 Ω0.5\ \Omega，當電流高於 10 A10\ \mathrm{A} 時，磁芯開始進入飽和區。繪出開關投入後，電感電流隨時間變化的情形。

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核心觀念

本題考查直流電源接通串聯 RR-LL 電路時的電流暫態，以及電感磁芯飽和後電感值下降所造成的電流上升加速。

未飽和時：

v=Ri+Ldidtv=Ri+L\frac{di}{dt}

其中：

  • V=10 VV=10\ \mathrm{V}
  • R=0.5 ΩR=0.5\ \Omega
  • L=500 mH=0.5 HL=500\ \mathrm{mH}=0.5\ \mathrm{H}
  • 穩態電流：
I∞=VR=100.5=20 AI_{\infty}=\frac{V}{R}=\frac{10}{0.5}=20\ \mathrm{A}
  • 時間常數：
τ=LR=0.50.5=1 s\tau=\frac{L}{R}=\frac{0.5}{0.5}=1\ \mathrm{s}

電感電流具有連續性，因此開關投入瞬間：

i(0+)=i(0−)=0i(0^+)=i(0^-)=0

解題方法

一、未進入飽和區

假設開關投入前電流為零，未飽和時的電流為標準直流串聯 RR-LL 電路響應：

i(t)=I∞(1−e−t/τ)i(t)=I_{\infty}\left(1-e^{-t/\tau}\right)

代入數值：

i(t)=20(1−e−t) Ai(t)=20\left(1-e^{-t}\right)\ \mathrm{A}

磁芯在電流達到 10 A10\ \mathrm{A} 時開始飽和，因此飽和開始時間 tst_s 滿足：

10=20(1−e−ts)10=20\left(1-e^{-t_s}\right) e−ts=12e^{-t_s}=\frac{1}{2} ts=ln⁡2=0.693 st_s=\ln 2=0.693\ \mathrm{s}

所以在 0≤t≤0.693 s0\leq t\leq 0.693\ \mathrm{s}：

i(t)=20(1−e−t) A\boxed{i(t)=20(1-e^{-t})\ \mathrm{A}}

二、進入飽和區後

磁芯飽和後，增量電感量大幅下降。題目未提供飽和後的電感值，因此無法求出飽和區的精確時間常數；但電流波形可確定具有以下特徵：

  1. 電流在 ts=0.693 st_s=0.693\ \mathrm{s} 時仍為 10 A10\ \mathrm{A}。
  2. 電流不能突然跳變。
  3. 飽和後因電感量降低，電流上升斜率變大。
  4. 最終仍受繞線電阻限制，趨近於：
i(∞)=100.5=20 Ai(\infty)=\frac{10}{0.5}=20\ \mathrm{A}

若以飽和後等效電感 LsL_s 為常數，則：

τs=LsR\tau_s=\frac{L_s}{R}

且 t≥tst\geq t_s 時：

i(t)=20−(20−10)e−(t−ts)/τsi(t)=20-\left(20-10\right)e^{-(t-t_s)/\tau_s}

即：

i(t)=20−10e−(t−0.693)/τs A\boxed{i(t)=20-10e^{-(t-0.693)/\tau_s}\ \mathrm{A}}

其中：

τs=Ls0.5\tau_s=\frac{L_s}{0.5}
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第 二 題20 分

將兩部額定為 12 kV/240 V12\ \mathrm{kV}/240\ \mathrm{V} 之單相隔離變壓器，以開 YY－開 Δ\Delta（Open Y–Open Δ\Delta）接法供應三相 Δ\Delta 接之負載，繪出接線圖，並計算當輸出為 220 V220\ \mathrm{V} 時之輸入線電壓。

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核心觀念

本題考查兩部單相變壓器組成：

  • 一次側：開 Y（Open Y）
  • 二次側：開 Δ\Delta（Open Δ\Delta）
  • 負載：三相 Δ\Delta 接

每部單相變壓器額定電壓為 12 kV/240 V12\,\mathrm{kV}/240\,\mathrm{V}，其匝數比為

a=V1ϕV2ϕ=12000240=50a=\frac{V_{1\phi}}{V_{2\phi}} =\frac{12000}{240}=50

開 Y–開 Δ\Delta 接法中：

  1. 一次側兩部變壓器接成開 Y，因此每部一次繞組承受一次側線電壓除以 3\sqrt{3}。
  2. 二次側兩部變壓器接成開 Δ\Delta，兩個二次繞組電壓相差 120∘120^\circ，其向量差形成第三邊電壓。
  3. 因此，開 Δ\Delta 的輸出線電壓為單部變壓器二次繞組電壓的 3\sqrt{3} 倍。

接線圖

一次側以兩部變壓器接成開 Y：

一次側三相電源

 A ───── 一次繞組 T1 ─────┐
 │
 B ───── 一次繞組 T2 ─────┘
 ○ 開 Y 中性點
 C ───────────────────────（不接變壓器）

二次側以兩部變壓器接成開 Δ\Delta：

 x
 ○
 / \
 T1 二次 / \ 第三邊電壓
 / \
 ○───────○
 y T2二次 z

其中：

  • T1T_1 二次繞組接於 x−yx-y 間
  • T2T_2 二次繞組接於 y−zy-z 間
  • x−zx-z 間為由兩個二次電壓向量合成的第三邊電壓
  • 負載接於 x−yx-y、y−zy-z、z−xz-x 三端，形成三相 Δ\Delta 負載

接線時須注意二次側極性，使兩部變壓器的電壓向量能形成開 Δ\Delta，而不是相互抵消。

解題方法與計算

題目給定輸出為三相 Δ\Delta 接，故輸出線電壓即為負載端電壓：

V2L=220 VV_{2L}=220\,\mathrm{V}

在開 Δ\Delta 接法中，單部變壓器二次繞組電壓為

V2ϕ=V2L3=2203=127.02 VV_{2\phi}=\frac{V_{2L}}{\sqrt{3}} =\frac{220}{\sqrt{3}} =127.02\,\mathrm{V}

由變壓器匝數比：

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第 三 題20 分

一部三相四極繞線式轉子感應電動機經滑環外接一電阻，以降低啟動電流、提高啟動轉矩。若外接電阻時可產生最大啟動轉矩，且於 1/21/2 同步轉速時將電阻短路，繪出此感應電動機啟動過程至以轉差率（Slip Rate）0.050.05 穩定運轉時之轉矩對轉速特性曲線。

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核心觀念

本題考查繞線式轉子感應電動機利用滑環外接電阻改善啟動性能，以及不同轉子電阻下的轉矩—轉速特性。

感應電動機的轉差率為

s=ns−nnss=\frac{n_s-n}{n_s}

其中：

  • nsn_s：同步轉速
  • nn：轉子轉速
  • s=1s=1：靜止啟動
  • s=0.5s=0.5：轉速為 1/2ns1/2n_s
  • s=0.05s=0.05：轉速為 0.95ns0.95n_s

本題為四極電動機，其同步轉速為

ns=120fP=120f4=30f rpmn_s=\frac{120f}{P}=\frac{120f}{4}=30f\ \text{rpm}

但題目未給電源頻率，因此以 n/nsn/n_s 表示轉速即可。

解題方法

忽略定子阻抗、以轉子側等效電路表示時，電磁轉矩可寫為

T=KsRTRT2+(sX2′)2T=K\frac{sR_T}{R_T^2+(sX_2')^2}

其中：

  • RT=R2′+Re′R_T=R_2'+R_e'：轉子本身電阻與外接電阻折算至轉子側的總電阻
  • R2′R_2'：轉子本身電阻
  • Re′R_e'：外接電阻折算值
  • X2′X_2'：轉子漏抗
  • KK：與電源電壓及同步角速度有關的常數

最大轉矩發生於

sm=RTX2′s_m=\frac{R_T}{X_2'}

因此，要使啟動時 s=1s=1 即可產生最大啟動轉矩，必須選擇外接電阻，使

sm=1s_m=1

即

R2′+Re′=X2′R_2'+R_e'=X_2'

較完整地考慮定子等效阻抗時，最大轉矩條件可寫成

R2′+Re′s=Rth2+(Xth+X2′)2\frac{R_2'+R_e'}{s} = \sqrt{R_{\text{th}}^2+\left(X_{\text{th}}+X_2'\right)^2}

本題採用考試常用的近似條件，故可直接使用

R2′+Re′=X2′R_2'+R_e'=X_2'

啟動過程分析

第一階段：外接電阻未短路

電動機由靜止開始啟動，此時

s=1,n=0s=1,\qquad n=0

外接電阻使總轉子電阻滿足最大轉矩條件，因此啟動點位於外接電阻特性曲線的最大轉矩點：

Tstart=Tmax⁡T_{\text{start}}=T_{\max}

隨著轉速上升，轉差率由 11 降至 0.50.5，電動機沿著「總轉子電阻較大」的轉矩曲線運轉。

在常用近似下，令

RT=X2′R_T=X_2'

則此段曲線可表示為

T=KsX2′(X2′)2+(sX2′)2=KX2′s1+s2T=K\frac{sX_2'}{(X_2')^2+(sX_2')^2} = \frac{K}{X_2'}\frac{s}{1+s^2}

因此，從 s=1s=1 到 s=0.5s=0.5 時，轉矩由最大值逐漸下降。

第二階段：於 n=1/2nsn=1/2n_s 時短路外接電阻

當

n=12nsn=\frac{1}{2}n_s

即

s=0.5s=0.5

將外接電阻短路，轉子總電阻突然降為

RT=R2′R_T=R_2'

由於轉子電阻突然變小，在相同轉速下，轉矩會產生不連續的下降，因此特性曲線在 n=0.5nsn=0.5n_s 處出現垂直向下的跳變。

短路後的最大轉矩轉差率為

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第 四 題20 分

三相同步發電機以另一部同軸運轉之同步機作為勵磁機（Exciter）。繪出兩同步機之電樞、磁場、整流裝置和三相電源之接線圖，並標明何者為與轉子一起旋轉之部件。

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核心觀念

本題考查「無刷式同步發電機勵磁系統」的結構與能量傳遞。主發電機與勵磁機同軸運轉，勵磁機產生三相交流電，再經由裝設於轉軸上的旋轉整流器整流成直流，供給主同步發電機轉子磁場。

同步機的基本部件如下：

  • 電樞（Armature）：產生或感應三相交流電的一側。
  • 磁場（Field）：建立直流磁通的一側。
  • 整流裝置（Rectifier）：將勵磁機產生的三相交流整流為直流。
  • 三相電源：主同步發電機定子電樞輸出的三相電源，供負載或電力系統使用。

無刷勵磁的關鍵是：主發電機轉子不使用電刷及滑環，所需直流磁場電流直接由旋轉整流器送入主發電機轉子磁場。

接線圖

 同一根轉軸旋轉
 ┌──────────────────────────────────────────┐
 │ │
 │ 勵磁機轉子 旋轉整流器 主發電機轉子
 │ 三相電樞 三相 AC → DC 直流磁場
 │ │
 │ a ───────────────┐ + ───── Fm
 │ b ───────────────┼──► 整流器 ────────┤
 │ c ───────────────┘ − ───── Fm
 │ │
 └──────────────────────────────────────────┘
 │ │
 │ │
 勵磁機定子磁場 Fe 主發電機定子電樞
 │ 三相電樞 Aa、Ab、Ac
 │ │
 直流勵磁電源 Vf A ─────┐
 + ───── Fe ───── − B ─────┼── 三相電源輸出
 C ─────┘
 │
 負載／電力系統

其中：

  • FeF_e：勵磁機定子磁場繞組。
  • a,b,ca,b,c：勵磁機轉子三相電樞繞組。
  • FmF_m：主同步發電機轉子磁場繞組。
  • A,B,CA,B,C：主同步發電機定子三相電樞端子。
  • VfV_f：供給勵磁機磁場的直流電源。
  • 旋轉整流器通常由三相全波二極體橋組成。

解題方法

依照能量流向與各繞組所在位置判斷：

1. 勵磁機定子磁場建立磁通

外部直流電源 VfV_f 供給勵磁機定子磁場繞組 FeF_e，產生固定磁場。

勵磁機磁場磁通可表示為

Φe∝Ife\Phi_e \propto I_{fe}

其中 IfeI_{fe} 為勵磁機磁場電流。

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第 五 題20 分

繪出交直流兩用之通用電動機（Universal Motor）的等效電路，說明其中各參數的物理意義。

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核心觀念

通用電動機（Universal Motor）是串激式電動機，能使用直流電源，也能使用交流電源。其結構主要由：

  • 串聯磁場繞組
  • 電樞繞組
  • 換向器與電刷
  • 鐵心磁路及其漏磁電感

所組成。

其關鍵原理是：交流電源反向時，磁場繞組電流與電樞電流同時反向，因此電磁轉矩方向仍維持不變，故可在交流及直流下運轉。

等效電路

通用電動機的磁場繞組與電樞繞組串聯，等效電路可表示如下：

 Rf Lf Ra La
 ┌────/\/\/─────LLLL────/\/\/────LLLL────┐
 │ │
 ~V或Vdc Ea
 │ │
 └────────────────────────────────────────┘

其中 EaE_a 為電樞旋轉所產生的反電動勢，方向與外加電壓相反。若考慮電刷壓降，則可在電樞支路中另串聯電刷壓降 VbV_b。

較完整的電壓方程式為：

v(t)=Rfi(t)+Lfdi(t)dt+Rai(t)+Ladi(t)dt+ea(t)+vbv(t)=R_f i(t)+L_f\frac{di(t)}{dt} +R_a i(t)+L_a\frac{di(t)}{dt} +e_a(t)+v_b

整理得：

v(t)=(Ra+Rf)i(t)+(La+Lf)di(t)dt+ea(t)+vbv(t)=(R_a+R_f)i(t)+(L_a+L_f)\frac{di(t)}{dt} +e_a(t)+v_b

各參數的物理意義

  1. RfR_f：磁場繞組電阻

表示串聯磁場繞組導線的電阻，會造成銅損：

Pcu,f=i2RfP_{cu,f}=i^2R_f

  1. LfL_f：磁場繞組電感

表示磁場繞組建立磁通及儲存磁能的能力。交流運轉時會產生感抗：

Xf=ωLfX_f=\omega L_f

  1. RaR_a：電樞繞組電阻

表示電樞線圈、換向器及相關導線的等效電阻，會造成電樞銅損：

Pcu,a=i2RaP_{cu,a}=i^2R_a

  1. LaL_a：電樞繞組電感

表示電樞繞組的自感及換向相關電感。交流運轉時產生感抗：

Xa=ωLaX_a=\omega L_a

  1. i(t)i(t)：電樞電流及磁場電流

因為磁場繞組與電樞繞組串聯，所以：

if=ia=ii_f=i_a=i

直流供電時，ii 為單向電流；交流供電時，ii 會週期性反向。

  1. ea(t)e_a(t)：電樞反電動勢

電樞旋轉切割磁通所產生的感應電勢，方向抵抗外加電壓。直流穩態時可寫成：

Ea=keΦωmE_a=k_e\Phi\omega_m

其中 Φ\Phi 為主磁通，ωm\omega_m 為機械角速度，kek_e 為反電動勢常數。

  1. VbV_b：電刷壓降

表示電刷與換向器接觸所造成的電壓降，通常在精確分析及低電壓大電流運轉時納入。

  1. ω\omega：電源角頻率

交流供電時：

ω=2πf\omega=2\pi f

因此總漏電抗為：

Xs=ω(La+Lf)X_s=\omega(L_a+L_f)

直流供電時的等效關係

在直流穩態下，電感壓降為零，因此電壓方程式為：

Vdc=Ea+i(Ra+Rf)+VbV_{dc}=E_a+i(R_a+R_f)+V_b

忽略電刷壓降時：

Vdc=Ea+i(Ra+Rf)V_{dc}=E_a+i(R_a+R_f)
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