107 鐵路特考高員三級 運輸營業 運輸經濟學 考古題詳解

核心觀念

本題為運輸經濟學中經典的生產與成本對偶理論（Duality Theory）​應用於鐵路運輸產業的典型計算申論題。主要測驗觀念如下：

1. 柯布—道格拉斯生產函數（Cobb-Douglas Production Function）之特性：

• 各要素之指數（$r, t, f, l$）代表該要素之產出彈性（Output Elasticity）。
• 規模報酬係數（Returns to Scale）為產出彈性之總和，即 $k = r + t + f + l$。若 $k > 1$ 為規模報酬遞增，若 $k = 1$ 為規模報酬固定，若 $k < 1$ 為規模報酬遞減。

2. 長期成本極小化（Long-Run Cost Minimization）：

• 長期下所有生產要素皆可自由調整。利用拉格朗日乘數法（Lagrangian Multiplier）求解成本極小化問題，推導出條件要素需求函數（Conditional Factor Demand Functions），再代回成本定義式求得長期總成本函數（$LTC$）。

3. 短期成本與鐵路要素特性（Short-Run Cost & Capital Rigidity）：

• 鐵路運輸業具高資本密集與沉沒成本特性。短期內，土地與基礎設施等「軌道（$R$）」難以迅速變更，屬於固定要素；「列車（$T$）」、「燃料（$F$）」與「勞力（$L$）」則可依班次調度調整，屬於變動要素。短期成本函數即在此固定要素限制下求解變動成本與固定成本之和。

4. 要素成本份額（Factor Cost Shares）：

• 根據尤拉定理（Euler's Theorem）與 Cobb-Douglas 函數的一階最適條件，各要素支出占總成本之比例與其產出彈性成正比。

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解題方法

一、符號定義與基本設定

1. 生產函數： $Q = \alpha R^r T^t F^f L^l$ 其中 $\alpha, r, t, f, l > 0$，令規模報酬係數 $k = r + t + f + l$。
2. 假設市場為完全競爭要素市場，四項投入要素之單位價格分別為：

• 軌道（$R$）之使用價格：$P_R$
• 列車（$T$）之租賃／使用價格：$P_T$
• 燃料（$F$）之單價：$P_F$
• 勞力（$L$）之工資率：$P_L$

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二、長期成本函數（$LTC$）與要素成本比例之推導

長期下四項要素皆為變動投入，廠商追求成本極小化： $\min_{R, T, F, L} LTC = P_R R + P_T T + P_F F + P_L L$ $\text{s.t.} \quad \alpha R^r T^t F^f L^l = Q$

步驟 1：建立拉格朗日函數 $\mathcal{L}(R, T, F, L, \lambda) = P_R R + P_T T + P_F F + P_L L + \lambda \left( Q - \alpha R^r T^t F^f L^l \right)$

步驟 2：求一階最適條件（FOC） $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial R} = P_R - \lambda \cdot r \frac{Q}{R} = 0 \implies P_R R = \lambda r Q$ $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial T} = P_T - \lambda \cdot t \frac{Q}{T} = 0 \implies P_T T = \lambda t Q$ $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial F} = P_F - \lambda \cdot f \frac{Q}{F} = 0 \implies P_F F = \lambda f Q$ $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial L} = P_L - \lambda \cdot l \frac{Q}{L} = 0 \implies P_L L = \lambda l Q$

步驟 3：推導四項投入要素所占長期成本比例 將上述四式相加，可得長期總成本： $LTC = P_R R + P_T T + P_F F + P_L L = \lambda Q (r + t + f + l) = \lambda k Q$ 由此可知 $\lambda Q = \frac{LTC}{k}$。將其代回各要素的一階條件式，即可求得各要素支出： $P_R R = \frac{r}{k} LTC, \quad P_T T = \frac{t}{k} LTC, \quad P_F F = \frac{f}{k} LTC, \quad P_L L = \frac{l}{k} LTC$

因此，四項要素占長期總成本之比例（成本份額 $S_i$）分別為：

• 軌道成本比例： $S_R = \frac{P_R R}{LTC} = \frac{r}{r+t+f+l} = \frac{r}{k}$
• 列車成本比例： $S_T = \frac{P_T T}{LTC} = \frac{t}{r+t+f+l} = \frac{t}{k}$
• 燃料成本比例： $S_F = \frac{P_F F}{LTC} = \frac{f}{r+t+f+l} = \frac{f}{k}$
• 勞力成本比例： $S_L = \frac{P_L L}{LTC} = \frac{l}{r+t+f+l} = \frac{l}{k}$ (各要素占總成本的比例為一固定常數，等於該要素產出彈性占總規模報酬之比重。)

步驟 4：導出條件要素需求函數與長期成本函數 由各要素支出式解出最適投入量： $R^* = \frac{r}{k} \frac{LTC}{P_R}, \quad T^* = \frac{t}{k} \frac{LTC}{P_T}, \quad F^* = \frac{f}{k} \frac{LTC}{P_F}, \quad L^* = \frac{l}{k} \frac{LTC}{P_L}$

將 $R^*, T^*, F^*, L^*$ 代入生產函數 $Q = \alpha R^r T^t F^f L^l$： $Q = \alpha \left(\frac{r}{k} \frac{LTC}{P_R}\right)^r \left(\frac{t}{k} \frac{LTC}{P_T}\right)^t \left(\frac{f}{k} \frac{LTC}{P_F}\right)^f \left(\frac{l}{k} \frac{LTC}{P_L}\right)^l$ $Q = \alpha \left(\frac{LTC}{k}\right)^{r+t+f+l} \left(\frac{r}{P_R}\right)^r \left(\frac{t}{P_T}\right)^t \left(\frac{f}{P_F}\right)^f \left(\frac{l}{P_L}\right)^l$ $Q = \alpha \left(\frac{LTC}{k}\right)^k \left[ \left(\frac{P_R}{r}\right)^{-r} \left(\frac{P_T}{t}\right)^{-t} \left(\frac{P_F}{f}\right)^{-f} \left(\frac{P_L}{l}\right)^{-l} \right]$

兩邊同取 $\frac{1}{k}$ 次方並整理求解 $LTC$：

核心觀念

本題考查大眾運輸費率政策之社會成本效益分析（Social Cost-Benefit Analysis, SCBA）。評估定期月票（All-you-can-ride transit pass）不能僅從政府財政或單一營運機構的財務損益切入，而必須自全社會資源配置與社會福利（Social Welfare）​的角度進行增量分析。

1. 有／無計畫比較原則（With-and-Without Principle）：評估的效益與成本，必須是實施 1,280 元月票政策（With）相較於維持原里程/段次計費結構（Without）所產生的淨變動量（增量，Incremental Changes）。
2. 移轉性支付（Transfer Payment）不計入社會實質資源消長：使用者節省之票價支出，在數值上對應於政府的財政補貼與業者的票收減損，本質上屬所得重分配（Income Redistribution）。除非考量政府課稅融資所衍生之「公共資金邊際成本」（Marginal Cost of Public Funds, MCPF）或無謂損失（Deadweight Loss），否則單純的票價折抵與補貼款在社會總體層次互抵。
3. 外部性內部化（Internalizing Externalities）：政策核心的社會淨效益主要來自運具轉移（Modal Shift），即汽機車使用者轉向搭乘捷運、公車與 YouBike，進而減少道路壅塞、交通事故、空氣污染與溫室氣體排放等外部成本。
4. 貼現評估公式：

• 淨現值法（Net Present Value, $NPV$）： $NPV = \sum_{t=0}^{T} \frac{\Delta B_t - \Delta C_t}{(1+r)^t}$
• 益本比法（Benefit-Cost Ratio, $B/C$）： $B/C = \frac{\sum_{t=0}^{T} \frac{\Delta B_t}{(1+r)^t}}{\sum_{t=0}^{T} \frac{\Delta C_t}{(1+r)^t}}$ 其中 $t$ 為期數、$T$ 為分析年期、$r$ 為社會折現率（Social Discount Rate）、$\Delta B_t$ 與 $\Delta C_t$ 分別為第 $t$ 期之增量社會效益與增量社會成本。當 $NPV > 0$ 且 $B/C > 1$ 時，政策具經濟可行性。

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解題方法

本題要求提出「成本效益評估方式」及「所需資訊」，應採系統性架構分層論述：先建立評估流程與效益成本矩陣，再按類別開列所需實證資料。

一、 成本效益評估方式

評估程序包含五個標準步驟：

1. 界定分析範圍與評估年期： 設定政策影響之空間範疇（雙北生活圈）與目標對象（包含原大眾運輸使用者、私人運具轉移者、營運業者、政府及全體用路人），並設定合理的生命週期分析年期 $T$（如 5 至 10 年）與社會折現率 $r$。
2. 界定基準情境（Without-Policy）與政策情境（With-Policy）： 推估在無 1,280 元月票情況下的各運具旅次量與交通狀態，作為對照基準線。
3. 辨識與量化社會增量成本（$\Delta C$）：

• 一次性資本支出（Capital Cost）：捷運、公車及 YouBike 票證系統軟硬體升級費用、清分系統（Clearing System）建置與測試成本。
• 營運與維護邊際成本（Operating & Maintenance Cost）：因誘發旅次（Induced Demand）與轉移旅次導致總搭乘量增加，系統衍生之能耗增加、車輛耗損折舊、營運維修支出，以及必要時尖峰加開班次之額外營運成本；YouBike 調度車輛之人事與物流成本。
• 行政管理成本（Administrative Cost）：發行、退票處理、客服、查票與防杜冒用（稽查）之行政作業費用。
• 外部成本增量（負效益）：若尖峰車廂與月台過度擁擠，所造成的乘車舒適度下降及車廂擁擠成本（Crowding Cost）。

4. 辨識與量化社會增量效益（$\Delta B$）：

• 使用者效益（消費者剩餘變化 $\Delta CS$）：
• 節省旅行時間效益：轉向捷運或享 YouBike 轉乘接駁便利所節省之道門到道門（Door-to-door）旅行時間。
• 誘發旅次之效益：因邊際搭乘成本降為零而新增加的活動參與效益，依「半額法則」（Rule of Half）估算： $\Delta CS_{\text{induced}} \approx \frac{1}{2} (P_0 - P_1) \cdot \Delta Q$ 其中 $P_0$ 為原單程票價折算，$P_1 = 0$（邊際支出），$\Delta Q$ 為誘發旅次量。
• 外部效益（私人運具轉移之外部成本減輕）：
• 節省道路行車時間效益：汽機車減量使道路服務水準提升，留存在道路上的其他車輛所節省之延誤時間。

核心觀念

本題考「衍生需求」（derived demand）：民眾使用鐵路，通常不是為了消費運輸服務本身，而是為了到達就學、工作等目的地。就學或工作是旅次的最終目的；鐵路運輸則是達成該目的所需的服務，因此鐵路服務的需求是由就學、工作等活動所衍生。

解題方法

判斷需求類型時，先區分「最終目的」與「達成目的所需的投入」。題幹指出民眾搭乘鐵路是為了就學或工作，表示對鐵路服務的需求來自就學、工作活動的需要，而非以鐵路服務本身為最終目的，故屬衍生需求。

選項分析

• (A) 主要需求（primary demand）錯誤。 主要需求指對最終消費目的或最終活動本身的需求。本題的最終目的為就學或工作，鐵路服務是前往目的地的手段。

核心觀念

本題考交叉價格彈性與商品（或運輸服務）間需求關係的判讀。甲運輸服務對乙運輸服務的交叉價格彈性，表示乙的價格變動時，甲的需求量如何變動：

$$E_{甲乙}=\frac{\%\Delta Q_{甲}}{\%\Delta P_{乙}}$$

• $E_{甲乙}>0$：乙價格上升時，甲的需求量增加，兩者為替代關係。
• $E_{甲乙}<0$：乙價格上升時，甲的需求量減少，兩者為互補關係。

解題方法

分別看題目給的兩個交叉價格彈性符號：

1. 鐵路與長途公路客運的交叉價格彈性為 $0.3>0$，表示兩者為替代關係。
2. 鐵路與市區接駁公車的交叉價格彈性為 $-1.7<0$，表示兩者為互補關係。

核心觀念

本題考查由效用函數推算旅行時間價值（Value of Travel Time, VOT）。時間價值表示使用者願意為節省旅行時間支付的金額，可由「時間係數與成本係數之比」求得。效用函數中的固定項不影響成本與時間之間的邊際替代關係。

解題方法

運具 A 的效用函數為：

$$U_A=-0.5-0.02C_A-0.04T_A$$

成本每增加 1 元，效用變化為 $\frac{\partial U_A}{\partial C_A}=-0.02$；時間每增加 1 分鐘，效用變化為 $\frac{\partial U_A}{\partial T_A}=-0.04$。因此，使用者願意支付的金額可抵換多少時間，可先求：

核心觀念

本題主要測驗運輸經濟學中「成本函數對偶理論（Duality Theory）」與「要素需求分析」的核心概念：

1. 對數線性成本函數（Log-Linear Cost Function）： 由 Cobb-Douglas 生產函數推導出的對偶長期總成本函數，取自然對數後呈現對數線性形式： $\ln(c) = \alpha_0 + \alpha_q \ln(q) + \sum_{i} \alpha_i \ln(P_i)$ 其中，$c$ 為總成本，$q$ 為產出，$P_i$ 為第 $i$ 種要素的價格。

2. 謝潑德引理（Shephard's Lemma）： 在成本極小化條件下，總成本函數對某要素價格的一階偏微分，即為該要素的引申需求量（Conditional Factor Demand, $X_i$）： $\frac{\partial c}{\partial P_i} = X_i$

3. 成本份額（Cost Share）與彈性之關係： 總成本對要素價格的彈性（即成本函數對數項的偏微分係數），恰好等於該要素支出占總成本的比例（成本份額 $S_i$）： $\frac{\partial \ln(c)}{\partial \ln(P_i)} = \frac{\partial c}{\partial P_i} \cdot \frac{P_i}{c} = \frac{P_i X_i}{c} = S_i$

4. 要素價格的一階齊次性（Homogeneity of Degree 1 in Input Prices）： 在其他條件不變下，所有要素價格等比例增加時，總成本亦必須等比例增加，因此各要素成本份額總和必等於 $1$（即 $\sum \alpha_i = 1$）。

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解題方法

步驟一：根據題意列出長期總成本函數 題目給定的對數成本函數為： $\ln(c) = 0.1 + 0.6\ln(q) + 0.3\ln(P_l) + 0.5\ln(P_k) + 0.2\ln(P_f)$

步驟二：利用對數微分與謝潑德引理求燃油成本比例 欲求「燃油成本占總成本的比例（$S_f$）」，定義為燃油總支出（$P_f \cdot X_f$）除以總成本（$c$）： $S_f = \frac{P_f X_f}{c}$

將成本函數 $\ln(c)$ 對燃油價格的對數 $\ln(P_f)$ 進行偏微分：

核心觀念

本題考「聯合成本」的歸屬。聯合成本是同一項生產或運輸活動同時產生多項服務或效益，所發生的共同成本；由於成本無法直接歸屬於其中某一項服務，須依適當方式分攤。

貨車去程載貨、返程空車時，油料消耗是車輛完成整個去返程運輸所共同發生的成本。油料並非只為去程貨物服務，返程空車仍會耗用，因此須將這筆共同成本歸屬於去、返程，屬於聯合成本。

解題方法

先看題目問的是「油料成本應如何歸屬於去返程」，而非設備容量、資產重置或過去支出。判斷關鍵在於：同一趟去返程的運輸活動共同耗用油料，且成本難以直接切分為只屬於去程或只屬於返程，故應以聯合成本處理。

選項分析

• (A) 重置成本：錯誤。 重置成本是以目前價格重新取得相同或相當資產所需的成本，常用於資產價值或投資決策分析；題目討論的是運輸作業中的油料耗用與成本歸屬。

核心觀念

本題考「大眾運輸系統供給」的概念。供給可從服務的數量與可及範圍理解，例如班次密度、每日營運時段，以及路線覆蓋範圍。縮短班距、延長營業時間或開闢新路線，都會增加乘客可利用的運輸服務。

轉乘優惠則屬於票價或運價政策，主要是降低乘客轉乘時的支出，影響的是運輸服務的價格條件與使用誘因，不是直接增加系統提供的運輸服務量。

解題方法

先辨別各選項改變的是「運輸服務本身」，還是「使用運輸服務的價格條件」：

• 增加班次、延長服務時段、擴大路線覆蓋，屬於供給面的調整。
• 降低轉乘成本，屬於票價優惠措施，並未直接增加班次、營運時間或路線。

因此，選出不屬於增加大眾運輸系統供給的措施。

選項分析

核心觀念

本題考查規模經濟、邊際成本定價與自然獨占的財務收支。

規模經濟表示產量增加時，平均成本下降；在典型的自然獨占情況下，相關產量範圍內平均成本高於邊際成本，即 $AC>MC$。邊際成本定價是令價格等於邊際成本：

$$P=MC$$

解題方法

以總收入與總成本比較即可判斷損益。設市場需求量為 $Q$，則邊際成本定價下：

$$TR=P\cdot Q=MC\cdot Q$$

若平均成本 $AC>MC$，總成本為：

$$TC=AC\cdot Q>MC\cdot Q=TR$$

因此鐵路收入不足以支付總成本，會發生虧損。此處的虧損主要來自固定成本等總成本未能由邊際成本定價收入回收。

選項分析

核心觀念

本題測驗公用事業與運輸業管制定價理論中的合理報酬率定價法（Fair Rate of Return Pricing，又稱報酬率管制 Rate-of-Return Regulation）。

在自然獨占或具規模經濟之公用事業（如鐵路、捷運、公用管線）中，為避免獨占廠商賺取超額利潤，同時保障廠商能回收營運成本並獲取合理的資金回報以維持營運與投資，管制機關常採用此定價方式。其核心在於計算業者的准許總收入需求（Revenue Requirement, $R$），基本公式為：

$R = C + s \cdot B$

其中各項變數定義如下：

• $R$：管制機關核定的准許總收入（Revenue Requirement）。
• $C$：合理營運成本（Operating Costs），包含日常運轉維護費、薪資、折舊費用、稅捐等。
• $s$：合理投資報酬率（Fair/Allowed Rate of Return），係由主管機關參酌市場資金成本與風險所核定的資金報酬比率。
• $B$：費率基數（Rate Base），指業者投入營業且正處於「有效使用中」的資產淨額，主要由固定資產淨值與必要營運資金構成。

由此公式可知，合理報酬率定價法純屬成本與供給導向（Cost-oriented）​之管制機制，計算准許收入時完全依據會計成本與資本投入，並未將市場面之消費者需求特徵納入考量。

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解題方法

1. 從公式變數切入：檢視合理報酬率定價的核心公式 $R = C + s \cdot B$，核定費率時所依循之三大要素即為「營運成本（$C$）」、「固定資產為主的費率基數（$B$）」與「合理投資報酬率（$s$）」。
2. 區分供給導向與需求導向：

• 供給／成本導向定價（如：邊際成本定價法、平均成本定價法、合理報酬率定價法）：定價依據為業者的生產成本結構與資產投入。
• 需求／價值導向定價（如：服務價值定價法、差別取價、藍西定價法）：定價依據為顧客對運輸服務之願付價格（WTP）或「需求價格彈性」。

3. 題目詢問「不考慮」哪一項因素，故屬於需求面特徵之「需求價格彈性」顯然非該公式之考量變數。

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核心觀念

本題考獨占廠商的利潤極大化定價。利潤極大的一階條件為邊際收益等於邊際成本（$MR=MC$）。需求的價格彈性可用來表示獨占廠商的邊際收益：

$$MR=P\left(1+\frac{1}{\varepsilon}\right)$$

其中 $\varepsilon$ 是需求價格彈性，通常為負值。

解題方法

先將需求函數改寫成價格對數量的關係：

$$\ln(Q)=5-3\ln(P)$$

對 $\ln(P)$ 微分，可得需求價格彈性：

$$\varepsilon=\frac{d\ln(Q)}{d\ln(P)}=-3$$

代入獨占廠商的利潤極大條件 $MR=MC$，且題目給定 $MC=100$：

$$100=P\left(1+\frac{1}{-3}\right) =P\left(\frac{2}{3}\right)$$

因此：

$$P=150$$

選項分析

核心觀念

本題考運輸費率的距離結構。判斷重點是「運輸距離增加時，每單位里程所負擔的費率如何變化」：

• 遞遠遞減費率制：運輸距離愈長，平均每單位里程的費率愈低。
• 均一費率制：不論運輸距離長短，收取相同費率。
• 標準距離費率制：以特定標準距離為基準訂定費率，通常依實際距離與標準距離的關係計算。
• 分組費率制：將運輸距離或運程分組，各組適用不同費率。

解題方法

先抓題幹的關鍵語句：「運輸距離愈長，單位里程的費率愈低」。這描述的是距離增加時，平均單位里程費率下降，與「遞遠遞減」的定義直接相符，因此選 D。

注意題目問的是「單位里程的費率」，不是運輸總費用。遞遠遞減表示總費用仍可能隨距離增加而增加，只是增加幅度相對較小，使平均每單位里程費率下降。

核心觀念

本題考查運輸補貼依補貼對象與用途所作的分類。資本補貼是政府補助業者購置、更新或改善車輛等資本設備；票價補貼補助乘客或降低票價；績效補貼依服務品質、運量等績效給付；虧損補貼則用於彌補業者營運虧損。

解題方法

判斷補貼的關鍵是看政府補助的用途。題目明確指出補助是用於客運業者「車輛汰舊換新」，即更新營運所需的資本設備，因此屬於資本補貼。

選項分析

核心觀念

本題評估指標為內部報酬率法（Internal Rate of Return, IRR）​之經濟效益決策準則：

1. 內部報酬率（IRR）定義： 使計畫在生命週期內之「總效益現值」等於「總成本現值」（即淨現值 $NPV = 0$）時的折現率。其數學關係式為： $\sum_{t=0}^{n} \frac{B_t - C_t}{(1 + IRR)^t} = 0$ 其中 $B_t$ 為第 $t$ 期效益，$C_t$ 為第 $t$ 期成本，$n$ 為分析年期。

2. 投資決策準則（Accept-Reject Decision）： 在不考慮投資風險與資金限制的情況下，將計畫之內部報酬率（$IRR$）與市場利率（或資金機會成本、要求最低報酬率 $r$）進行比較：

• 若 $IRR > r$：表示該計畫獲利能力高於資金成本，其淨現值 $NPV > 0$，計畫可行（適合投資）。
• 若 $IRR < r$：表示該計畫獲利能力不及資金成本，其淨現值 $NPV < 0$，計畫不可行（不適合投資）。
• 若 $IRR = r$：損益兩平，$NPV = 0$。

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解題方法

本題基準利率為 $r = 2.5\%$，依個別計畫之可行性準則分別進行檢驗：

1. 評估計畫 X： $IRR_X = 1.9\% < r = 2.5\%$ 計畫 X 的內部報酬率低於市場利率，代表投資該計畫所獲得的實質回報無法彌補借貸或持有資金的機會成本，淨現值小於零（$NPV_X < 0$），故計畫 X 不適合投資。

核心觀念

本題考查運輸計畫評估的常用方法。運輸計畫通常須衡量成本、效益、政策目標及多項評估準則，常見方法包括成本效益分析、成本有效性分析與多準則決策分析。

「自我效能分析（self-efficiency analysis）」並非運輸計畫評估的通用方法名稱。此處應與「自我效能」（self-efficacy，指個人對自己能否完成特定行為的信念）區分；它不是用來比較運輸方案成本與效益的評估工具。

解題方法

逐一辨認選項是否屬於運輸計畫評估方法。三種常見方法分別從貨幣化效益、達成目標的成本，以及多項準則的綜合評分來比較方案；與這些方法不同的選項，即為題目所問。

選項分析

• (A) 自我效能分析（self-efficiency analysis）—錯誤，為本題答案。 「自我效能分析」不是運輸計畫評估中通行的分析方法名稱。運輸計畫評估會分析方案的經濟效益、成本效率或多項準則，不以個人對自身能力的信念作為評估架構。

核心觀念

規模經濟（Economies of Scale）是指在其他條件不變下，產出規模擴大時，平均成本下降。平均成本為總成本除以產量：

$$AC=\frac{TC}{Q}$$

因此，判斷規模經濟的關鍵是看產量 $Q$ 增加時，平均成本 $AC$ 是否降低。

解題方法

依定義對照選項：規模經濟描述的是「每單位產出的成本」隨生產規模擴大而下降，也就是平均成本下降；它不表示總成本、變動成本或固定成本必然下降。

選項分析

核心觀念

本題考「需求函數中的自價格彈性」。需求價格彈性衡量捷運票價變動 $1\%$ 時，捷運需求量變動的百分比：

$$E_{Q,P_{\mathrm{MRT}}} =\frac{\partial Q}{\partial P_{\mathrm{MRT}}} \cdot\frac{P_{\mathrm{MRT}}}{Q}$$

若需求函數為冪次形式，各變數的指數就是需求量對該變數的彈性。

解題方法

題目給定：

$$Q=3.5P_{\mathrm{MRT}}^{0.5}P_{\mathrm{Bus}}^{0.2}I^{0.3}$$

對捷運票價 $P_{\mathrm{MRT}}$ 求偏導：

$$\frac{\partial Q}{\partial P_{\mathrm{MRT}}} =0.5\cdot 3.5P_{\mathrm{MRT}}^{-0.5}P_{\mathrm{Bus}}^{0.2}I^{0.3}$$

代入彈性公式：

核心觀念

本題考查個體經濟學與運輸經濟學中​「需求的所得彈性（Income Elasticity of Demand）」​與​「財貨性質分類」​之對應關係。

1. 需求的所得彈性定義： 衡量消費者所得變動百分比引起該商品需求量變動百分比之敏感度指標，公式為： $E_I = \frac{\% \Delta Q}{\% \Delta I} = \frac{\partial Q}{\partial I} \times \frac{I}{Q}$ 其中 $Q$ 為需求量（旅次量），$I$ 為所得水準。

2. 財貨性質分類標準：

• 正常品（Normal goods）：$E_I > 0$（所得增加，需求量同向增加）。
• 必需品（Necessity goods）：$0 < E_I \le 1$（需求量增幅小於或等於所得增幅）。
• 奢侈品（Deluxe / Luxury goods）：$E_I > 1$（需求量增幅大於所得增幅）。
• 劣等品（Inferior goods）：$E_I < 0$（所得增加，需求量反向減少）。
• 中性品（Neutral goods）：$E_I = 0$（所得變動不影響需求量）。
• 季芬品（Giffen goods）：為劣等品的極端特例，價格效果為正（$\frac{\partial Q}{\partial P} > 0$，自身價格上升時需求量反而增加，違反需求法則），其必要條件為負的所得效果之絕對值大於替代效果。

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解題方法

本題題幹為「承上題」，前一題（第 15 題）依題目給定之捷運需求函數計算出其需求的所得彈性 $E_I$。推導之關鍵在於彈性值之正負符號與區間：

1. 判斷彈性正負號： 經前題計算，捷運服務之所得彈性為正值（$E_I > 0$），代表所得提高時，民眾對捷運服務的需求量增加，符合「所得增加、消費增加」之經濟行為特徵，確立其為正常品。
2. 判斷彈性數值大小：

核心觀念

雷姆西定價法（Ramsey Pricing）處理的是自然獨占或其他具有收支平衡要求的事業：若採邊際成本定價會造成虧損，又不能以補貼填補，則需在滿足特定收入限制的前提下，選擇能使社會福利損失最小的價格組合。

其定價原則是讓各項服務的價格偏離邊際成本的幅度，與該項需求的價格彈性呈反向關係：需求較無彈性的服務，價格可較高；需求較有彈性的服務，價格加成較低。這樣能在達成收支限制的同時，減少對運量與消費者剩餘的扭曲。

解題方法

辨認題目問的是「定價目標」，不是問定價後誰獲利最多。雷姆西定價是在營運收支限制下，最大化社會福利（等同於最小化因價格偏離邊際成本所造成的福利損失），因此選項 (A) 正確。

選項分析

核心觀念

本題考「規模報酬」：在生產技術不變下，若所有生產要素按相同比例增加，產出增加的比例如何？對 Cobb–Douglas 生產函數 $Q=AL^\alpha K^\beta$，比較指數總和 $\alpha+\beta$：

• $\alpha+\beta>1$：規模報酬遞增。
• $\alpha+\beta=1$：規模報酬固定。
• $\alpha+\beta<1$：規模報酬遞減。

解題方法

題目給定：

$$Q=5.0L^{0.8}K^{0.4}$$

將員工數與車輛數同時乘上任意正數 $t$，則新產量為：

$$Q'=5.0(tL)^{0.8}(tK)^{0.4} =t^{0.8+0.4}\left(5.0L^{0.8}K^{0.4}\right) =t^{1.2}Q$$

核心觀念

本題考運輸產業績效指標中的「投入效率」（input efficiency）。投入指標衡量生產服務所使用的資源，例如員工數、車輛數；產出指標衡量提供運輸服務的運作成果，例如行駛班次、延車公里。

投入效率的計算方式，是以產出衡量投入資源的運用成果：

$$\text{投入效率}=\frac{\text{產出面指標}}{\text{投入面指標}}$$

比值愈高，表示每單位投入能產生愈多產出。

解題方法

依定義判斷分子、分母：投入是所使用的資源，產出是投入後形成的運作成果。因此，投入效率應以「產出面」除以「投入面」，選項 (B) 符合公式。

例如，以「延車公里／車輛數」衡量，表示每輛車平均提供多少延車公里；此比值反映車輛投入的運用效率。

選項分析

核心觀念

本題測驗英國經濟學家畢古（A. C. Pigou）所提出的差別定價（Price Discrimination，或稱差別取價）​分類理論，特別是第三級差別定價（Third-degree price discrimination）​的定義與定價法則。

差別定價依市場區隔與定價方式分為三類：

1. 第一級差別定價（完全差別定價）：廠商按消費者個別的最高「願付價格」（Willingness to pay）索價，將消費者剩餘完全剝奪。
2. 第二級差別定價（數量差別定價／區間定價）：廠商按購買「數量」或「服務等級」訂定階梯式費率，由消費者進行「自我篩選」（Self-selection）。
3. 第三級差別定價（市場區隔定價）：廠商利用客觀、可辨識的外在特徵（如身分、年齡、時間、航線等）將消費者區隔為不同子市場，並依各子市場的需求價格彈性（Price Elasticity of Demand）​大小分別訂價。

其利潤極大化之定價條件為各子市場邊際收益等於邊際成本（$MR_1 = MR_2 = \cdots = MC$），結合 Amoroso-Robinson 關係式： $MR_i = P_i \left( 1 - \frac{1}{|\varepsilon_i|} \right) = MC$ 在邊際成本相同的情況下，可導出反彈性法則（Inverse Elasticity Rule）：需求價格彈性絕對值越小（$|\varepsilon_i|$ 越小，即缺乏彈性）的族群，廠商應訂定較高的票價；反之，彈性較大者訂定較低票價。

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解題方法

航空運輸市場的旅客通常具備異質性（例如「商務客」與「休閒觀光客」）：

• 商務旅客：行程時間彈性小、對機票替代選擇少，其需求價格彈性絕對值較小（$|\varepsilon|$ 小）。
• 觀光旅客：出遊時間靈活、價格敏感度高，其需求價格彈性絕對值較大（$|\varepsilon|$ 大）。

核心觀念

1. 古諾雙佔模型（Cournot Duopoly Model）：屬於非合作賽局下的數量競爭模型。各運輸業者在給定競爭對手產量的預期下，同時且獨立地決定自身利潤極大化的產量。
2. 利潤極大化條件：各業者追求利潤極大化時，滿足一階條件（First-Order Condition, FOC），即邊際收益等於邊際成本（$MR_i = MC_i$ 或 $\frac{\partial \pi_i}{\partial Q_i} = 0$）。
3. 反應函數（Reaction Function）：描述業者在對手選擇任意產量時，自身所對應的最佳產量決策軌跡。
4. 古諾–納許均衡（Cournot-Nash Equilibrium）：兩家業者的反應函數之交點，此時雙方對彼此產量的預期皆完全實現，無任何一方有誘因片面改變產量。

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解題方法

步驟一：計算業者的邊際成本（$MC$）

兩家業者的總成本函數相同： $C(Q_i) = 1000 + 100Q_i,\quad i=1,2$ 對產量 $Q_i$ 微分，可得個別邊際成本（固定成本 $1000$ 微分後為 $0$）： $MC_i = \frac{dC(Q_i)}{dQ_i} = 100$

步驟二：建立業者 1 的利潤函數並求解反應函數

市場需求反函數為： $P = 1000 - 5Q = 1000 - 5(Q_1 + Q_2)$

業者 1 的總收益（$TR_1$）與利潤（$\pi_1$）分別為： $TR_1 = P \times Q_1 = [1000 - 5(Q_1 + Q_2)]Q_1 = 1000Q_1 - 5Q_1^2 - 5Q_1Q_2$ $\pi_1 = TR_1 - C(Q_1) = (1000Q_1 - 5Q_1^2 - 5Q_1Q_2) - (1000 + 100Q_1)$

對 $Q_1$ 微分求一階條件（FOC）： $\frac{\partial \pi_1}{\partial Q_1} = 1000 - 10Q_1 - 5Q_2 - 100 = 0$ $900 - 10Q_1 - 5Q_2 = 0 \implies 10Q_1 = 900 - 5Q_2$

解得業者 1 的反應函數 $R_1(Q_2)$： $Q_1 = 90 - 0.5Q_2$

同理，因兩家業者成本函數對稱，業者 2 的反應函數 $R_2(Q_1)$ 為： $Q_2 = 90 - 0.5Q_1$

步驟三：聯立求解古諾–納許均衡產量

因成本結構完全對稱，在均衡時兩業者產量相等（$Q_1 = Q_2 = Q_i^*$）： $Q_i^* = 90 - 0.5Q_i^* \implies 1.5Q_i^* = 90 \implies Q_i^* = 60$

故兩家業者的最適產量分別為： $Q_1 = 60,\quad Q_2 = 60$

市場兩家產量合計（總產量 $Q$）： $Q = Q_1 + Q_2 = 60 + 60 = 120$

核心觀念

本題測驗核心為運輸管制經濟學中之「公用事業運價定價法」與「我國公路汽車客運業運價公式之經濟實質」。

1. 定價方法之經濟學定義：

• 成本加成法（Cost-plus method）：以平均成本（$AC$）為計算基礎，直接加上固定百分比之利潤率或加成率（$m$）以訂定價格，公式為： $P = AC \times (1 + m)$
• 合理報酬率法（Rate of return regulation, ROR）：以業者投入之「費率基礎」（Rate Base，即營業所需之資產淨值 $B$）乘上核定之合理報酬率（$s$），再加上各項營業成本與費用（$C$），決定其准許總收入（$R$），公式為： $R = C + s \times B$
• 邊際成本定價法（Marginal cost pricing）：令價格等於邊際成本（$P = MC$），旨在追求社會福利極大之第一最佳解（First-best）。

2. 法規依據：

• 本題以命題當年（民國 107 年）法規為準，依當時《汽車運輸業客貨運運價準則》第 3 條規定，公路汽車客運業之運價計算公式為： $\text{每車公里基本運價} = \text{每車公里合理成本} \times (1 + \text{合理報酬率})$ $\text{每延人公里基本運價} = \frac{\text{每車公里基本運價}}{\text{每車平均載客人數}}$
• （現行法後續歷經部分成本項目與文字修正，但該運價以成本乘上加成率之基本結構仍維持一致。）

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解題方法

本題切入點在於區分「法規表面用詞」與「經濟學管制定價之實質意涵」：

1. 公式結構分析： 我國《汽車運輸業客貨運運價準則》之計算式為： $\text{每車公里基本運價} = \text{每車公里合理成本} \times (1 + \text{合理報酬率})$ 數學結構為「單位成本 $\times (1 + \text{比率})$」。此處之「合理報酬率」實質上為成本加成率（Markup rate），並非以廠商的資本資產價值作為計息母數。
2. 產業資本特性對應： 公路汽車客運業相較於鐵路或捷運，不具備龐大的軌道、土地等沉沒資本與巨額固定資產，其主要支出為車輛營運、燃料與人事等經常性成本。

核心觀念

本題測驗「公用事業運價管制」與「鐵路運價法規」之核心理論與實務制度。

1. 法規依據（以命題當年民國 107 年法規為準）： 依《鐵路法》第 65 條規定，國營鐵路客貨運價由交通部擬訂，報請行政院核定，並應依立法院核定之「鐵路客貨運價率計算公式」計算。（現行法雖配合民國 113 年臺鐵公司化而有法規主體調整，但整體運價公式之學理架構仍維持不變）。
2. 學理定義： 臺鐵法定運價率計算公式係以公用事業管制常見之合理報酬率法（Rate of return regulation, ROR）（又稱費率基數管制，Rate base regulation）為核心架構。其准許總收入公式為： $R = C + B \times r$ 其中：

• $R$：准許營運總收入（Revenue requirement）
• $C$：合理營運成本與費用（含折舊、維護費、營運稅費等）
• $B$：費率基數（Rate base，指有效使用中之營業固定資產現值與必要營運資金）
• $r$：法定許可之合理報酬率（Rate of return）

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解題方法

解答本題應從公用事業定價管制理論切入：

1. 產業特徵確認：鐵路運輸具備初期資本投資龐大、具規模經濟（Economies of scale）與自然獨占（Natural monopoly）特徵，其運價無法單純交由完全競爭市場決定，亦無法直接採邊際成本定價（否則將導致嚴重的長期虧損）。
2. 法定機制連結：政府為兼顧公用事業財務可行性（收回成本並獲取資本成本之合理補償）與防範獨占剝削，在立法院審定之運價率公式中，明文規定以「運輸成本加上固定資產淨值乘上合理投資報酬率」作為訂價基礎，此機制在運輸經濟學與公用事業管制學理中，即為標準的「合理報酬率法」。

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選項分析

核心觀念

本題考查個體經濟學與運輸經濟學中的市場失靈（Market Failure）、外部性（Externality）​及外部成本內部化（Internalization of External Costs）。

1. 外部成本（負外部性）的定義： 當運輸生產或消費活動對第三方造成負面影響，而該負面影響未透過市場價格機制反映時，即產生外部成本（如空氣污染、碳排放、噪音、交通擁擠、交通事故）。此時，社會邊際成本（$SMC$）大於私人邊際成本（$PMC$），兩者差額即為邊際外部成本（$MEC$）： $SMC = PMC + MEC$ 在未受管制的自由市場中，業者僅依 $PMC = P$ 決定產量，導致市場均衡產出大於社會最適產出，造成社會福利的無謂損失（Deadweight Loss）。

2. 外部成本內部化途徑： 使污染者或造成負面外部效果的行為人，將該成本納入其私人決策考量中。最典型的政策工具為庇古稅（Pigouvian Tax），即對造成負外部性的行為課徵每單位等於邊際外部成本的稅額（$t = MEC$），使業者的邊際成本調整為 $PMC + t = SMC$，從而引導市場產出回到社會最適水準（符合「污染者付費原則」）。

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解題方法

解題關鍵在於釐清「外部成本（負外部性）」與「外部效益（正外部性）」的差異，並判斷政策工具的性質是「加徵環境代價」還是「效益回收／成本補貼」：

1. 鎖定題目受詞：「外部成本」內部化，意指政策目標針對運輸活動衍生的負面影響（如碳排放、環境公害）進行定價或約束。
2. 檢視選項機制：

• 處理「負外部性」（污染、排碳）者：課稅、收費、總量管制排放交易（Cap and Trade）。
• 處理「正外部性」（便利性提升、地價上漲）者：效益捕捉（Value Capture）、土地聯合開發、政府補貼。
• 扭曲市場價格使其偏離社會成本者：反向補貼（如化石燃料油價補貼）。

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選項分析

核心觀念

本題測驗運輸經濟學中針對運輸產業特性所建立的成本結構與報酬理論，特別是區分「密度報酬」與「規模報酬」之學術定義。

1. 基本背景（Caves et al. 網絡成本模型） 運輸業具有高度「網絡（Network）」特徵，產出擴張的方式與一般製造業不同。運輸成本函數通常設定為： $C = C(Y, N, W)$ 其中 $Y$ 為產出（如延人公里、延噸公里或車班次）、$N$ 為路網規模變數（如路線里程、站點數或營運節點）、$W$ 為生產要素價格向量（如工資、燃料價格、資本租金）。

2. 密度報酬（Returns to Density, RTD）之定義 指在生產要素價格（$W$）與路網規模（$N$）維持固定不變的前提下，產出水準（$Y$）按比例變動時，總成本的相對變動關係。其指標為成本對產出彈性（$\varepsilon_{CY}$）的倒數： $RTD = \frac{1}{\varepsilon_{CY}} = \frac{1}{\frac{\partial \ln C}{\partial \ln Y}}$

• 當 $RTD > 1$（即 $\varepsilon_{CY} < 1$）時，表示密度報酬遞增（存在密度經濟，Economies of Density），即在既有路網上增加班次或載客量，平均成本會隨之下降。
• 本質而言，密度報酬即為「固定路網規模下的規模經濟」。

3. 規模報酬（Returns to Scale, RTS / Returns to Firm Size） 指當產出（$Y$）與路網規模（$N$）按相同比例同步擴張時，總成本的相對變動關係： $RTS = \frac{1}{\frac{\partial \ln C}{\partial \ln Y} + \frac{\partial \ln C}{\partial \ln N}}$

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解題方法

本題屬於觀念定義題，解題切入點在於精確掌握「密度報酬」的先決限制條件：

• 關鍵切入點：運輸經濟學將「在既有路網加密運量」與「擴建路網並增加運量」嚴格區分。