107 鐵路特考員級 電子工程 電子學概要 考古題詳解

一、核心觀念

本題評量 P 通道金氧半場效電晶體（P-MOSFET）的偏壓特性、工作區間判別準則與電流方程式。在國考《電子學概要》中，PMOS 常因正負號定義造成考生混淆，建議統一採用「正電位差（絕對值法）」以確保計算零失誤。

1. 端點電壓與過驅電壓（Overdrive Voltage）定義：

• 源極接地：$V_S = 0\ \mathrm{V}$。
• 臨界電壓（Threshold Voltage）：$V_{tp} = -0.8\ \mathrm{V}$，取大小為 $|V_{tp}| = 0.8\ \mathrm{V}$。
• PMOS 導通條件：$V_{SG} > |V_{tp}|$（即 $V_{GS} < V_{tp}$）。
• 過驅電壓定義：$|V_{ov}| = V_{SG} - |V_{tp}|$（若以帶正負號的代數表示則為 $V_{ov} = V_{GS} - V_{tp} = -|V_{ov}|$）。

2. 操作區間判別條件（以正電壓差表示）：

• 三極體區（線性區，Triode Region）：$V_{SD} < |V_{ov}|$
• 飽和區（Saturation Region）：$V_{SD} \ge |V_{ov}|$
• 飽和邊界（Edge of Saturation）：$V_{SD} = |V_{ov}|$

3. 汲極電流方程式（忽略通道長度調變效應，即 $\lambda = 0$）：

• 三極體區：$I_D = k_p \left[ (V_{SG} - |V_{tp}|)V_{SD} - \frac{1}{2}V_{SD}^2 \right] = k_p \left[ |V_{ov}| V_{SD} - \frac{1}{2}V_{SD}^2 \right]$
• 飽和區：$I_D = \frac{1}{2} k_p (V_{SG} - |V_{tp}|)^2 = \frac{1}{2} k_p |V_{ov}|^2$ 其中 $k_p = \mu_p C_{ox} \left(\frac{W}{L}\right)$ 為 PMOS 之轉導參數。

二、解題方法

(一) 求閘極電壓 $V_G$

1. 依過驅電壓與源-閘極電壓之關係： $V_{SG} = |V_{tp}| + |V_{ov}|$
2. 代入已知數值 $|V_{tp}| = 0.8\ \mathrm{V}$、與 $|V_{ov}| = 0.4\ \mathrm{V}$： $V_{SG} = 0.8\ \mathrm{V} + 0.4\ \mathrm{V} = 1.2\ \mathrm{V}$
3. 已知源極接地 $V_S = 0\ \mathrm{V}$，依端點電位差定義： $V_{SG} = V_S - V_G \implies 1.2\ \mathrm{V} = 0 - V_G \implies V_G = -1.2\ \mathrm{V}$

(二) 求維持在飽和區操作之汲極電壓最高值 $V_{D,\max}$

1. PMOS 操作於飽和區的物理條件為通道在汲極端發生夾斷（pinch-off），需滿足： $V_{SD} \ge |V_{ov}|$
2. 將端點電壓 $V_{SD} = V_S - V_D$ 及 $|V_{ov}| = 0.4\ \mathrm{V}$ 代入： $0 - V_D \ge 0.4\ \mathrm{V} \implies -V_D \ge 0.4\ \mathrm{V} \implies V_D \le -0.4\ \mathrm{V}$
3. 在此不等式約束下，汲極電壓的上限（最高值）即為剛好落在飽和邊界處的值： $V_{D,\max} = -0.4\ \mathrm{V}$

(三) 求不同 $V_D$ 條件下的汲極電流 $I_D$

1. 求製程轉導參數 $k_p$

由第 (二) 小題已知，元件操作於飽和區時，汲極電流 $I_D = 0.4\ \mathrm{mA}$，代入飽和區電流公式： $I_D = \frac{1}{2} k_p |V_{ov}|^2$ $0.4\ \mathrm{mA} = \frac{1}{2} \times k_p \times (0.4\ \mathrm{V})^2 = 0.08 \times k_p$ 解得：

核心觀念

本題考查金氧半場效電晶體差動對（MOS Differential Pair）​之直流偏壓（DC Bias）分析，涵蓋以下核心觀念與公式：

1. 電路對稱性與直流靜態電流分配： 在差動對兩端輸入閘極接地（$V_{G1}=V_{G2}=0\ \mathrm{V}$）且兩電晶體完全匹配（Matched Pair）的情況下，電路具有完全對稱性。尾端（Tail）定電流源 $I_{SS}$ 會由兩側電晶體平均分配： $I_{D1} = I_{D2} = \frac{I_{SS}}{2}$

2. MOSFET 飽和區汲極電流公式： 當電晶體工作在飽和區（Saturation Region，滿足 $V_{DS} \ge V_{GS} - V_t$ 且 $V_{GS} \ge V_t$）時，電流與過驅電壓（Overdrive Voltage, $V_{ov} = V_{GS} - V_t$）的平方成正比： $I_D = \frac{1}{2} k_n (V_{GS} - V_t)^2 = \frac{1}{2} k'_n \left(\frac{W}{L}\right) (V_{GS} - V_t)^2$

3. 節點電壓關係：

• 汲極節點電壓由電源電壓扣除汲極電阻之壓降決定：$V_D = V_{DD} - I_D R_D$。
• 源極節點電壓由閘極電壓扣除閘源極偏壓決定：$V_S = V_G - V_{GS}$。

解題方法

本題電路為典型 MOS 差動對架構：電源電壓 $V_{DD}=+2.5\ \mathrm{V}$，兩汲極分別經由 $R_D=20\ \mathrm{k\Omega}$ 電阻接至 $V_{DD}$，對應汲極節點電壓 $V_1$ 與 $V_2$；兩源極相連於節點 $V_3$，並由一 $I_{SS}=200\ \mathrm{\mu A}$ 之定電流源偏壓至負電源或接地；兩電晶體閘極於直流靜態分析時接地（$V_{G1}=V_{G2}=0\ \mathrm{V}$）。

(一) 計算流過 $Q_1$ 的電流 $I_{D1}$

1. 製程與元件幾何互導參數計算： $k_n = k'_n \left(\frac{W}{L}\right)_1 = 60\ \mathrm{\mu A/V^2} \times 16 = 960\ \mathrm{\mu A/V^2} = 0.96\ \mathrm{mA/V^2}$

2. 直流對稱分流： 由於電晶體 $Q_1$ 與 $Q_2$ 特性完全相同，且兩閘極皆處於共模接地電位（$V_{G1}=V_{G2}=0\ \mathrm{V}$），定電流源 $I_{SS}=200\ \mathrm{\mu A}$ 平均分配至兩分支： $I_{D1} = \frac{I_{SS}}{2} = \frac{200\ \mathrm{\mu A}}{2} = 100\ \mathrm{\mu A} = 0.1\ \mathrm{mA}$

(二) 計算節點電壓 $V_1$、$V_2$ 與 $V_3$

1. 求節點電壓 $V_1$（$Q_1$ 汲極電壓）： 由克希荷夫電壓定律（KVL），$V_1$ 為電源電壓扣除汲極電阻 $R_D = 20\ \mathrm{k\Omega}$ 上的跨壓： $V_1 = V_{DD} - I_{D1} R_D = 2.5\ \mathrm{V} - (100\ \mathrm{\mu A})(20\ \mathrm{k\Omega}) = 2.5\ \mathrm{V} - 2.0\ \mathrm{V} = 0.5\ \mathrm{V}$

2. 求節點電壓 $V_2$（$Q_2$ 汲極電壓）： 由電路完全對稱性（$I_{D2} = I_{D1} = 100\ \mathrm{\mu A}$ 且 $R_{D2} = 20\ \mathrm{k\Omega}$）：

核心觀念

本題評量理想運算放大器反相米勒積分器（Inverting Miller Integrator）​的正弦穩態頻率響應分析，涉及以下核心觀念與公式：

1. 虛擬接地（Virtual Ground）與轉移函數： 在理想運放開迴路增益無窮大且無輸入偏偏電流的條件下，反相輸入端電位為虛擬接地（$V^- = V^+ = 0\ \mathrm{V}$）。 由節點分析可得反相積分器的 $s$ 域轉移函數為： $H(s) = \frac{V_o(s)}{V_i(s)} = -\frac{Z_f(s)}{Z_{in}(s)} = -\frac{\frac{1}{sC}}{R} = -\frac{1}{sRC}$

2. 正弦穩態頻率響應： 令 $s = j\omega = j2\pi f$，頻率響應函數為： $H(j\omega) = -\frac{1}{j\omega RC} = \frac{j}{\omega RC} = \frac{1}{\omega RC} e^{j90^\circ}$

• 振幅響應：$|H(j\omega)| = \left|\frac{V_o}{V_i}\right| = \frac{1}{\omega RC} = \frac{1}{2\pi f RC}$，增益與信號頻率成反比（具有 $-20\ \mathrm{dB/decade}$ 之衰減斜率）。
• 相位響應：$\angle H(j\omega) = \arg(j) = +90^\circ$（或表示為 $-270^\circ$），在理想運放假設下與頻率無關，為一固定值。

解題方法

電路參數：

• 電阻 $R = 10\ \mathrm{k\Omega} = 10^4\ \Omega$
• 電容 $C = 1\ \mathrm{nF} = 10^{-9}\ \mathrm{F}$
• 積分時間常數 $\tau = RC = 10^4 \times 10^{-9} = 10^{-5}\ \mathrm{s}$

(一) 計算輸入與輸出信號振幅相等之頻率

輸入與輸出信號振幅相等即電路之單位增益頻率（Unity-Gain Frequency），滿足 $|H(j\omega_0)| = 1$： $\frac{1}{\omega_0 RC} = 1 \implies \omega_0 = \frac{1}{RC} = \frac{1}{10^{-5}} = 10^5\ \mathrm{rad/s}$

由角頻率與頻率關係式 $\omega_0 = 2\pi f_0$ 可求得頻率 $f_0$： $f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{10^5}{2\pi} = \frac{50000}{\pi}\ \mathrm{Hz} \approx 15915.5\ \mathrm{Hz} \approx 15.92\ \mathrm{kHz}$

(二) 計算此頻率下輸出弦波相對於輸入的相位

在頻率 $f_0$ 時，電路轉移函數為： $H(j\omega_0) = -\frac{1}{j(1)} = j = 1\angle +90^\circ$

• 相位分析： 分母的 $j$ 貢獻 $-90^\circ$ 相位，反相輸入負號提供 $-180^\circ$（或 $+180^\circ$）相位： $\angle H(j\omega_0) = \arg\left(\frac{j}{\omega_0 RC}\right) = +90^\circ \quad (\text{亦等效於 } -270^\circ)$
• 時域驗證： 設輸入信號為 $v_i(t) = V_m \sin(\omega t)$，輸出為：

核心觀念

本題考查負迴授放大器（Negative Feedback Amplifiers）​的組態識別、迴授參數計算與阻抗效應，屬於經典的「轉阻放大器（Transresistance Amplifier）」架構：

1. 迴授組態識別（Shunt-Shunt Feedback，並聯－並聯迴授）：

• 輸出端取樣（Sampling）：取樣點為輸出節點電壓 $V_o$，經由電容分壓器分壓後送至 $Q_f$ 閘極，屬於電壓取樣（Voltage Sampling / 並聯取樣）。
• 輸入端混合（Mixing）：信號源為電流源 $I_s$，$Q_f$ 的汲極電流 $I_f$ 直接饋入基本放大器 $Q_1$ 的源極輸入節點，在該節點進行電流相減（KCL），屬於電流混合（Current Mixing / 並聯混合）。
• 此架構為並聯－並聯（Shunt-Shunt）負迴授，對應的轉移參數為轉阻（Transresistance），輸入為電流、輸出為電壓。

2. 核心公式：

• 電容分壓比： $\frac{V_{gf}}{V_o} = \frac{\frac{1}{sC_2}}{\frac{1}{sC_1} + \frac{1}{sC_2}} = \frac{C_1}{C_1 + C_2}$
• 迴授因子 $\beta$（因次為電導 $\mathrm{A/V}$ 或 $\mathrm{\Omega^{-1}}$）： $\beta = \frac{I_f}{V_o} = g_{mf} \cdot \left(\frac{C_1}{C_1 + C_2}\right)$
• 基本放大器開迴路轉阻增益 $A$（因次為電阻 $\mathrm{V/A}$ 或 $\mathrm{\Omega}$）： $A = \frac{V_o}{I_i} = R_D$
• 迴路增益（Loop Gain）： $T = A\beta$
• 閉迴路轉阻增益 $A_f$： $A_f = \frac{V_o}{I_s} = \frac{A}{1 + A\beta}$
• 阻抗變換效應（並聯－並聯迴授使輸入與輸出阻抗皆降低 $(1 + A\beta)$ 倍）： $R_{in} = \frac{R_i}{1 + A\beta} = \frac{1/g_{m1}}{1 + A\beta}$ $R_{out} = \frac{R_o}{1 + A\beta} = \frac{R_D}{1 + A\beta}$

解題方法

(一) 計算迴授因子 $\beta$ 與閉迴路增益 $A_f$

1. 計算迴授網路之傳遞因子 $\beta$： 電容分壓比將輸出電壓 $V_o$ 分壓至 $Q_f$ 的閘極電壓 $V_{gf}$： $V_{gf} = V_o \cdot \frac{C_1}{C_1 + C_2} = V_o \cdot \frac{0.9\ \mathrm{pF}}{0.9\ \mathrm{pF} + 0.1\ \mathrm{pF}} = 0.9 V_o$ 電晶體 $Q_f$ 為共源極架構，產生的迴授電流為： $I_f = g_{mf} V_{gf} = g_{mf} \cdot (0.9 V_o) = 2\ \mathrm{mA/V} \times 0.9 V_o = 1.8\ \mathrm{mA/V} \times V_o$ 定義迴授因子 $\beta \equiv \frac{I_f}{V_o}$： $\beta = 1.8\ \mathrm{mA/V} = 1.8 \times 10^{-3}\ \mathrm{\Omega^{-1}}$

2. 求基本放大器的開迴路轉阻增益 $A$： 基本放大器由共閘極電晶體 $Q_1$ 與汲極負載 $R_D$ 組成。題目已知忽略 $C_1, C_2$ 對放大器的負載效應且 $r_o \to \infty$：

• 閘極交流接地（小訊號接地）。
• 由源極流入的輸入電流 $I_i$ 全數經由通道流向汲極，即小訊號汲極電流 $i_d = I_i$。
• 汲極負載為 $R_D$，輸出電壓為： $V_o = I_i R_D$
• 開迴路轉阻增益為： $A = \frac{V_o}{I_i} = R_D = 10\ \mathrm{k\Omega} = 10\ \mathrm{V/mA}$

3. 計算迴路增益 $A\beta$： $A\beta = (10\ \mathrm{k\Omega}) \times (1.8\ \mathrm{mA/V}) = 10 \times 1.8 = 18$

4. 計算閉迴路轉阻增益 $A_f$：

核心觀念

本題評量積體電路（IC）共源極（CS, Common-Source）放大器之直流偏壓、小訊號參數量測、低頻電壓增益以及高頻頻率響應（極點與零點分析）。主要核心觀念與公式如下：

1. 主動負載與直流偏壓：

• PMOS 電流鏡（$Q_2, Q_3$）作為主動負載，在完全匹配條件下，汲極偏壓電流相等：$I_{D1} = I_{D2} = I_{\text{BIAS}}$。

2. 小訊號參數與輸出電阻：

• 電晶體輸出小訊號電阻：$r_o = \dfrac{|V_A|}{I_D}$。
• 放大器輸出端總小訊號電阻（由輸出端向電路看入）：$R_o = r_{o1} \parallel r_{o2}$。
• 轉導公式（飽和區）：$g_m = \sqrt{2\mu_n C_{ox}\left(\dfrac{W}{L}\right)I_D}$。

3. 低頻電壓增益 $A_M$：

• MOSFET 閘極於低頻時視為開路，輸入電阻 $R_{in} = \infty$，故訊號源內阻無壓降（$V_{gs} = V_{sig}$）。
• 低頻整體電壓增益：$A_M = \dfrac{V_o}{V_{sig}} = -g_{m1} R_o$。

4. 高頻響應與 3-dB 頻寬：

• 依題意忽略輸出端電容效應，放大器的上限截止頻率（3-dB 頻寬 $f_H$）主要由輸入端極點決定。
• 利用米勒近似法（Miller's Approximation）​將跨接於輸入與輸出之間的電容 $C_{gd}$ 等效拆解至輸入端： $C_{in,M} = C_{gd}(1 - K) = C_{gd}(1 + g_{m1} R_o)$ 輸入端總等效電容為 $C_{in} = C_{gs} + C_{in,M}$。
• 3-dB 頻寬：$f_{3\text{-dB}} \approx f_H = \dfrac{1}{2\pi R_{sig} C_{in}}$。

5. 傳輸零點頻率 $f_z$：

• 電容 $C_{gd}$ 提供高頻前饋路徑（Feedforward Path），在右半平面（RHP）產生一個傳輸零點： $f_z = \dfrac{g_{m1}}{2\pi C_{gd}}$

解題方法

步驟一：直流偏壓分析與小訊號參數計算

1. 電流鏡負載 $Q_2, Q_3$ 完全匹配，故： $I_{D1} = I_{D2} = I_{\text{BIAS}} = 100\ \mu\text{A} = 0.1\ \text{mA}$
2. 計算 $Q_1$ 與 $Q_2$ 的小訊號輸出電阻 $r_{o1}$ 與 $r_{o2}$： $r_{o1} = \dfrac{V_{A1}}{I_{D1}} = \dfrac{12.8\ \text{V}}{100\ \mu\text{A}} = 128\ \text{k}\Omega$ $r_{o2} = \dfrac{|V_{A2}|}{I_{D2}} = \dfrac{19.2\ \text{V}}{100\ \mu\text{A}} = 192\ \text{k}\Omega$
3. 計算輸出端總電阻 $R_o$： $R_o = r_{o1} \parallel r_{o2} = \dfrac{128 \times 192}{128 + 192}\ \text{k}\Omega = \dfrac{24576}{320}\ \text{k}\Omega = 76.8\ \text{k}\Omega$
4. 計算 $Q_1$ 之轉導 $g_{m1}$： $g_{m1} = \sqrt{2\mu_n C_{ox}\left(\dfrac{W}{L}\right)I_{D1}} = \sqrt{2 \times \left(90 \times 10^{-6}\right) \times \left(\dfrac{100}{1}\right) \times \left(100 \times 10^{-6}\right)}$ $g_{m1} = \sqrt{1.8 \times 10^{-6}} \approx 1.342 \times 10^{-3}\ \text{A/V} = 1.342\ \text{mA/V}$

步驟二：計算低頻電壓增益 $A_M$

1. 在低頻時，MOSFET 閘極看入之輸入阻抗為無限大（$R_{in} = \infty$），訊號源內阻 $R_{sig}$ 無電流通過： $V_{gs} = V_{sig}$
2. 輸出端小訊號電壓： $V_o = -g_{m1} V_{gs} R_o = -g_{m1} R_o V_{sig}$
3. 低頻增益為：