107 鐵路特考員級 電子工程 電子儀表概要 考古題詳解

核心觀念

本題旨在評量永久磁鐵移動線圈（PMMC）表頭設計多範圍直流電壓表之電路架構與參數計算。核心觀念與公式如下：

1. PMMC 表頭特性：

• 表頭滿刻度偏轉（Full Scale Deflection, FSD）電流：$I_{\mathrm{FSD}} = 100\,\mu\mathrm{A}$。
• 表頭內部電阻：$R_m = 500\,\Omega$。
• 表頭滿刻度端電壓（表頭壓降）： $V_m = I_{\mathrm{FSD}} \times R_m = (100 \times 10^{-6}\,\mathrm{A}) \times 500\,\Omega = 0.05\,\mathrm{V} = 50\,\mathrm{mV}$

2. 電壓表靈敏度（Sensitivity, $S$）：

• 電壓表內阻與滿刻度電壓之比值，定義為滿刻度電流之倒數： $S = \frac{1}{I_{\mathrm{FSD}}} = \frac{1}{100\,\mu\mathrm{A}} = 10{,}000\,\Omega/\mathrm{V} = 10\,\mathrm{k}\Omega/\mathrm{V}$
• 任一額定電壓檔位 $V$ 之電壓表總內阻為： $R_T = S \times V = \frac{V}{I_{\mathrm{FSD}}}$

3. 並聯模式（Shunt Mode / 獨立並列切換型）架構：

• 在多檔位電壓表設計中，主要有「並聯模式（各檔獨立倍加電阻並列配置於開關接點）」與「串聯模式（各檔倍加電阻相互串接抽頭）」兩種型式。
• 本題指定採用「並聯模式（Shunt Mode）」，即每一個電壓檔位配置一個專屬且獨立的倍加電阻（Multiplier Resistor, $R_s$），各檔倍加電阻並列連接至多段檔位切換開關。當切換至某檔位時，該檔的倍加電阻直接與表頭串聯分壓： $R_s = R_T - R_m = \frac{V}{I_{\mathrm{FSD}}} - R_m = (S \times V) - R_m$

解題方法

步驟一：建立基本電路參數

• 表頭滿刻度電流 $I_{\mathrm{FSD}} = 100\,\mu\mathrm{A} = 10^{-4}\,\mathrm{A}$
• 表頭內阻 $R_m = 500\,\Omega$
• 電壓表靈敏度 $S = \frac{1}{100 \times 10^{-6}\,\mathrm{A}} = 10\,\mathrm{k}\Omega/\mathrm{V}$

步驟二：電路架構配置

採用並聯模式（獨立倍加電阻型）設計，設三個額定檔位 $1\,\mathrm{V}$、$10\,\mathrm{V}$、$50\,\mathrm{V}$ 對應之獨立倍加電阻分別為 $R_{s1}$、$R_{s2}$、$R_{s3}$。多段檔位選擇開關切換至各接點時，待測電壓兩端之總電阻均為「該檔倍加電阻與表頭電阻串聯」。

步驟三：逐檔計算倍加電阻值

1. 設計額定 $1\,\mathrm{V}$ 檔位（$V_1 = 1\,\mathrm{V}$）：

• 總電阻： $R_{T1} = S \times V_1 = 10\,\mathrm{k}\Omega/\mathrm{V} \times 1\,\mathrm{V} = 10\,\mathrm{k}\Omega = 10{,}000\,\Omega$
• 倍加電阻 $R_{s1}$： $R_{s1} = R_{T1} - R_m = 10{,}000\,\Omega - 500\,\Omega = 9{,}500\,\Omega = 9.5\,\mathrm{k}\Omega$

2. 設計額定 $10\,\mathrm{V}$ 檔位（$V_2 = 10\,\mathrm{V}$）：

• 總電阻： $R_{T2} = S \times V_2 = 10\,\mathrm{k}\Omega/\mathrm{V} \times 10\,\mathrm{V} = 100\,\mathrm{k}\Omega = 100{,}000\,\Omega$
• 倍加電阻 $R_{s2}$： $R_{s2} = R_{T2} - R_m = 100{,}000\,\Omega - 500\,\Omega = 99{,}500\,\Omega = 99.5\,\mathrm{k}\Omega$

核心觀念

1. 黑橋（Hay Bridge）之定位與特性： 黑橋是由馬克士威電橋（Maxwell Bridge）改良而來，專門用於精確量測高品質因數（High Quality Factor，$Q > 10$）之電感器。在標準馬克士威電橋中，標準臂採用電阻與電容「並聯」，當待測電感 $Q$ 值極高時，所需平衡之標準電阻值將變得非常龐大而難以取得精密元件；黑橋改將標準臂之電阻與電容改為​「串聯」，使得高 $Q$ 電感量測時的標準電阻落在適當且易於精密製作的數值範圍內。

2. 交流電橋平衡條件（Bridge Balance Condition）： 四臂交流電橋在檢流計（或交流檢測器）無電流通過時達成平衡，其基本法則為「對臂阻抗乘積相等」： $Z_1 Z_x = Z_2 Z_3$ 若將待測臂以導納（Admittance）$Y_x = \frac{1}{Z_x}$ 表示，則平衡條件可簡化為： $Y_x = \frac{Z_1}{Z_2 Z_3}$

3. 待測電感並聯模型（Parallel Equivalent Model）： 題目指定採用並聯模型，待測臂阻抗由等效電感 $L_p$ 與等效損耗電阻 $R_p$ 並聯構成，其總導納為： $Y_x = \frac{1}{R_p} + \frac{1}{j\omega L_p} = \frac{1}{R_p} - j\frac{1}{\omega L_p}$

電路簡圖

黑橋由四個阻抗臂、一個交流電源 $E$ 及交流零值檢測器 $D$（如交流檢流計或耳機）組成：

• 臂 1（$Z_1$）：標準電阻 $R_1$ 串聯標準電容 $C_1$。
• 臂 2（$Z_2$）：純電阻 $R_2$。
• 臂 3（$Z_3$）：純電阻 $R_3$。
• 待測臂（$Z_x$）：待測電感並聯模型，即等效電阻 $R_p$ 並聯等效電感 $L_p$。

 節點 A
 / \
 / \
 Z1 / \ Z2
 [R1] / \ [R2]
 | / \
 [C1]/ \
 / \
 節點 B ------[ D ]----- 節點 D
 \ /
 \ /
 [R3] \ / [Lp] // [Rp]
 Z3 \ / Zx（待測電感）
 \ /
 \ /
 \ /
 節點 C
 |
 +--[ ~ E ]--+
 | (交流電源) |
 +-----------+

解題方法

步驟一：表示各臂之阻抗與導納

根據電路簡圖，各臂之阻抗或導納分別為：

• 臂 1 阻抗（串聯）： $Z_1 = R_1 + \frac{1}{j\omega C_1} = R_1 - j\frac{1}{\omega C_1}$
• 臂 2 阻抗（純電阻）： $Z_2 = R_2$
• 臂 3 阻抗（純電阻）： $Z_3 = R_3$
• 待測臂導納（並聯）： $Y_x = \frac{1}{R_p} + \frac{1}{j\omega L_p} = \frac{1}{R_p} - j\frac{1}{\omega L_p}$

步驟二：建立平衡方程式

電橋達成平衡時，對臂阻抗乘積相等： $Z_1 Z_x = Z_2 Z_3 \implies Y_x = \frac{Z_1}{Z_2 Z_3}$

核心觀念

本題考查差動平衡式電晶體電壓表（Transistor Voltmeter, TVM）​的電路架構與量測原理，包含四大核心觀念：

1. 多檔位分壓式衰減器（Ladder Attenuator）設計：利用串聯電阻分壓，將不同量程的待測電壓按固定衰減比例縮小，使各檔次在滿刻度（Full Scale Deflection, FSD）時輸入至主動放大元件的電壓 $E_{G(\mathrm{FSD})}$ 均為相同基準值。
2. 電壓檔位選用原則：待測電壓必須小於或等於檔位滿刻度值，且應選用大於待測電壓之最小檔位，使指針偏轉落於滿刻度的後半段（通常為 $1/2 \sim 2/3$ 刻度以上），兼具量測安全性與讀數準確度。
3. 射極隨耦差動平衡放大與零點校正：兩顆特性匹配之 BJT（$Q_1, Q_2$）組成射極隨耦（共集極）差動架構。各基極與射極間存在導通壓降 $V_{BE} = 0.7\,\mathrm{V}$，射極電位為 $V_E = V_B - V_{BE}$。兩射極間電壓差為 $V = V_{E1} - V_{E2} = (E_G - V_{BE1}) - (V_P - V_{BE2})$。零點調整端 $V_P$ 旨在抵消直流偏移，使 $E_G = 0\,\mathrm{V}$ 時 $V = 0\,\mathrm{V}$。
4. 直流動圈表頭（PMMC）之電流響應：表頭及其串聯電阻跨接於兩射極之間，指針偏轉電流由歐姆定律決定： $I_m = \frac{V}{R_S + R_m}$

解題方法

（一）衰減器檔位設計（$1\,\mathrm{V}$、$5\,\mathrm{V}$、$10\,\mathrm{V}$、$25\,\mathrm{V}$）

由題目已知表頭滿刻度電流 $I_{m(\mathrm{FSD})} = 1\,\mathrm{mA}$，串聯總阻抗 $R_S + R_m = 1\,\mathrm{k}\Omega$。 滿刻度時兩射極間電壓差為： $V_{(\mathrm{FSD})} = I_{m(\mathrm{FSD})} \times (R_S + R_m) = 1\,\mathrm{mA} \times 1\,\mathrm{k}\Omega = 1\,\mathrm{V}$ 由於電路設計要求 $V = E_G$，故放大器輸入端之基準滿刻度電壓為 $E_{G(\mathrm{FSD})} = 1\,\mathrm{V}$。

各電阻總串聯阻抗為： $R_T = R_a + R_b + R_c + R_d = 400\,\mathrm{k}\Omega + 50\,\mathrm{k}\Omega + 30\,\mathrm{k}\Omega + 20\,\mathrm{k}\Omega = 500\,\mathrm{k}\Omega$

待測電壓 $V_{in}$ 加於分壓器總端點與地之間，切換開關選擇不同抽頭輸出至電晶體輸入端 $E_G$：

1. $1\,\mathrm{V}$ 檔：分壓比為 $\frac{E_G}{V_{in}} = \frac{1\,\mathrm{V}}{1\,\mathrm{V}} = 1$。 抽頭取自全部串聯電阻之頂端（$R_a$ 頂端）： $\frac{R_a + R_b + R_c + R_d}{R_T} = \frac{500\,\mathrm{k}\Omega}{500\,\mathrm{k}\Omega} = 1$
2. $5\,\mathrm{V}$ 檔：分壓比為 $\frac{E_G}{V_{in}} = \frac{1\,\mathrm{V}}{5\,\mathrm{V}} = \frac{1}{5}$。 抽頭取自 $R_a$ 與 $R_b$ 連接節點（跨接 $R_b + R_c + R_d$ 對地）： $\frac{R_b + R_c + R_d}{R_T} = \frac{50\,\mathrm{k}\Omega + 30\,\mathrm{k}\Omega + 20\,\mathrm{k}\Omega}{500\,\mathrm{k}\Omega} = \frac{100\,\mathrm{k}\Omega}{500\,\mathrm{k}\Omega} = \frac{1}{5}$
3. $10\,\mathrm{V}$ 檔：分壓比為 $\frac{E_G}{V_{in}} = \frac{1\,\mathrm{V}}{10\,\mathrm{V}} = \frac{1}{10}$。 抽頭取自 $R_b$ 與 $R_c$ 連接節點（跨接 $R_c + R_d$ 對地）： $\frac{R_c + R_d}{R_T} = \frac{30\,\mathrm{k}\Omega + 20\,\mathrm{k}\Omega}{500\,\mathrm{k}\Omega} = \frac{50\,\mathrm{k}\Omega}{500\,\mathrm{k}\Omega} = \frac{1}{10}$
4. $25\,\mathrm{V}$ 檔：分壓比為 $\frac{E_G}{V_{in}} = \frac{1\,\mathrm{V}}{25\,\mathrm{V}} = \frac{1}{25}$。 抽頭取自 $R_c$ 與 $R_d$ 連接節點（僅跨接 $R_d$ 對地）： $\frac{R_d}{R_T} = \frac{20\,\mathrm{k}\Omega}{500\,\mathrm{k}\Omega} = \frac{1}{25}$

（二）量測 $12\,\mathrm{V}$ 檔位選擇

儀表量測時，所選檔位滿刻度值必須大於待測電壓，以避免電表超載（指針打底破表）。 現有檔位為 $1\,\mathrm{V}$、$5\,\mathrm{V}$、$10\,\mathrm{V}$、$25\,\mathrm{V}$：

• $1\,\mathrm{V}$、$5\,\mathrm{V}$、$10\,\mathrm{V}$ 檔之最大可測電壓均小於 $12\,\mathrm{V}$，不可使用。
• $25\,\mathrm{V}$ 檔大於 $12\,\mathrm{V}$，指針偏轉為滿刻度之 $\frac{12\,\mathrm{V}}{25\,\mathrm{V}} = 48\%$，落於有效讀數區間。 故應選用 $25\,\mathrm{V}$ 檔。

核心觀念

本題旨在測驗函數波產生器（Function Generator）​的系統架構與基本波形合成原理。核心考核觀念包含：

1. 定電流充放電積分：利用定電流源對電容進行充放電，產生線性斜波，即公式 $i(t) = C \frac{dv_C(t)}{dt}$，當電流 $i(t) = \pm I$ 為定值時，$v_C(t) = \pm \frac{I}{C} t + V_0$。
2. 施密特觸發器（Schmitt Trigger）之比較轉態：設定上臨界電壓 $V_{UT}$ 與下臨界電壓 $V_{LT}$，將連續變化的類比信號轉換為雙準位切換信號。
3. 二極體非線性整形技術：利用多級二極體電阻分壓網路的非線性折線近似特性，將三角波整形為低失真度的正弦波。

解題方法

函數波產生器普遍採用「定電流充放電積分器」與「施密特觸發器」組成正回授閉迴路自激振盪架構，其核心方塊圖與運作原理如下：

一、 函數波產生器方塊圖

 ┌───────────────┐
 ┌────────>│ 開關控制 │<────────┐
 │ │ (電子開關 SW) │ │
 │ └───────┬───────┘ │
 │ │ │
┌──────┴──────┐ ▼ │
│ 雙向定電流源│ ┌───────────┐ ┌──────┴──────┐
│ (+I / -I) │───>│ 積分電容 ├─┬─>│施密特觸發器 ├─┬─> [ 方波輸出 ]
└─────────────┘ │ (C) │ │ │ (比較器) │ │ (Square Wave)
 └───────────┘ │ └─────────────┘ │
 │ │
 ├──────────────────┘ (觸發回授)
 │
 ├────────────────────> [ 三角波輸出 ]
 │ (Triangle Wave)
 ▼
 ┌─────────────┐
 │非線性二極體 │──────────────> [ 正弦波輸出 ]
 │ 整形電路 │ (Sine Wave)
 └─────────────┘

二、 製作原理（振盪循環機制）

1. 充電階段（三角波正斜率生成）：

• 初始狀態下，開關受控導通正向定電流源 $+I$，對積分電容器 $C$ 進行等額充電。
• 電容器兩端電壓 $v_C(t)$ 呈線性等速上升： $v_C(t) = \frac{I}{C}t + V_{LT}$

2. 臨界轉態：

• 當 $v_C(t)$ 上升達到施密特觸發器的上臨界電壓 $V_{UT}$ 時，觸發器輸出反轉，由高準位切換至低準位。

3. 放電階段（三角波負斜率生成）：

• 觸發器的狀態改變促使開關切換至反向定電流源 $-I$（或將電容電流反向抽載），電容器進行等額線性放電： $v_C(t) = -\frac{I}{C}t + V_{UT}$

4. 週期振盪形成：

• 當 $v_C(t)$ 下降至下臨界電壓 $V_{LT}$ 時，觸發器再度轉態為高準位，切換回充電狀態。
• 電容電壓在 $V_{LT}$ 與 $V_{UT}$ 之間週而復始地上升與下降，構成穩定的閉迴路自激振盪。

三、 各波形輸出之產生方式

1. 三角波（Triangle Wave）之輸出：

• 取信點：直接擷取自積分電容器 $C$ 兩端。
• 原理：因為電容器是由理想定電流源充放電，其電壓變化率 $\frac{dv}{dt} = \pm \frac{I}{C}$ 為定值，波形具有極佳的線性度。經高輸入阻抗之緩衝放大器（Buffer Amplifier）隔離放大後，即輸出標準對稱之三角波。

2. 方波（Square Wave）之輸出：

• 取信點：擷取自施密特觸發器（或高增益電壓比較器）之輸出端。