107 鐵路特考員級 電力工程 電子學概要 考古題詳解

一、核心觀念

本題評量 P 通道金氧半場效電晶體（P-MOSFET）的偏壓特性、工作區間判別準則與電流方程式。在國考《電子學概要》中，PMOS 常因正負號定義造成考生混淆，建議統一採用「正電位差（絕對值法）」以確保計算零失誤。

1. 端點電壓與過驅電壓（Overdrive Voltage）定義：

• 源極接地：$V_S = 0\ \mathrm{V}$。
• 臨界電壓（Threshold Voltage）：$V_{tp} = -0.8\ \mathrm{V}$，取大小為 $|V_{tp}| = 0.8\ \mathrm{V}$。
• PMOS 導通條件：$V_{SG} > |V_{tp}|$（即 $V_{GS} < V_{tp}$）。
• 過驅電壓定義：$|V_{ov}| = V_{SG} - |V_{tp}|$（若以帶正負號的代數表示則為 $V_{ov} = V_{GS} - V_{tp} = -|V_{ov}|$）。

2. 操作區間判別條件（以正電壓差表示）：

• 三極體區（線性區，Triode Region）：$V_{SD} < |V_{ov}|$
• 飽和區（Saturation Region）：$V_{SD} \ge |V_{ov}|$
• 飽和邊界（Edge of Saturation）：$V_{SD} = |V_{ov}|$

3. 汲極電流方程式（忽略通道長度調變效應，即 $\lambda = 0$）：

• 三極體區：$I_D = k_p \left[ (V_{SG} - |V_{tp}|)V_{SD} - \frac{1}{2}V_{SD}^2 \right] = k_p \left[ |V_{ov}| V_{SD} - \frac{1}{2}V_{SD}^2 \right]$
• 飽和區：$I_D = \frac{1}{2} k_p (V_{SG} - |V_{tp}|)^2 = \frac{1}{2} k_p |V_{ov}|^2$ 其中 $k_p = \mu_p C_{ox} \left(\frac{W}{L}\right)$ 為 PMOS 之轉導參數。

二、解題方法

(一) 求閘極電壓 $V_G$

1. 依過驅電壓與源-閘極電壓之關係： $V_{SG} = |V_{tp}| + |V_{ov}|$
2. 代入已知數值 $|V_{tp}| = 0.8\ \mathrm{V}$、與 $|V_{ov}| = 0.4\ \mathrm{V}$： $V_{SG} = 0.8\ \mathrm{V} + 0.4\ \mathrm{V} = 1.2\ \mathrm{V}$
3. 已知源極接地 $V_S = 0\ \mathrm{V}$，依端點電位差定義： $V_{SG} = V_S - V_G \implies 1.2\ \mathrm{V} = 0 - V_G \implies V_G = -1.2\ \mathrm{V}$

(二) 求維持在飽和區操作之汲極電壓最高值 $V_{D,\max}$

1. PMOS 操作於飽和區的物理條件為通道在汲極端發生夾斷（pinch-off），需滿足： $V_{SD} \ge |V_{ov}|$
2. 將端點電壓 $V_{SD} = V_S - V_D$ 及 $|V_{ov}| = 0.4\ \mathrm{V}$ 代入： $0 - V_D \ge 0.4\ \mathrm{V} \implies -V_D \ge 0.4\ \mathrm{V} \implies V_D \le -0.4\ \mathrm{V}$
3. 在此不等式約束下，汲極電壓的上限（最高值）即為剛好落在飽和邊界處的值： $V_{D,\max} = -0.4\ \mathrm{V}$

(三) 求不同 $V_D$ 條件下的汲極電流 $I_D$

1. 求製程轉導參數 $k_p$

由第 (二) 小題已知，元件操作於飽和區時，汲極電流 $I_D = 0.4\ \mathrm{mA}$，代入飽和區電流公式： $I_D = \frac{1}{2} k_p |V_{ov}|^2$ $0.4\ \mathrm{mA} = \frac{1}{2} \times k_p \times (0.4\ \mathrm{V})^2 = 0.08 \times k_p$ 解得：

核心觀念

本題考查金氧半場效電晶體差動對（MOS Differential Pair）的直流偏壓分析與NMOS 飽和區特性方程式。

1. 差動對的直流對稱性： 當電路結構完全對稱（兩電晶體特性相同、汲極負載電阻相同），且兩輸入端施加相同之直流電位（均接地 $V_{G1}=V_{G2}=0\ \mathrm{V}$）時，尾端定電流源 $I$ 將平均分配至兩側電晶體： $I_{D1} = I_{D2} = \frac{I}{2}$

2. NMOS 飽和區（Saturation Region）電流方程式： $I_D = \frac{1}{2} k_n (V_{GS} - V_t)^2 = \frac{1}{2} k_n V_{OV}^2$ 其中互導參數 $k_n = k'_n \left(\frac{W}{L}\right)$，過載電壓（Overdrive Voltage）$V_{OV} = V_{GS} - V_t$。

3. 飽和區工作條件： $V_{DS} \ge V_{OV} \iff V_D \ge V_G - V_t$

解題方法

(一) 計算流過 $Q_1$ 的電流

原卷圖 1 為典型的對稱型 NMOS 差動對電路：

• 電源電壓為 $+2.5\ \mathrm{V}$。
• 兩電晶體 $Q_1$ 與 $Q_2$ 尺寸相同，$\left(\frac{W}{L}\right)_1 = \left(\frac{W}{L}\right)_2 = 16$。
• 兩汲極電阻均為 $R_D = 20\ \mathrm{k\Omega}$，節點電壓標示為 $V_1$ 與 $V_2$。
• 兩源極相連於節點 $V_3$，並接至一個 $I = 200\ \mathrm{\mu A}$ 的尾端定電流源。
• 兩閘極端皆接地，即直流偏壓輸入為共模零電位（$V_{G1} = V_{G2} = 0\ \mathrm{V}$）。

因電路完全對稱且兩閘極同電位，尾端定電流 $I = 200\ \mathrm{\mu A}$ 平均分配至兩分支： $I_{D1} = I_{D2} = \frac{I}{2} = \frac{200\ \mathrm{\mu A}}{2} = 100\ \mathrm{\mu A} = 0.1\ \mathrm{mA}$

(二) 計算節點電壓 $V_1$、$V_2$ 與 $V_3$

1. 計算節點電壓 $V_1$ 與 $V_2$： 節點 $V_1$ 為 $Q_1$ 的汲極電壓 $V_{D1}$，節點 $V_2$ 為 $Q_2$ 的汲極電壓 $V_{D2}$。 依歐姆定律，自 $+2.5\ \mathrm{V}$ 電源經汲極電阻扣除電阻壓降： $V_1 = V_{DD} - I_{D1} R_D = 2.5\ \mathrm{V} - (100\ \mathrm{\mu A}) \times (20\ \mathrm{k\Omega}) = 2.5\ \mathrm{V} - 2.0\ \mathrm{V} = 0.5\ \mathrm{V}$ $V_2 = V_{DD} - I_{D2} R_D = 2.5\ \mathrm{V} - (100\ \mathrm{\mu A}) \times (20\ \mathrm{k\Omega}) = 2.5\ \mathrm{V} - 2.0\ \mathrm{V} = 0.5\ \mathrm{V}$

2. 計算節點電壓 $V_3$： 節點 $V_3$ 為兩電晶體共連接的源極電壓 $V_S$。 首先計算電晶體參數 $k_n$： $k_n = k'_n \left(\frac{W}{L}\right) = 60\ \mathrm{\mu A/V^2} \times 16 = 960\ \mathrm{\mu A/V^2} = 0.96\ \mathrm{mA/V^2}$

核心觀念

本題評量理想運算放大器（Op-Amp）組成之反相米勒積分器（Inverting Miller Integrator）​的頻率響應特性，核心觀念包含：

1. 反相積分器轉移函數（Transfer Function）： 輸入端阻抗為 $Z_1 = R$，回授端阻抗為電容阻抗 $Z_2 = \frac{1}{sC}$。由虛接地（Virtual Ground）觀念推導，其 $s$ 域轉移函數為： $H(s) = \frac{V_o(s)}{V_i(s)} = -\frac{Z_2}{Z_1} = -\frac{1}{sRC}$

2. 弦波穩態頻率響應（Frequency Response）： 令 $s = j\omega$（其中 $\omega = 2\pi f$），頻率響應函數為： $H(j\omega) = -\frac{1}{j\omega RC} = \frac{j}{\omega RC} = \frac{1}{\omega RC} \angle 90^\circ$

• 振幅大小（Magnitude）：$|H(j\omega)| = \frac{1}{\omega RC} = \frac{1}{2\pi f RC}$，與頻率成反比（頻率每下降 10 倍，增益增加 10 倍，即斜率為 $-20\ \mathrm{dB/decade}$）。
• 單位增益頻率（Unity-Gain Frequency）：當 $|H(j\omega)| = 1$ 時之頻率，又稱積分頻率 $\omega_0 = \frac{1}{RC}$。
• 相位響應（Phase Response）：$\angle H(j\omega) = \angle (j) = +90^\circ$（或表示為 $-270^\circ$），在所有工作頻率下，理想積分器的相位皆恆定不變。

解題方法

已知電路元件參數：

• 電阻 $R = 10\ \mathrm{k\Omega} = 10^4\ \Omega$
• 電容 $C = 1\ \mathrm{nF} = 10^{-9}\ \mathrm{F}$
• 時間常數 $\tau = RC = 10^4 \times 10^{-9} = 10^{-5}\ \mathrm{s}$

(一) 求輸入與輸出信號振幅相等時之頻率（Hz）

輸入與輸出信號振幅相等即表示電壓增益大小為 1（單位增益）： $|H(j\omega)| = \frac{1}{\omega RC} = 1$ 解得角頻率 $\omega_0$： $\omega_0 = \frac{1}{RC} = \frac{1}{10^{-5}} = 10^5\ \mathrm{rad/s}$ 換算為頻率 $f_0$（單位 $\mathrm{Hz}$）： $f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{10^5}{2\pi} \approx 15915.5\ \mathrm{Hz} \approx 15.92\ \mathrm{kHz}$

(二) 在此頻率下，輸出弦波相對於輸入的相位關係

轉移函數為： $H(j\omega) = -\frac{1}{j\omega RC} = \frac{j}{\omega RC}$ 其相位角為： $\theta = \angle H(j\omega) = \arg(j) = +90^\circ$

核心觀念

本題為經典的並聯－並聯（Shunt-Shunt）負迴授放大器分析，取自微電子學權威教材 Sedra & Smith 的經典範例架構。核心觀念包含：

1. 基本放大器組態（Common-Gate, CG）：

• 輸入端為 $Q_1$ 之源極（Source），輸出端為 $Q_1$ 之汲極（Drain）。
• 當忽略 $r_o$ 時，輸入阻抗為 $R_i = \frac{1}{g_{m1}}$。
• 訊號源為電流 $I_s$，輸出為電壓 $V_o$，故基本放大器屬於互阻放大器（Transresistance Amplifier），開迴路互阻增益 $A = \frac{V_o}{I_i} = R_D$。

2. 迴授網路架構（Capacitive Divider + Common-Source $Q_f$）：

• 取樣方式：於輸出端取樣電壓 $V_o$（並聯取樣，Shunt）。
• 分壓機制：電容分壓器將 $V_o$ 分壓後送入 $Q_f$ 之閘極。依交流阻抗計算，分壓比為： $k = \frac{V_{gf}}{V_o} = \frac{\frac{1}{s C_1}}{\frac{1}{s C_1} + \frac{1}{s C_2}} = \frac{C_2}{C_1 + C_2}$ （其中 $C_2$ 為連接至 $V_o$ 的串聯電容，$C_1$ 為閘極對地電容）。
• 混合方式：$Q_f$ 為共源極組態，將閘極電壓轉為汲極電流 $I_f = g_{mf} V_{gf}$，並拉回輸入端（源極節點）進行電流相減（並聯混合，Shunt）。
• 迴授因子：$\beta = \frac{I_f}{V_o} = k \cdot g_{mf}$，單位為 $\mathrm{mA/V}$（導納維度）。

3. 並聯－並聯迴授對阻抗之效應：

• 輸入端為並聯混合：閉迴路輸入電阻降低，即 $R_{in} = \frac{R_i}{1 + A\beta}$。
• 輸出端為並聯取樣：閉迴路輸出電阻降低，即 $R_{out} = \frac{R_o}{1 + A\beta}$。

解題方法

(一) 求迴授因子 $\beta$ 與閉迴路增益 $A_f$

1. 計算電容分壓比 $k$ 與迴授因子 $\beta$：

• 電容分壓網路由串聯臂電容 $C_2 = 0.1\ \mathrm{pF}$ 與對地臂電容 $C_1 = 0.9\ \mathrm{pF}$ 構成，送入 $Q_f$ 閘極之電壓為： $V_{gf} = V_o \cdot \frac{C_2}{C_1 + C_2} = V_o \cdot \frac{0.1\ \mathrm{pF}}{0.9\ \mathrm{pF} + 0.1\ \mathrm{pF}} = 0.1 V_o$
• $Q_f$ 之小訊號汲極電流即為迴授電流 $I_f$： $I_f = g_{mf} V_{gf} = (2\ \mathrm{mA/V}) \cdot (0.1 V_o) = 0.2 V_o\ (\mathrm{mA})$
• 由迴授因子定義 $\beta = \frac{I_f}{V_o}$： $\beta = 0.2\ \mathrm{mA/V} = 2 \times 10^{-4}\ \Omega^{-1}$

2. 計算基本放大器之開迴路增益 $A$：

• 題目指定忽略 $C_1$、$C_2$ 的負載效應且忽略 $r_o$。
• 對共閘極放大器 $Q_1$，當小訊號電流 $I_i$ 注入源極時，在忽略 $r_o$ 下，該電流全數流經汲極電阻 $R_D$： $V_o = I_i \cdot R_D$
• 故開迴路互阻增益為： $A = \frac{V_o}{I_i} = R_D = 10\ \mathrm{k\Omega} = 10\ \mathrm{V/mA}$

3. 計算迴路增益（Loop Gain）$A\beta$ 與閉迴路增益 $A_f$：

• 迴路增益為無因次量： $A\beta = (10\ \mathrm{V/mA}) \times (0.2\ \mathrm{mA/V}) = 2$

核心觀念

本題評量積體電路（IC）主動負載共源極（Common-Source, CS）放大器之直流偏壓、小訊號模型與高頻響應分析，涵蓋四大核心觀念：

1. 主動負載（Active Load）直流偏壓與小訊號輸出電阻：

• 電流鏡（$Q_2, Q_3$）提供定電流主動負載，汲極直流偏壓電流 $I_{D1} = I_{D2} = I_{BIAS}$。
• 電晶體輸出電阻由厄利效應（Early Effect）決定：$r_o = \dfrac{|V_A|}{I_D}$。輸出端總小訊號電阻為放大管與負載管輸出電阻之並聯：$R_o = r_{o1} \parallel r_{o2}$。

2. 跨導與低頻（中頻）電壓增益 $A_M$：

• 飽和區 MOSFET 跨導公式：$g_m = \sqrt{2\mu_n C_{ox}\left(\dfrac{W}{L}\right)I_D}$。
• MOSFET 閘極於低頻時視為開路（輸入電阻 $R_{in} \to \infty$），訊號源內阻 $R_{sig}$ 無分壓效應（$V_{gs} = V_{sig}$），低頻電壓增益為： $A_M = \frac{V_o}{V_{sig}} = -g_{m1} R_o$

3. 高頻響應與 3-dB 頻寬（$f_H$）：

• 題目指定「忽略輸出端電容效應」，意即頻率響應完全由輸入迴路極點主導。
• 利用密勒定理（Miller's Theorem），將跨接於閘極與汲極間的電容 $C_{gd}$ 等效至輸入端： $C_M = C_{gd}(1 - A_v) = C_{gd}(1 + g_{m1}R_o)$ $C_{in} = C_{gs} + C_M$
• 輸入極點所決定的 3-dB 上限頻率為： $f_H = \frac{1}{2\pi R_{sig} C_{in}}$
• （亦可採用開路時間常數法 OCTC 驗算，結果高度一致）。

4. 傳輸零點（Transmission Zero, $f_z$）：

• $C_{gd}$ 提供輸入至輸出的前向饋入（feedforward）路徑。在輸出為零（$V_o = 0$）時，流經 $C_{gd}$ 之高頻前向電流抵消了相依電流源 $g_{m1}V_{gs}$ 之電流，產生一個右半平面（RHP）零點： $s_z = +\frac{g_{m1}}{C_{gd}} \implies f_z = \frac{g_{m1}}{2\pi C_{gd}}$

解題方法

步驟一：直流偏壓與跨導 $g_{m1}$ 計算

由電路圖，$Q_2$ 與 $Q_3$ 為匹配之 PMOS 電流鏡，故 $Q_2$ 之汲極電流等於參考電流： $I_{D2} = I_{BIAS} = 100\ \mu\text{A}$

由於 $Q_1$ 與 $Q_2$ 串接，在無外接直流負載下，放大管 $Q_1$ 之直流汲極電流為： $I_{D1} = I_{D2} = 100\ \mu\text{A} = 0.1\ \text{mA}$

代入 $Q_1$ 之製程與幾何參數計算跨導 $g_{m1}$： $g_{m1} = \sqrt{2 \cdot \mu_n C_{ox} \cdot \left(\frac{W}{L}\right)_1 \cdot I_{D1}}$ $g_{m1} = \sqrt{2 \times \left(90\ \mu\text{A/V}^2\right) \times 100 \times \left(100\ \mu\text{A}\right)} = \sqrt{2 \times 90 \times 10^{-6} \times 100 \times 100 \times 10^{-6}}$ $g_{m1} = \sqrt{1.8 \times 10^{-6}}\ \text{A/V} \approx 1.3416 \times 10^{-3}\ \text{A/V} = 1.342\ \text{mA/V}$

步驟二：輸出端總電阻 $R_o$ 計算

計算 $Q_1$ 與 $Q_2$ 之小訊號輸出電阻：

• $Q_1$（NMOS）輸出電阻： $r_{o1} = \frac{V_{A1}}{I_{D1}} = \frac{12.8\ \text{V}}{100\ \mu\text{A}} = 128\ \text{k}\Omega$
• $Q_2$（PMOS）輸出電阻： $r_{o2} = \frac{|V_{A2}|}{I_{D2}} = \frac{19.2\ \text{V}}{100\ \mu\text{A}} = 192\ \text{k}\Omega$

輸出端總交流電阻 $R_o$ 為兩者之並聯： $R_o = r_{o1} \parallel r_{o2} = \frac{128\ \text{k}\Omega \times 192\ \text{k}\Omega}{128\ \text{k}\Omega + 192\ \text{k}\Omega} = \frac{24576}{320}\ \text{k}\Omega = 76.8\ \text{k}\Omega$

步驟三：低頻（中頻）增益 $A_M$ 計算

在低頻與中頻操作下，內部寄生電容視為開路。因為 MOSFET 閘極無直流電流注入，輸入阻抗為無限大，故閘極訊號電壓即為輸入電壓： $V_{gs1} = V_{sig}$

輸出電壓為： $V_o = -g_{m1} V_{gs1} \cdot R_o = -g_{m1} R_o V_{sig}$

低頻電壓增益： $A_M = \frac{V_o}{V_{sig}} = -g_{m1} R_o = -1.3416\ \text{mA/V} \times 76.8\ \text{k}\Omega \approx -103.04\ \text{V/V}$ （反相放大，增益大小 $|A_M| \approx 103\ \text{V/V}$）

步驟四：3-dB 頻寬計算