107 鐵路特考員級 電力工程 電工機械概要 考古題詳解

核心觀念

1. 三相變壓器組之額定容量與損耗關係： 由三具完全相同之單相變壓器組成三相變壓器組時：

• 三相額定容量為單相額定容量之 $3$ 倍：$S_{3\phi} = 3 \times S_{1\phi}$。
• 額定總鐵心損失（鐵損）為單相之 $3$ 倍：$P_{i,3\phi} = 3 \times P_{i,1\phi}$。
• 額定總銅損為單相之 $3$ 倍：$P_{cu,3\phi} = 3 \times P_{cu,1\phi}$。

2. $Y$ 接與 $\Delta$ 接之線值與相值關係：

• $\Delta$ 接線：線電壓等於繞組相電壓，線電流為繞組相電流之 $\sqrt{3}$ 倍。 $V_L = V_P,\quad I_L = \sqrt{3} I_P$
• $Y$ 接線：線電壓為繞組相電壓之 $\sqrt{3}$ 倍，線電流等於繞組相電流。 $V_L = \sqrt{3} V_P,\quad I_L = I_P$

3. 變壓器效率公式： $\eta = \frac{P_{out}}{P_{in}} = \frac{P_{out}}{P_{out} + P_{loss}} = \frac{S_{3\phi} \cos\theta}{S_{3\phi} \cos\theta + P_{i,3\phi} + P_{cu,3\phi}}$

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解題方法

基本參數推導

單相變壓器之各項額定值即為單一繞組之「相額定值」：

• 高壓側繞組額定相電壓：$V_{P,H} = 2400\,\mathrm{V}$
• 低壓側繞組額定相電壓：$V_{P,L} = 240\,\mathrm{V}$
• 高壓側繞組額定相電流： $I_{P,H} = \frac{S_{1\phi}}{V_{P,H}} = \frac{10000\,\mathrm{VA}}{2400\,\mathrm{V}} = \frac{25}{6}\,\mathrm{A} \approx 4.167\,\mathrm{A}$
• 低壓側繞組額定相電流： $I_{P,L} = \frac{S_{1\phi}}{V_{P,L}} = \frac{10000\,\mathrm{VA}}{240\,\mathrm{V}} = \frac{125}{3}\,\mathrm{A} \approx 41.667\,\mathrm{A}$
• 三相變壓器總額定容量： $S_{3\phi} = 3 \times 10\,\mathrm{kVA} = 30\,\mathrm{kVA}$

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(一) 高壓側 $\Delta$ 接、低壓側 $Y$ 接之額定線電壓與線電流

1. 高壓側（$\Delta$ 接）：

• 額定線電壓： $V_{L,H} = V_{P,H} = 2400\,\mathrm{V}$
• 額定線電流： $I_{L,H} = \sqrt{3} I_{P,H} = \sqrt{3} \times \frac{25}{6} = \frac{25\sqrt{3}}{6}\,\mathrm{A} \approx 7.217\,\mathrm{A}$

2. 低壓側（$Y$ 接）：

• 額定線電壓： $V_{L,L} = \sqrt{3} V_{P,L} = \sqrt{3} \times 240 = 240\sqrt{3}\,\mathrm{V} \approx 415.692\,\mathrm{V}$
• 額定線電流： $I_{L,L} = I_{P,L} = \frac{125}{3}\,\mathrm{A} \approx 41.667\,\mathrm{A}$

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(二) 高壓側 $Y$ 接、低壓側 $\Delta$ 接之額定線電壓與線電流

1. 高壓側（$Y$ 接）：

• 額定線電壓： $V_{L,H} = \sqrt{3} V_{P,H} = \sqrt{3} \times 2400 = 2400\sqrt{3}\,\mathrm{V} \approx 4156.922\,\mathrm{V}$
• 額定線電流： $I_{L,H} = I_{P,H} = \frac{25}{6}\,\mathrm{A} \approx 4.167\,\mathrm{A}$

核心觀念

本題評量三相感應電動機在穩態運轉下的功率潮流（Power Flow）、等效電路參數推導、轉速與轉矩計算及效率分析。核心公式與觀念如下：

1. 三相輸入功率： $P_{in} = \sqrt{3} V_L I_L \cos\theta$ 式中 $V_L$ 為線電壓、$I_L$ 為線電流、$\cos\theta$ 為功率因數。在 $Y$ 接架構下，相電流 $I_\phi = I_L$。
2. 定子側功率平衡與銅損： 輸入總功率扣除傳遞至氣隙的氣隙功率 $P_{ag}$，即為定子側損耗。在忽略鐵心損失（$P_{core} \approx 0$）時，定子三相銅損為： $P_{cu1} = P_{in} - P_{ag} = 3 I_\phi^2 R_1$ 由此可反求每相定子等效電阻 $R_1$。
3. 感應機轉速與轉差率（Slip）：

• 同步轉速：$N_s = \frac{120 f}{P}\quad (\mathrm{rpm})$
• 轉子實際轉速：$N_r = (1 - s) N_s\quad (\mathrm{rpm})$
• 同步角速度：$\omega_s = \frac{2\pi N_s}{60}\quad (\mathrm{rad/s})$

4. 電磁轉矩（內生轉矩 $T_{em}$）： 電磁轉矩為氣隙功率轉換至機械動能的轉矩，其大小等於氣隙功率除以同步角速度（或機械轉換功率除以轉子實際角速度）： $T_{em} = \frac{P_{ag}}{\omega_s} = \frac{P_{conv}}{\omega_r}$
5. 功率潮流比與效率： 感應電動機轉子側存在固定功率比例： $P_{ag} : P_{cu2} : P_{conv} = 1 : s : (1 - s)$ 其中機械轉換功率為 $P_{conv} = (1 - s)P_{ag}$。在忽略機械旋轉損與鐵損的條件下，電動機輸出功率 $P_{out} = P_{conv}$，效率定義為： $\eta = \frac{P_{out}}{P_{in}} \times 100\%$

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解題方法

(一) 求每相定子等效電阻 $R_1$

1. 計算三相總輸入實功率 $P_{in}$： 代入線電壓 $V_L = 380\,\mathrm{V}$、線電流 $I_L = 20\,\mathrm{A}$、$\cos\theta = 0.85$： $P_{in} = \sqrt{3} \times 380 \times 20 \times 0.85 = 6460\sqrt{3} \approx 11189.05\,\mathrm{W}$

2. 計算定子三相銅損 $P_{cu1}$： 已知氣隙功率 $P_{ag} = 10.8\,\mathrm{kW} = 10800\,\mathrm{W}$。忽略定子鐵損時，輸入功率與氣隙功率之差即為定子銅損： $P_{cu1} = P_{in} - P_{ag} = 11189.05 - 10800 = 389.05\,\mathrm{W}$

3. 求解每相定子等效電阻 $R_1$： 因為定子繞組為 $Y$ 接，每相相電流等於線電流，即 $I_1 = I_\phi = I_L = 20\,\mathrm{A}$： $P_{cu1} = 3 I_1^2 R_1 \implies R_1 = \frac{P_{cu1}}{3 I_1^2} = \frac{389.05}{3 \times (20)^2} = \frac{389.05}{1200} \approx 0.324\,\Omega$

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核心觀念

本題評量三相同步電動機在固定機械負載下的激磁控制特性與相量關係，主要涵蓋四大核心觀念與公式：

1. 同步電動機每相等效電路與電壓方程式： 在忽略電樞電阻（$R_a = 0$）的條件下，端相電壓 $\mathbf{V}_\phi$、每相反電動勢（激磁感應電勢）$\mathbf{E}_f$ 與電樞相電流 $\mathbf{I}_a$ 之相量關係為： $\mathbf{V}_\phi = \mathbf{E}_f + j X_s \mathbf{I}_a \implies \mathbf{E}_f = \mathbf{V}_\phi - j X_s \mathbf{I}_a$ 其中 $Y$ 接系統之相電壓與線電壓關係為 $V_\phi = \frac{V_L}{\sqrt{3}}$。

2. 固定機械負載的功率不變特性： 忽略機械與鐵銅損失時，輸入實功率等於電磁輸出功率： $P = \sqrt{3} V_L I_a \cos\theta = 3 V_\phi I_a \cos\theta = \text{常數}$ 因電源電壓固定，調整激磁時，電樞電流的實部（有功分量）維持恆定： $I_a \cos\theta = \text{常數}$

3. 線性磁路（忽略磁飽和）下激磁電勢與場電流的關係： 在頻率固定且不計磁飽和現象時，反電動勢大小與激磁場電流成嚴格正比： $E_f \propto I_f \implies \frac{I_f}{I_{f1}} = \frac{E_f}{E_{f1}}$

4. 三相虛功率公式： $Q = \sqrt{3} V_L I_a \sin\theta = 3 V_\phi I_a \sin\theta = P \tan\theta$

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解題方法

步驟零：求基準運轉狀態（狀態 1）之參數

• 相電壓： $V_\phi = \frac{V_L}{\sqrt{3}} = \frac{460}{\sqrt{3}} \approx 265.58\,\mathrm{V}$
• 以端電壓為參考相量：設 $\mathbf{V}_\phi = \frac{460}{\sqrt{3}} \angle 0^\circ\,\mathrm{V}$。
• 基準狀態電流：功率因數 $\cos\theta_1 = 1.0$（$\theta_1 = 0^\circ$），相電流 $I_{a1} = 50\,\mathrm{A}$： $\mathbf{I}_{a1} = 50 \angle 0^\circ\,\mathrm{A}$ 有功電流恆定值 $I_a \cos\theta = 50 \times 1.0 = 50\,\mathrm{A}$。
• 基準相反電動勢 $\mathbf{E}_{f1}$： $\mathbf{E}_{f1} = \mathbf{V}_\phi - j X_s \mathbf{I}_{a1} = \frac{460}{\sqrt{3}} - j(2)(50) = 265.58 - j 100\,\mathrm{V}$ $E_{f1} = \sqrt{\left(\frac{460}{\sqrt{3}}\right)^2 + 100^2} = \sqrt{\frac{211600}{3} + 10000} = \sqrt{\frac{241600}{3}} \approx 283.78\,\mathrm{V}$

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(一) 計算功率因數為 $0.8$ 超前時的輸入相電流與激磁場電流

1. 計算輸入相電流 $I_{a2}$： 因機械負載固定，$I_{a2} \cos\theta_2 = I_{a1} \cos\theta_1$： $I_{a2} \times 0.8 = 50 \implies I_{a2} = \frac{50}{0.8} = 62.5\,\mathrm{A}$

2. 建立電樞電流相量 $\mathbf{I}_{a2}$： 功率因數 $0.8$ 超前，代表電流超前電壓 $\theta_2 = +\arccos(0.8) \approx +36.87^\circ$（$\sin\theta_2 = 0.6$）： $\mathbf{I}_{a2} = 62.5(0.8 + j 0.6) = 50 + j 37.5\,\mathrm{A}$

3. 計算反電動勢 $\mathbf{E}_{f2}$： $\mathbf{E}_{f2} = \mathbf{V}_\phi - j X_s \mathbf{I}_{a2} = \frac{460}{\sqrt{3}} - j 2(50 + j 37.5) = \left(\frac{460}{\sqrt{3}} + 75\right) - j 100$ $\mathbf{E}_{f2} \approx 340.58 - j 100\,\mathrm{V}$ $E_{f2} = \sqrt{340.58^2 + 100^2} \approx \sqrt{115995.78 + 10000} \approx 354.96\,\mathrm{V}$

4. 計算激磁場電流 $I_{f2}$： 利用磁路未飽和之線性比例關係： $I_{f2} = I_{f1} \times \frac{E_{f2}}{E_{f1}} = 80 \times \frac{354.96}{283.78} \approx 100.06\,\mathrm{A}$

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核心觀念

本題評量「永磁式直流電動機（PMDC Motor）」的穩態運轉與啟動特性分析，涵蓋以下核心物理定律與公式：

1. 磁通特性：永磁式直流電動機利用永久磁鐵建立主磁場，磁通量 $\Phi$ 視為常數，不隨負載電流或電壓改變。
2. 反電動勢方程式： $E_a = K_a \Phi \omega_m = V_t - I_a R_a$ 其中 $V_t$ 為端電壓、$I_a$ 為電樞電流、$R_a$ 為電樞電阻。
3. 電磁功率（內生功率）： $P_d = E_a I_a$
4. 電磁轉矩（內生轉矩）與機械角速度： $\omega_m = \frac{2\pi n}{60} \quad (\mathrm{rad/s})$ $T_d = \frac{P_d}{\omega_m} = K_a \Phi I_a$ 由於磁通 $\Phi$ 為定值，電磁轉矩與電樞電流具正比關係（$T_d \propto I_a$）。
5. 啟動特性： 電動機在啟動瞬間轉速 $n = 0$，反電動勢 $E_a = 0$。電樞電路串聯電阻 $R_s$ 後，啟動電流由歐姆定律決定： $I_{st} = \frac{V_t}{R_a + R_s}$

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解題方法

(一) 計算電磁功率 $P_d$ 與電磁轉矩 $T_d$

1. 計算反電動勢 $E_a$： 代入電樞電路電壓平衡方程式： $E_a = V_t - I_a R_a = 24 - 10 \times 0.3 = 24 - 3 = 21\,\mathrm{V}$

2. 計算電磁功率 $P_d$： $P_d = E_a I_a = 21 \times 10 = 210\,\mathrm{W}$

3. 計算轉速之機械角速度 $\omega_m$： $\omega_m = \frac{2\pi \times 1000}{60} = \frac{100\pi}{3}\,\mathrm{rad/s} \approx 104.72\,\mathrm{rad/s}$

4. 計算電磁轉矩 $T_d$： $T_d = \frac{P_d}{\omega_m} = \frac{210}{\frac{100\pi}{3}} = \frac{630}{100\pi} = \frac{6.3}{\pi} \approx 2.01\,\mathrm{N\cdot m}$

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(二) 計算串聯電阻值 $R_s$ 與啟動轉矩 $T_{st}$

1. 計算串聯電阻值 $R_s$： 啟動瞬間轉速為零，反電動勢 $E_a = 0$。欲將啟動電流限制為 $I_{st} = 12\,\mathrm{A}$，電樞迴路總電阻需滿足： $R_{total} = R_a + R_s = \frac{V_t}{I_{st}} = \frac{24}{12} = 2\,\Omega$ 因此，所需串聯之電阻值為：