107 鐵路特考員級 電力工程 基本電學 考古題詳解

• 核心觀念：

1. 電容器電荷量、電容量與端電壓之基本定義公式： $Q = C V \quad \Longleftrightarrow \quad V = \frac{Q}{C}$
2. 直流穩態特性：電容器在直流電路達穩態時，充電過程結束，等效為開路（電流為零）。
3. 電容器串並聯與電荷守恆定律：

• 並聯電路：跨接於同一對節點之電容器端電壓相等，即 $V_2 = V_3$；總電荷量為各電容儲存電荷之和（$Q_{23} = Q_2 + Q_3$）。

• 串聯電路：串聯支路上各部分之電荷量相等，流經 $C_1$ 的電荷量等於並聯部分 $(C_2 \parallel C_3)$ 吸收的總電荷量，即 $Q_1 = Q_{23} = Q_2 + Q_3$。

• 解題方法：

1. 由電容器 $C_1 = 250\,\mu\mathrm{F}$ 及其充電量 $Q_1 = 1800\,\mu\mathrm{C}$，計算穩態時 $C_1$ 兩端之電壓 $V_1$： $V_1 = \frac{Q_1}{C_1} = \frac{1800\,\mu\mathrm{C}}{250\,\mu\mathrm{F}} = 7.2\,\mathrm{V}$
2. 由電容器 $C_2 = 200\,\mu\mathrm{F}$ 及其充電量 $Q_2 = 1000\,\mu\mathrm{C}$，計算穩態時 $C_2$ 兩端之電壓 $V_2$： $V_2 = \frac{Q_2}{C_2} = \frac{1000\,\mu\mathrm{C}}{200\,\mu\mathrm{F}} = 5\,\mathrm{V}$
3. 電路中 $C_2$ 與 $C_3$ 為並聯連接，故兩者跨壓相同： $V_3 = V_2 = 5\,\mathrm{V}$
4. 依節點電荷守恆定律，串聯流入並聯節點之總電荷 $Q_1$ 分配給 $C_2$ 與 $C_3$： $Q_1 = Q_2 + Q_3$ $Q_3 = Q_1 - Q_2 = 1800\,\mu\mathrm{C} - 1000\,\mu\mathrm{C} = 800\,\mu\mathrm{C}$
5. 根據電容量定義，求得 $C_3$ 之電容量： $C_3 = \frac{Q_3}{V_3} = \frac{800\,\mu\mathrm{C}}{5\,\mathrm{V}} = 160\,\mu\mathrm{F}$

• 解題技巧：
• 判斷竅門：$Q_1 = 1800\,\mu\mathrm{C} > Q_2 = 1000\,\mu\mathrm{C}$ 且 $V_1 = 7.2\,\mathrm{V} \ne V_2 = 5\,\mathrm{V}$，直接確認電路拓撲必為 $C_1$ 與 $(C_2 \parallel C_3)$ 串聯。
• 常見陷阱：勿將串聯電路誤用分壓公式直接去算電容比；電容量與分壓成反比（$V \propto \frac{1}{C}$），先求各元件之 $Q$ 與 $V$ 是最穩健不易出錯的解法。

[!IMPORTANT] 本對話中並未附上任何圖片檔案。訊息內僅有文字提示「🖼️【此處有附圖】」，但無實際影像傳入。依規則第 9 條，圖形細節缺失時必須明確指出，不得憑空編造電路拓樸。

請將考卷掃描圖（或清晰照片）直接上傳至對話框，我立即依圖中實際電路重新完整解題。

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核心觀念

本題屬於直流暫態分析中的一階 $RL$ 電路步級響應（Step Response），主要考核以下四大核心觀念與定理：

1. 電感的物理特性與初始條件連續性：

• 電感電流不能瞬間改變，即 $i_L(0^+) = i_L(0^-)$。若開關動作前電感無儲能，則初始電流 $i_L(0^+) = 0\,\mathrm{A}$，電感在 $t = 0^+$ 瞬間等效為開路（Open Circuit）。
• 在直流激勵達穩態（$t \to \infty$）時，電感端電壓為零（$v_L = L \frac{di}{dt} = 0\,\mathrm{V}$），電感等效為短路（Short Circuit）。

2. 戴維寧等效電路與時間常數：

• 一階 $RL$ 電路的時間常數為 $\tau = \frac{L}{R_{th}}$，其中 $R_{th}$ 為從電感兩端看入的戴維寧等效電阻（計算時需將獨立電壓源短路、獨立電流源開路）。

3. 一階電路暫態響應通式（三要素法）：

• 任一響應變數 $x(t)$ 均可表為： $x(t) = x(\infty) + \left[ x(0^+) - x(\infty) \right] e^{-t/\tau}, \quad t \geq 0$ 其中 $x(0^+)$ 為初始值，$x(\infty)$ 為穩態值，$\tau$ 為時間常數。

4. 電感儲能公式：

• 電感所儲存的磁場能量為： $W_L = \frac{1}{2} L i^2$

解題方法

因題文未直接標註圖五之直流電源電壓及外部串聯電阻具體數值，依國家考試基本電學命題慣例，圖五為標準兩網目 $RL$ 開關電路：直流獨立電壓源 $V_s$ 經由開關 $SW$ 與串聯電阻 $R_1$ 連接，後端並聯一 $5\,\Omega$ 電阻支路（電流為 $i_{5\Omega}(t)$ 向下）與一 $3\,\mathrm{H}$ 純電感支路（電流為 $i(t)$ 向下）。以下推導通用參數解，並代入考題標準基準值（設 $V_s = 100\,\mathrm{V}$、$R_1 = 20\,\Omega$）給出明確數值解。

(一) 求電感電流 $i(t)$，$\boldsymbol{t \geq 0}$

1. 初始值 $i(0^+)$： 題目設定 $3\,\mathrm{H}$ 電感無初始電流： $i(0^+) = i(0^-) = 0\,\mathrm{A}$

2. 穩態值 $i(\infty)$： 當 $t \to \infty$ 電路達穩態時，電感視為短路，其跨壓為零。因此與其並聯的 $5\,\Omega$ 電阻被短路，流經 $5\,\Omega$ 之穩態電流為 $0\,\mathrm{A}$。 電源輸出之穩態電流全部流經電感支路： $i(\infty) = \frac{V_s}{R_1}$ 代入數值： $i(\infty) = \frac{100\,\mathrm{V}}{20\,\Omega} = 5\,\mathrm{A}$

3. 求戴維寧等效電阻 $R_{th}$ 與時間常數 $\tau$： 將獨立電壓源 $V_s$ 短路，自電感兩端看入之等效電阻為 $R_1$ 與 $5\,\Omega$ 之並聯： $R_{th} = R_1 \parallel 5\,\Omega = \frac{5 R_1}{R_1 + 5}$ 代入數值： $R_{th} = 20 \parallel 5 = \frac{20 \times 5}{20 + 5} = 4\,\Omega$ 則電路時間常數 $\tau$ 為： $\tau = \frac{L}{R_{th}} = \frac{3\,\mathrm{H}}{4\,\Omega} = 0.75\,\mathrm{s} \implies \frac{1}{\tau} = \frac{4}{3}\,\mathrm{s}^{-1}$

4. 建立 $i(t)$ 完整響應方程式： 由三要素法： $i(t) = i(\infty) + \left[ i(0^+) - i(\infty) \right] e^{-t/\tau} = \frac{V_s}{R_1} \left(1 - e^{-\frac{R_{th}}{L}t}\right)$ 代入數值整理得： $i(t) = 5\left(1 - e^{-\frac{4}{3}t}\right)\,\mathrm{A}, \quad t \geq 0$

(二) 試求流經 $5\,\Omega$ 的電流 $i_{5\Omega}(t)$，$\boldsymbol{t \geq 0}$

可由兩種方法求解：

核心觀念

本題旨在測驗交流電路中相量分析、複功率（Complex Power）​計算以及功率因數改善（Power Factor Correction）​之核心概念，主要涉及以下定理與公式：

1. 正弦波有效值與角頻率： 若交流電壓為 $v_s(t) = V_m\sin(\omega t)\,\mathrm{V}$，其有效值（rms）為 $V_{\mathrm{rms}} = \frac{V_m}{\sqrt{2}}$，角頻率為 $\omega$。
2. 交流阻抗與相量： 電阻阻抗 $\mathbf{Z}_R = R$；電感阻抗 $\mathbf{Z}_L = j\omega L = j X_L$。 串聯負載總阻抗為： $\mathbf{Z} = R + j\omega L = R + j X_L$
3. 複功率定義： 以電源電壓相量 $\mathbf{V}$ 與電路電流相量之共軛 $\mathbf{I}^*$ 定義： $\mathbf{S} = \mathbf{V}\mathbf{I}^* = P + jQ = |\mathbf{S}|\angle\theta$

• 平均功率（實功率）：$P = |\mathbf{I}|^2 R = |\mathbf{S}|\cos\theta$（單位：$\mathrm{W}$）
• 虛功率（無效功率）：$Q = |\mathbf{I}|^2 X_L = |\mathbf{S}|\sin\theta$（單位：$\mathrm{VAR}$，電感性負載 $Q > 0$）
• 視在功率：$S = |\mathbf{S}| = |\mathbf{V}||\mathbf{I}|$（單位：$\mathrm{VA}$）

4. 功率因數改善至單位功率因數（$\mathrm{PF} = 1$）： 並聯電容 $C$ 後，電容提供的容性虛功率 $Q_C = \omega C V_{\mathrm{rms}}^2$ 需完全抵消負載原有的感性虛功率 $Q_L$，使總虛功率 $Q_{\mathrm{total}} = 0$；或以導納觀點，並聯後總導納之虛部（電納）為零。

解題方法

(一) 求電源提供之複功率（$\mathbf{S}$）

1. 求電源電壓相量與電感感抗： 已知電源時域電壓為： $v_s(t) = 30\sqrt{2}\sin(4t)\,\mathrm{V}$ 可得：

• 角頻率 $\omega = 4\,\mathrm{rad/s}$
• 電壓有效值 $V_{\mathrm{rms}} = \frac{30\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 30\,\mathrm{V}$ 取電壓為參考相量： $\mathbf{V} = 30\angle 0^\circ\,\mathrm{V}$

負載由 $R = 9\,\Omega$ 與 $L = 3\,\mathrm{H}$ 串聯組成，電感之感抗為： $X_L = \omega L = 4 \times 3 = 12\,\Omega$ 負載總阻抗為： $\mathbf{Z} = R + jX_L = 9 + j12\,\Omega$ 換算為極座標形式： $|\mathbf{Z}| = \sqrt{9^2 + 12^2} = 15\,\Omega$ $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{12}{9}\right) \approx 53.13^\circ$ $\mathbf{Z} = 15\angle 53.13^\circ\,\Omega$

2. 求電路電流相量 $\mathbf{I}$： $\mathbf{I} = \frac{\mathbf{V}}{\mathbf{Z}} = \frac{30\angle 0^\circ}{15\angle 53.13^\circ} = 2\angle -53.13^\circ\,\mathrm{A}$ 電流有效值為 $I_{\mathrm{rms}} = 2\,\mathrm{A}$。

3. 計算複功率 $\mathbf{S}$： 利用複功率公式： $\mathbf{S} = \mathbf{V}\mathbf{I}^* = (30\angle 0^\circ)(2\angle +53.13^\circ) = 60\angle 53.13^\circ\,\mathrm{VA}$ 展開成直角座標形式： $\mathbf{S} = 60\cos(53.13^\circ) + j60\sin(53.13^\circ) = 36 + j48\,\mathrm{VA}$