107 鐵路特考員級 機械工程 基本電學 考古題詳解

核心觀念

1. 電容器直流穩態特性與串並聯電荷守恆：

• 電容基本定義式為 $Q = C \cdot V$，其中 $Q$ 為儲存電荷量、$C$ 為電容量、$V$ 為端電壓。
• 並聯電路特性：各並聯分支端電壓相等（$V_2 = V_3$），總電荷量為各分支電荷之代數和（$Q_p = Q_2 + Q_3$）。
• 串聯電路特性：流經串聯路徑之總充電電荷守恆，故串聯主路徑之電荷量等於後續並聯部分之總電荷量（$Q_1 = Q_p$）。

2. 最大功率轉移定理（Maximum Power Transfer Theorem）：

• 對於任意含獨立電源之線性直流電路，自負載端 $ab$ 看入可等效為戴維寧等效電路（等效電壓源 $V_{th}$ 串聯等效電阻 $R_{th}$）。
• 當可調負載電阻 $R_L$ 之值等於戴維寧等效電阻時（$R_L = R_{th}$），負載電阻可吸收最大功率。
• 計算戴維寧等效電阻 $R_{th}$ 時，必須將電路中所有獨立電源歸零（獨立電壓源視為短路，獨立電流源視為開路）。

解題方法

(一) 求電容器 $C_3$ 之電容量

1. 研判電路拓撲架構： 穩態時，若 $C_1$ 與 $C_2$ 為串聯關係，兩者充電量必相等，但題給 $Q_1 = 1800\,\mu\mathrm{C} \neq Q_2 = 1000\,\mu\mathrm{C}$；若兩者為並聯關係，端電壓必相等，但 $V_1 = \frac{1800\,\mu\mathrm{C}}{250\,\mu\mathrm{F}} = 7.2\,\mathrm{V}$ 與 $V_2 = \frac{1000\,\mu\mathrm{C}}{200\,\mu\mathrm{F}} = 5\,\mathrm{V}$ 不相等。 故圖一之電路組態為電容器 $C_1$ 串聯於電容器 $C_2$ 與 $C_3$ 之並聯組合，即 $C_1$ 串聯 $(C_2 \parallel C_3)$。

2. 計算並聯端電壓： 電容器 $C_2$ 兩端之電壓降為： $V_2 = \frac{Q_2}{C_2} = \frac{1000\,\mu\mathrm{C}}{200\,\mu\mathrm{F}} = 5\,\mathrm{V}$ 因 $C_3$ 與 $C_2$ 並聯，並聯元件端電壓相等： $V_3 = V_2 = 5\,\mathrm{V}$

3. 計算電容器 $C_3$ 之充電量： 依串聯電路電荷守恆定律，總充電量流經 $C_1$ 後分流至 $C_2$ 與 $C_3$： $Q_1 = Q_2 + Q_3$ 得 $C_3$ 所儲存之電荷量為： $Q_3 = Q_1 - Q_2 = 1800\,\mu\mathrm{C} - 1000\,\mu\mathrm{C} = 800\,\mu\mathrm{C}$

4. 計算 $C_3$ 之電容量： 由電容量定義式 $C = \frac{Q}{V}$ 計算： $C_3 = \frac{Q_3}{V_3} = \frac{800\,\mu\mathrm{C}}{5\,\mathrm{V}} = 160\,\mu\mathrm{F}$

(二) 求 $R_L$ 消耗最大功率時之電阻值

1. 題目資訊補充說明與電路設定： 本題原卷圖二之電路架構與元件數值於題文字中未列出，缺乏 $ab$ 端所接線性網路內部之電阻及電源配置；依國家考試「基本電學」此類題型之典型命題規範，假設圖二為標準線性獨立電源電路，由獨立電壓源 $E$ 串聯電阻 $R_1 = 6\,\Omega$，並聯電阻 $R_2 = 12\,\Omega$，再經由串聯電阻 $R_3 = 4\,\Omega$ 連接至輸出端子 $a$、$b$。

2. 最大功率轉移條件之理論推導： 將負載端 $ab$ 以外之線性電路簡化為戴維寧等效電路（由等效電壓 $V_{th}$ 與等效電阻 $R_{th}$ 串聯組成）。負載電阻 $R_L$ 消耗之功率為： $P_L = I_L^2 R_L = \left( \frac{V_{th}}{R_{th} + R_L} \right)^2 R_L = \frac{V_{th}^2 R_L}{(R_{th} + R_L)^2}$ 為求 $P_L$ 之極大值，對 $R_L$ 進行一次微分並令其等於零：

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核心觀念

本題評量一階直流 $RL$ 暫態電路之步階響應分析、電感特性與直流穩態能量計算，核心理論與公式包含：

1. 電感電流的連續性： 電感兩端之端電壓為 $v_L(t) = L \frac{di_L(t)}{dt}$。因電壓為有限值，電感電流不可瞬間躍變，必滿足初始條件： $i_L(0^+) = i_L(0^-)$
2. 直流穩態特性： 當電路開關閉合經歷足夠長時間（$t \to \infty$），電路達直流穩態，電流變化率 $\frac{di_L}{dt} = 0$，電感端電壓為零，電感於直流穩態下等效為短路（Short Circuit）。
3. 一階電路三要素解法： 直流激勵之一階電路，任一變數 $x(t)$（電流或電壓）在 $t \geq 0$ 時之響應通式為： $x(t) = x(\infty) + \left[ x(0^+) - x(\infty) \right] e^{-t/\tau}$ 其中 $x(0^+)$ 為初值、$x(\infty)$ 為穩態值、$\tau = \frac{L}{R_{th}}$ 為電路之時間常數，$R_{th}$ 為由電感端看入之戴維寧等效電阻。
4. 電感儲存之磁場能量： 電感在電流為 $i_L$ 時儲存之能量公式為： $W_L = \frac{1}{2} L i_L^2$

解題方法

本題原卷圖五缺少獨立電源之電壓標稱值與周邊元件連接架構，依題意（分別求解電感電流 $i(t)$ 與 $5\,\Omega$ 支路電流 $i_{5\Omega}(t)$）及國家考試命題慣例，採最經典之標準雙迴路拓樸合理假設：電路由直流電壓源 $E = 100\,\mathrm{V}$ 串聯開關 $SW$ 與限流電阻 $R_1 = 20\,\Omega$，閉合後並聯供給兩分支，第一分支為 $R_2 = 5\,\Omega$ 之電阻支路，第二分支為 $L = 3\,\mathrm{H}$ 之電感支路。

(一) 求 $i(t)$，$t \geq 0$

1. 求初始值 $i(0^+)$： 題目給定電感無初始電流，由電感電流連續性可知： $i(0^+) = i(0^-) = 0\,\mathrm{A}$

2. 求穩態值 $i(\infty)$： 當 $t \to \infty$ 電路達穩態時，電感等效為短路，其端電壓為 $0\,\mathrm{V}$，此時短路並聯之 $5\,\Omega$ 電阻，節點電壓降為零。電壓源 $E$ 提供之電流全數注入電感支路： $i(\infty) = \frac{E}{R_1} = \frac{100\,\mathrm{V}}{20\,\Omega} = 5\,\mathrm{A}$

3. 求戴維寧等效電阻 $R_{th}$ 與時間常數 $\tau$： 將獨立電壓源短路，由電感兩端看入電路求等效電阻： $R_{th} = R_1 \parallel R_2 = 20\,\Omega \parallel 5\,\Omega = \frac{20 \times 5}{20 + 5} = 4\,\Omega$ 計算時間常數 $\tau$： $\tau = \frac{L}{R_{th}} = \frac{3\,\mathrm{H}}{4\,\Omega} = 0.75\,\mathrm{s} = \frac{3}{4}\,\mathrm{s}$ 對應之衰減常數為 $\frac{1}{\tau} = \frac{4}{3}\,\mathrm{s}^{-1}$。

4. 代入三要素公式：

核心觀念

本題評量交流穩態電路分析與功率因數改善的計算能力，涉及以下核心定義與公式：

1. 正弦波訊號之有效值與相量表示法： 若電壓時域函數為 $v(t) = V_m \sin(\omega t + \theta)$，其角頻率為 $\omega$，有效值（RMS）為 $V_{\mathrm{rms}} = \frac{V_m}{\sqrt{2}}$。以正弦為參考基準時，電壓相量為 $\mathbf{V} = V_{\mathrm{rms}}\angle \theta$。
2. 交流阻抗與感抗： 電感感抗為 $X_L = \omega L$；電阻與電感串聯之總阻抗為： $\mathbf{Z} = R + jX_L = |\mathbf{Z}|\angle \theta_Z$
3. 複功率（Complex Power, $\mathbf{S}$）定義： $\mathbf{S} = \mathbf{V}\mathbf{I}^* = P + jQ = |\mathbf{S}|\angle \theta$

• $P = |\mathbf{S}|\cos\theta = I_{\mathrm{rms}}^2 R$：實功率（平均功率），單位為 $\mathrm{W}$。
• $Q = |\mathbf{S}|\sin\theta = I_{\mathrm{rms}}^2 X_L$：虛功率，單位為 $\mathrm{VAR}$（感性負載 $Q > 0$）。
• $\mathbf{I}^*$ 代表電流相量 $\mathbf{I}$ 之共軛複數。

4. 功率因數改善（Power Factor Correction）： 負載原本為落後功率因數（感性），欲使整體電路達到單位功率因數（$\mathrm{PF} = \cos\theta = 1$），電路之總虛功率必須為零（$Q_{\mathrm{total}} = 0$）。因此，並聯電容所提供之容性虛功率 $Q_C$ 必須恰好抵消電感所吸收之感性虛功率 $Q_L$： $Q_C = \frac{V_{\mathrm{rms}}^2}{X_C} = \omega C V_{\mathrm{rms}}^2 = Q_L$

解題方法

(一) 求電源提供之複功率 $\mathbf{S}$

1. 求電源電壓之角頻率與有效值相量： 已知電源時域電壓為： $v_s(t) = 30\sqrt{2}\sin(4t)\,\mathrm{V}$

• 角頻率：$\omega = 4\,\mathrm{rad/s}$
• 電壓有效值：$V_{\mathrm{rms}} = \frac{30\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 30\,\mathrm{V}$
• 取電源電壓為參考相量：$\mathbf{V}_s = 30\angle 0^\circ\,\mathrm{V}$

2. 計算負載阻抗 $\mathbf{Z}$：

• 電感感抗： $X_L = \omega L = 4 \times 3 = 12\,\Omega$
• 負載由 $R = 9\,\Omega$ 與 $L = 3\,\mathrm{H}$ 串聯組成，故總阻抗為： $\mathbf{Z} = R + jX_L = 9 + j12\,\Omega$
• 轉換為極座標形式： $|\mathbf{Z}| = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15\,\Omega$ $\theta_Z = \tan^{-1}\left(\frac{12}{9}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53.13^\circ$ $\mathbf{Z} = 15\angle 53.13^\circ\,\Omega$

3. 計算電路電流 $\mathbf{I}$： $\mathbf{I} = \frac{\mathbf{V}_s}{\mathbf{Z}} = \frac{30\angle 0^\circ}{15\angle 53.13^\circ} = 2\angle -53.13^\circ\,\mathrm{A}$ 電流有效值 $I_{\mathrm{rms}} = 2\,\mathrm{A}$。

4. 計算複功率 $\mathbf{S}$： 取電流共軛相量 $\mathbf{I}^* = 2\angle +53.13^\circ\,\mathrm{A}$： $\mathbf{S} = \mathbf{V}_s \mathbf{I}^* = (30\angle 0^\circ)(2\angle 53.13^\circ) = 60\angle 53.13^\circ\,\mathrm{VA}$ 化為直角座標形式（$P + jQ$）： $P = 60\cos(53.13^\circ) = 60 \times \frac{9}{15} = 36\,\mathrm{W}$ $Q = 60\sin(53.13^\circ) = 60 \times \frac{12}{15} = 48\,\mathrm{VAR}$ $\mathbf{S} = 36 + j48\,\mathrm{VA}$

(二) 求達單位功率因數（$\mathrm{PF}=1$）所需並聯之電容量 $C$