107 鐵路特考員級 機械工程 機械力學概要 考古題詳解

核心觀念

本題為外伸梁（Overhanging beam）之靜力平衡與彈性變形分析，涉及公職考試《機械力學概要》三大核心考點：

1. 靜力平衡條件：利用平面平行力系之平衡方程式 $\sum F_x = 0$、$\sum F_y = 0$、$\sum M = 0$ 求解支承反力。
2. 反曲點（Inflection Point）與彎矩關係：梁在彈性範圍內，其撓曲率方程式為 $\frac{d^2 v}{dx^2} = \frac{M(x)}{EI}$。反曲點即為曲率變號之點，在等抗彎剛性（$EI$ 為定值）條件下，對應彎矩為零且兩側正負符號相反之位置（即 $M(x) = 0$）。
3. 梁之撓度與轉角分析：可採「雙重積分法（Double Integration Method）」搭配邊界條件求解，或以「力矩面積法（Moment-Area Method）」快速求解轉角。

解題方法

建立座標系統：以樞點 $A$ 為原點 $x = 0$，水平向右為 $+x$，垂直向上為 $+y$（梁向上撓度為正 $v > 0$，逆時針轉角為正 $\theta > 0$）。 各特徵點座標如下：

• 樞點 $A$：$x = 0$
• 集中負載 $3P$ 作用點：$x = L$
• 滾接點 $B$：$x = 2L$
• 自由端 $C$（集中負載 $P$ 作用點）：$x = 3L$

（一）求支承反力 $R_A$ 與 $R_B$

設 $A$ 點垂直反力為 $R_{Ay}$（向上）、水平反力為 $R_{Ax}$（向右）；$B$ 點垂直反力為 $R_B$（向上）。

1. 水平平衡： $\sum F_x = 0 \implies R_{Ax} = 0$

2. 對樞點 $A$ 取力矩平衡（取逆時針為正）： $\sum M_A = 0 \implies R_B \cdot (2L) - (3P) \cdot (L) - (P) \cdot (3L) = 0$ $R_B \cdot (2L) = 3PL + 3PL = 6PL \implies R_B = 3P \quad (\uparrow)$

3. 垂直平衡： $\sum F_y = 0 \implies R_{Ay} + R_B - 3P - P = 0$ $R_{Ay} + 3P - 4P = 0 \implies R_{Ay} = P \quad (\uparrow)$

（二）反曲點 $D$ 之距離與彈性形變曲線

1. 各段彎矩方程式 $M(x)$：

• 區間 $0 \le x \le L$： $M(x) = R_{Ay} \cdot x = Px$ 當 $x = 0$ 時，$M(0) = 0$；當 $x = L$ 時，$M(L) = PL > 0$（正彎矩，梁下凹）。
• 區間 $L \le x \le 2L$： $M(x) = R_{Ay} \cdot x - 3P(x - L) = Px - 3Px + 3PL = 3PL - 2Px$ 當 $x = L$ 時，$M(L) = PL$；當 $x = 2L$ 時，$M(2L) = -PL < 0$（負彎矩，梁上凸）。
• 區間 $2L \le x \le 3L$（亦可由端點 $C$ 向左截面）： $M(x) = -P(3L - x) = Px - 3PL$ 當 $x = 2L$ 時，$M(2L) = -PL$；當 $x = 3L$ 時，$M(3L) = 0$。

2. 反曲點 $D$ 之位置： 反曲點處之彎矩值為零（$M = 0$ 且符號由正變負）。 在區間 $L \le x \le 2L$ 內： $M(x) = 3PL - 2Px = 0 \implies x_D = \frac{3}{2}L = 1.5L$ 故反曲點 $D$ 距離樞點 $A$ 為 $\frac{3}{2}L$。

3. 彈性形變曲線特徵與示意圖：

• 邊界條件：支承點處無垂直位移，即 $v(0) = 0$、$v(2L) = 0$。
• 形變曲線凹凸性：
• $0 \le x < 1.5L$：$M(x) > 0$，曲率為正，曲線為下凹（凹口向上）。
• $x = 1.5L$（點 $D$）：$M(x) = 0$，曲率為零，為反曲點。
• $1.5L < x \le 3L$：$M(x) < 0$，曲率為負，曲線為上凸（凹口向下）。
• 外伸端 $C$（$x = 3L$）：受向下集中力 $P$ 作用，產生向下之撓度（$v(3L) < 0$）。

【彈性形變曲線示意圖】
 x=0 x=L x=1.5L x=2L x=3L
 A (3P) D B C
 ▲ ↓ (反曲點) ▲ ↓ (P)
 ---------+------------+------------+------------+-------------+--------- (原軸線)
 \ / / \
 \ / / \
 v=0 \______/ / \ v=0 \
 \ v_c < 0
 【曲線曲率】: [--- 凹口向上 (M > 0) ---] | [------- 凹口向下 (M < 0) -------]

（三）反曲點 $D$ 之旋轉角度

採用雙重積分法（含奇異函數 Macaulay's Method）：

在 $0 \le x \le 2L$ 範圍內，梁之微分方程式為： $EI \frac{d^2 v}{dx^2} = M(x) = Px - 3P \langle x - L \rangle^1$

積分一次得轉角方程式： $EI \theta(x) = EI \frac{dv}{dx} = \frac{1}{2} P x^2 - \frac{3}{2} P \langle x - L \rangle^2 + C_1$

再積分一次得撓度方程式： $EI v(x) = \frac{1}{6} P x^3 - \frac{1}{2} P \langle x - L \rangle^3 + C_1 x + C_2$

核心觀念

本題考查彈性橡膠套筒（Rubber Bushing）受同軸扭矩作用下的應力、應變與變形分析，涉及三個核心力學觀念：

1. 同心圓柱柱面之扭矩平衡： 外加扭矩 $T$ 透過長度為 $L$、半徑為 $r$ 的同心圓柱面剪應力傳遞。由於無其他外力矩作用，在任意半徑 $r$ 處，柱面微元剪力的合力矩必須恆等於外加扭矩 $T$： $T = \int_A \tau(r) \cdot r \, dA = \tau(r) \cdot (2\pi r L) \cdot r = 2\pi L r^2 \tau(r)$
2. 剪力虎克定律（Hooke's Law for Shear）： 在線彈性範圍內，剪應力與剪應變成正比： $\tau(r) = G \gamma(r) \implies \gamma(r) = \frac{\tau(r)}{G}$
3. 同軸扭轉變形之運動相容關係（Kinematics of Torsional Bushing）： 半徑 $r$ 處的周向位移為 $u_\theta = r \phi(r)$，其中 $\phi(r)$ 為截面扭轉角。兩相鄰半徑 $r$ 與 $r+dr$ 間的相對剪切角（剪應變）幾何關係為： $\gamma(r) = r \frac{d\phi}{dr}$

解題方法

步驟一：求任意半徑 $r$ 處之剪應力與剪應變分佈

取半徑為 $r$（其中 $R \le r \le \frac{D}{2}$）、長度為 $L$ 的同心圓柱面為隔離體。 由柱面剪力對軸心的力矩平衡方程式： $T = \tau(r) \cdot (2\pi r L) \cdot r = 2\pi L r^2 \tau(r)$ 整理可得剪應力分佈函數： $\tau(r) = \frac{T}{2\pi L r^2}$ 代入剪力虎克定律，可得剪應變分佈函數： $\gamma(r) = \frac{\tau(r)}{G} = \frac{T}{2\pi G L r^2}$ 由上述兩式可知，剪應力 $\tau(r)$ 與剪應變 $\gamma(r)$ 均與半徑平方 $r^2$ 成反比。

（一）求橡膠環中剪應力 $\tau$ 之最大值

剪應力大小隨半徑 $r$ 增加而遞減。在橡膠環範圍內（$R \le r \le \frac{D}{2}$），當半徑取最小值，即與實心鋼棒相接觸的內邊界 $r = R$ 處，剪應力達到最大值： $\tau_{\max} = \tau(R) = \frac{T}{2\pi L R^2}$

（二）求橡膠環中剪應變 $\gamma$ 之最小值

剪應變隨半徑 $r$ 增加而遞減。當半徑取最大值，即橡膠環外圍固定處 $r = \frac{D}{2}$ 時，剪應變達到最小值： $\gamma_{\min} = \gamma\left(\frac{D}{2}\right) = \frac{T}{2\pi G L \left(\frac{D}{2}\right)^2} = \frac{2T}{\pi G L D^2}$

（三）求該實心鋼棒之旋轉角度 $\theta$

利用剪應變與扭轉角之微分關係式： $\gamma(r) = r \frac{d\phi}{dr} \implies \frac{d\phi}{dr} = \frac{\gamma(r)}{r} = \frac{T}{2\pi G L r^3}$ 邊界條件為：

核心觀念

本題屬於剛體動力學與機械振動學的經典題型，考查重點包含：

1. 純滾動無滑動運動學（Pure Rolling Kinematics）：利用曲面接觸點之瞬時旋轉中心（Instant Center of Zero Velocity），建立圓盤質心線速度 $v_G$ 與圓盤本體絕對角速度 $\omega_d$ 之間的幾何約束關係。
2. 重力位能（Potential Energy）：質心軌跡半徑為 $R-r$，以最低點平衡位置為位能基準面建立位能函數。
3. 剛體動能（Kinetic Energy）：包含質心平移與繞質心轉動之動能，或利用平行軸定理直接計算繞瞬時旋轉中心之動能。
4. 機械能守恆與振動微分方程式（Equation of Motion via Energy Method）：在無外力作功與無滑動摩擦耗能下，系統總機械能為常數（$\frac{dE}{dt} = 0$）。
5. 小振幅簡諧運動（Simple Harmonic Motion, SHM）：利用微小角度展開 $\sin\theta \approx \theta$，求得固有角頻率 $\omega_n$ 與擺盪週期 $\tau$。

解題方法

（一）圓盤滾動至 $\theta$ 處之位能 $V$

1. 質心運動軌跡與幾何關係：

• 固定圓弧曲面半徑為 $R$，均勻圓盤半徑為 $r$。
• 圓盤質心 $G$ 至固定曲面曲率中心 $O$ 之距離為： $\rho = R - r$

2. 位能基準面設定：

• 選取圓盤位於最低平衡點（$\theta = 0^\circ$）時之質心位置為重力位能零點（$V = 0$）。

3. 質心升高距離與位能計算：

• 當圓盤中心線偏離鉛垂線角度為 $\theta$ 時，質心 $G$ 距離曲率中心 $O$ 的鉛垂深度為 $(R - r)\cos\theta$。
• 質心相對於基準面所上升之垂直高度 $h$ 為： $h = (R - r) - (R - r)\cos\theta = (R - r)(1 - \cos\theta)$
• 圓盤之重力位能 $V$ 為： $V = mgh = mg(R - r)(1 - \cos\theta)$

(若考慮微小擺角 $|\theta| < 5^\circ$，由二階展開 $\cos\theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}$，位能亦可表示為 $V \approx \frac{1}{2}mg(R - r)\theta^2$)

（二）圓盤滾動至 $\theta$ 處之動能 $T$

題目給定軌跡擺動角速度為 $\omega = \dot{\theta} = \frac{d\theta}{dt}$。

1. 質心線速度 $v_G$： $v_G = (R - r)\dot{\theta} = (R - r)\omega$

2. 圓盤無滑動純滾動約束（求圓盤自轉角速度 $\omega_d$）：

• 圓盤與曲面之接觸點 $C$ 為瞬時旋轉中心，故接觸點速度 $v_C = 0$。
• 質心 $G$ 與接觸點 $C$ 之距離為圓盤半徑 $r$。
• 依剛體平面運動關係，質心速度與圓盤繞自身中心之絕對旋轉角速度 $\omega_d$ 滿足： $v_G = r \omega_d \implies \omega_d = \frac{v_G}{r} = \left(\frac{R - r}{r}\right)\omega$

3. 動能計算：

• 圓盤繞質心 $G$ 之轉動慣量為： $I_G = \frac{1}{2}mr^2$
• 圓盤之總動能為平移動能與轉動動能之和： $T = \frac{1}{2}mv_G^2 + \frac{1}{2}I_G\omega_d^2$
• 將 $v_G = (R - r)\omega$ 及 $\omega_d = \left(\frac{R - r}{r}\right)\omega$ 代入： $T = \frac{1}{2}m\left[(R - r)\omega\right]^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}mr^2\right)\left[\frac{R - r}{r}\omega\right]^2$ $T = \frac{1}{2}m(R - r)^2\omega^2 + \frac{1}{4}m(R - r)^2\omega^2 = \frac{3}{4}m(R - r)^2\omega^2$
• 以 $\dot{\theta}$ 表示即為： $T = \frac{3}{4}m(R - r)^2\dot{\theta}^2$

核心觀念

本題為三維剛體動力學（3D Rigid Body Dynamics）結合達朗貝爾原理（D'Alembert's Principle）的經典考題，核心觀念涵蓋以下四項：

1. 等速圓周運動之質心加速度：質心 $G$ 繞豎直軸旋轉，迴轉半徑為 $r_G$，其加速度純為法線（向心）加速度。
2. 三維剛體旋轉動量（角動量）之變化率：均勻細長棒的主慣性軸與旋轉軸不平行，旋轉時角動量向量 $\vec{H}_G$ 的方向隨時間改變，因而產生非零的旋轉動量變化率 $\dot{\vec{H}}_G = \vec{\omega} \times \vec{H}_G$（動不平衡力矩效應）。
3. 對固定點之動力矩平衡方程式：剛體繞固定點 $A$ 旋轉時，外力對 $A$ 點之力矩等於相對於 $A$ 點之動量矩變化率，即 $\sum \vec{M}_A = \dot{\vec{H}}_A = \vec{r}_{G/A} \times (m\vec{a}_G) + \dot{\vec{H}}_G$。
4. 離心力矩與重力矩之疊加：鋼索張力除需平衡重力產生的下傾力矩外，尚須抗衡離心力試圖將棒向外甩平之動態力矩。

解題方法

坐標系與幾何關係建立

以銷 $A$ 點為坐標原點 $(0,0,0)$：

• 設豎直旋轉軸向上為 $Z$ 軸，單位向量為 $\hat{K}$，角速度向量為 $\vec{\omega} = \omega \hat{K}$。
• 設細長棒此時所在之水平徑向為 $X$ 軸，單位向量為 $\hat{I}$。
• 設圓周運動之切線方向為 $Y$ 軸，單位向量為 $\hat{J} = \hat{K} \times \hat{I}$，構成右手直角坐標系 $(\hat{I}, \hat{J}, \hat{K})$。

棒長為 $L$，與水平線夾角為 $\beta$：

• 端點 $B$ 的坐標為 $(L \cos\beta, 0, L \sin\beta)$。
• 質心 $G$ 位於棒的中點，距 $A$ 點為 $\frac{L}{2}$，其坐標為： $\vec{r}_{G/A} = \frac{L}{2} \cos\beta \hat{I} + \frac{L}{2} \sin\beta \hat{K}$
• 質心 $G$ 繞旋轉軸之迴轉半徑為： $r_G = \frac{L}{2} \cos\beta$

（一）細長棒質心 $G$ 處之加速度

細長棒以等角速度 $\omega$ 繞豎直軸旋轉，角加速度 $\alpha = 0$，質心 $G$ 作半徑為 $r_G$ 的水平等速圓周運動。 質心加速度僅具法線加速度（向心加速度），切線加速度為零： $a_G = r_G \omega^2 = \left(\frac{L}{2} \cos\beta\right) \omega^2 = \frac{1}{2} L \omega^2 \cos\beta$

其方向水平指向旋轉柱體（即 $-\hat{I}$ 方向，向心方向）： $\vec{a}_G = -\frac{1}{2} L \omega^2 \cos\beta \, \hat{I}$

（二）細長棒質心 $G$ 處之旋轉動量之變化率

方法一：微元積分法（定義法推導） 取棒上距離質心 $G$ 為 $s$ 之微元 $dm = \frac{m}{L} ds$（其中 $-\frac{L}{2} \le s \le \frac{L}{2}$）。 該微元相對於質心 $G$ 之位置向量為： $\vec{\rho} = s \cos\beta \hat{I} + s \sin\beta \hat{K}$

微元相對於質心之速度為： $\vec{v}_{rel} = \vec{\omega} \times \vec{\rho} = (\omega \hat{K}) \times (s \cos\beta \hat{I} + s \sin\beta \hat{K}) = s \omega \cos\beta \hat{J}$

棒對質心 $G$ 之角動量 $\vec{H}_G$ 為： $\vec{H}_G = \int \vec{\rho} \times \vec{v}_{rel} \, dm = \int_{-L/2}^{L/2} (s \cos\beta \hat{I} + s \sin\beta \hat{K}) \times (s \omega \cos\beta \hat{J}) \left(\frac{m}{L} ds\right)$ $= \frac{m}{L} \omega \cos\beta \left(\int_{-L/2}^{L/2} s^2 ds\right) (\cos\beta \hat{K} - \sin\beta \hat{I})$

由於 $\int_{-L/2}^{L/2} s^2 ds = \frac{L^3}{12}$，代入得： $\vec{H}_G = \frac{1}{12} m L^2 \omega \cos\beta (-\sin\beta \hat{I} + \cos\beta \hat{K})$

旋轉動量之變化率即對時間微分。坐標系繞 $Z$ 軸旋轉，$\dot{\hat{I}} = \vec{\omega} \times \hat{I} = \omega \hat{J}$，而轉軸方向不變 $\dot{\hat{K}} = \vec{0}$： $\dot{\vec{H}}_G = \frac{1}{12} m L^2 \omega \cos\beta (-\sin\beta \dot{\hat{I}}) = -\frac{1}{12} m L^2 \omega^2 \sin\beta \cos\beta \, \hat{J}$

方法二：歐拉角動量方程式（主軸法） 建立固連於棒的質心主慣性坐標系 $(x', y', z')$：

• $x'$ 軸沿棒方向，薄棒轉動慣量 $I_{x'} \approx 0$。
• $y'$ 軸於垂直面內垂直於棒，$I_{y'} = \frac{1}{12} m L^2$。
• $z'$ 軸垂直於棒的運動平面（切向），$I_{z'} = \frac{1}{12} m L^2$。

將角速度 $\vec{\omega}$ 分解於主軸上：$\omega_{x'} = \omega \sin\beta$、$\omega_{y'} = -\omega \cos\beta$、$\omega_{z'} = 0$。 旋轉動量變化率大小為： $|\dot{\vec{H}}_G| = |\vec{\omega} \times \vec{H}_G| = (I_{y'} - I_{x'}) \omega_{x'} |\omega_{y'}| = \frac{1}{12} m L^2 (\omega \sin\beta)(\omega \cos\beta) = \frac{1}{12} m L^2 \omega^2 \sin\beta \cos\beta$

其方向垂直於棒與旋轉軸所圍成的垂直平面（即相反於切線轉動之方向 $-\hat{J}$）。

（三）相對於 $A$ 點之力矩平衡方程式