108 鐵路特考員級 機械工程 機械力學概要 考古題詳解

核心觀念

剛性桿的位移沿桿長呈線性變化；兩端彈簧的支撐力依虎克定律 $F=ky$ 計算。利用桿件的垂直力平衡與力矩平衡，先求兩端位移，再求中點位移及桿件轉角。

解題方法

取左端為 $x=0$，右端為 $x=0.20\ \mathrm{m}$，向下位移為正。均勻桿重 $200\ \mathrm{N}$ 作用於中點 $x=0.10\ \mathrm{m}$；另有 $100\ \mathrm{N}$ 向下載重作用於 $x=0.08\ \mathrm{m}$。

令左、右端向下位移分別為 $y_L$、$y_R$。彈簧對桿件的向上支撐力大小為 $k_1y_L$、$k_2y_R$。

對左端取力矩平衡：

垂直方向力平衡：

核心觀念

本題考查斜向拋射運動。水平方向為等速度運動，鉛直方向則受重力加速度作用；忽略空氣阻力，取 $g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$。圖中俯角 $\theta$ 是初速度與水平線的夾角。

解題方法

設質點從發射點到牆孔中心的飛行時間為 $t$。水平位移為 $100\ \mathrm m$，初速度的水平分量為 $100\cos\theta$，因此

鉛直方向由 $40\ \mathrm m$ 降至 $15\ \mathrm m$，位移為 $-25\ \mathrm m$。以向上為正，鉛直位移方程為

核心觀念

本題為動力學（牛頓力學）結合功與功率、機械效率的經典力學綜合題，主要評量以下核心觀念與公式：

1. 等加速度直線運動學：

• 速度與時間關係：$v = v_0 + a t$
• 速度與位移關係：$v^2 = v_0^2 + 2as$ 或位移公式 $s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$

2. 牛頓第二運動定律（質點運動方程式）：

• 沿運動方向之合力方程式：$\Sigma F = m a$
• 物體質量與重力關係：$W = m g \implies m = \frac{W}{g}$

3. 機械效率（$\eta$）與功率、功之定義：

• 輸出功率（有用功率）：$P_{\text{out}} = F \cdot v$
• 機械效率：$\eta = \frac{\text{輸出功率}}{\text{輸入功率}} = \frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}} = \frac{W_{\text{out}}}{W_{\text{in}}}$
• 機構消耗功率（輸入功率）：$P_{\text{in}} = \frac{P_{\text{out}}}{\eta}$
• 機構消耗總功（輸入功）：$W_{\text{in}} = \frac{W_{\text{out}}}{\eta}$

解題方法

（一）速度達 $1\ \mathrm{m/s}$ 之後，起重機消耗的功率

1. 分析運動狀態： 當速度達到 $v = 1\ \mathrm{m/s}$ 之後不再加速，表示物體進入等速垂直上升階段，加速度 $a = 0$。
2. 求此時之舉升力 $F_1$： 由垂直方向合力平衡： $\Sigma F_y = F_1 - W = 0 \implies F_1 = W = 2400\ \mathrm{N}$
3. 計算有效輸出功率 $P_{\text{out}}$： $P_{\text{out}} = F_1 \cdot v = 2400\ \mathrm{N} \times 1\ \mathrm{m/s} = 2400\ \mathrm{W} = 2.4\ \mathrm{kW}$
4. 計算起重機消耗的輸入功率 $P_{\text{in}}$： 已知機械效率 $\eta = 80\% = 0.8$： $P_{\text{in}} = \frac{P_{\text{out}}}{\eta} = \frac{2.4\ \mathrm{kW}}{0.8} = 3\ \mathrm{kW}$

（二）從靜止到舉升速度到達 $1\ \mathrm{m/s}$ 所需的時間

1. 已知運動條件：

• 初速度 $v_0 = 0$
• 末速度 $v = 1\ \mathrm{m/s}$
• 加速度 $a = 0.1\ \mathrm{m/s^2}$

2. 利用等加速度速度公式求解： $v = v_0 + a t$ $1 = 0 + 0.1 \times t \implies t = \frac{1}{0.1} = 10\ \mathrm{s}$

（三）在加速過程中，起重機作用於此物體之舉升力

1. 求物體質量 $m$： 取標準重力加速度 $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$（國考機械力學常規基準）： $m = \frac{W}{g} = \frac{2400}{9.8} \approx 244.90\ \mathrm{kg}$
2. 依牛頓第二運動定律建立鉛直方向運動方程式： 取向上為正方向，加速過程之加速度 $a = 0.1\ \mathrm{m/s^2}$： $\Sigma F_y = F - W = m a$ $F = W + m a = 2400 + 244.90 \times 0.1 = 2400 + 24.49 = 2424.49\ \mathrm{N}$

核心觀念

本題考複合面積的形心與平行軸定理。先將圖形分成互不重疊的三個矩形，再用面積加權平均求形心；求形心軸的面積慣矩時，將各矩形對自身形心軸的面積慣矩移至組合形心軸。

圖中下方矩形寬 $40\ \mathrm{mm}$，內部尺寸 $24\ \mathrm{mm}$ 是腹板右側至下方矩形右端的距離，因此腹板寬為 $40-24=16\ \mathrm{mm}$。三個矩形的尺寸與形心座標如下，座標原點取參考軸 $x'$、$y'$ 的交點：

（一）形心位置

總面積為

因此

核心觀念

階段圓軸承受扭矩時，各軸段串聯傳遞相同扭矩 $T$。實心圓軸的極慣性矩、外表面剪應力與扭轉角公式為

其中 $c=d/2$。整根階段軸兩端的相對扭轉角，等於各軸段扭轉角的代數和。

解題方法

統一採用 $\mathrm{N}$ 與 $\mathrm{mm}$ 為單位：

（一）外表面最大剪應力

各段傳遞相同扭矩，而剪應力與直徑三次方成反比，因此小軸段 $d=20\ \mathrm{mm}$ 的外表面剪應力最大：