108 鐵路特考員級 機械工程 機械原理概要 考古題詳解

108 年・鐵路特考・員級・機械工程
試題代碼 機械原理概要

第 一 題20 分

圖 1 所示分別為：

(a) 飛機前起落架收放機構；

(b) 挖土機機構之機構簡圖。

圖上接頭（Joint）符號：RR 為迴轉對（Revolute pair），PP 為滑動對（Prismatic pair）。試計算各機構之自由度（Degree of freedom）。

圖（b）中虛線部分為履帶及駕駛座，假設為固定。

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核心觀念

本題考平面機構的自由度。對由低對接頭組成的平面機構，使用 Grübler–Kutzbach 公式：

F=3(n−1)−2J1−J2F=3(n-1)-2J_1-J_2

其中：

  • nn：構件總數，包含固定構件；
  • J1J_1：低對接頭數，包括迴轉對 RR 與滑動對 PP；
  • J2J_2：高對接頭數。本題圖中未標示高對接頭，故 J2=0J_2=0。

若同一接頭連接三個構件，計數時要換算成兩個等效二元接頭；一般而言，連接 kk 個構件的複合接頭，等效為 k−1k-1 個接頭。

解題方法

依圖中構件編號計算 nn，再將各個 RR 與 PP 接頭計入。複合接頭先換算成等效二元接頭，再代入公式。

（a）飛機前起落架收放機構

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第 二 題20 分

圖 2 所示為一個四連桿組（Four-bar linkage）之機構簡圖，其中接頭 AA、BB 為活動軸樞，AoA_o、BoB_o 為固定軸樞，桿件長度分別為 R2=2.5R_2=2.5、R3=5.0R_3=5.0、R4=4.6R_4=4.6（單位：cm）。

若此四連桿組為一曲柄搖桿機構（Crank rocker mechanism），且桿 2 為主動桿（Driving link）：

(一) 試以葛氏定則（Grashof law）求固定桿長 R1R_1 的範圍。

(二) 傳力角 μ\mu 為四連桿組之重要傳動指標，若 R1=3.5R_1=3.5、R2=2.5R_2=2.5、R3=5.0R_3=5.0、R4=4.6R_4=4.6（單位：cm），試求最大傳力角（μmax⁡\mu_{\max}）及最小傳力角（μmin⁡\mu_{\min}）。

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核心觀念

本題考兩個四連桿組觀念：

  1. 葛氏定則：四桿中最短桿與最長桿長度之和，小於或等於另外兩桿長度之和，機構才是 Grashof 機構。固定桿與最短桿相鄰時，可形成曲柄搖桿機構。
  2. 傳力角：圖中 μ\mu 是連桿 R3R_3 與搖桿 R4R_4 在接頭 BB 處的夾角。可用餘弦定理求得。

解題方法

（一）求固定桿長 R1R_1 的範圍

已知 R2=2.5R_2=2.5、R3=5.0R_3=5.0、R4=4.6R_4=4.6。曲柄搖桿機構中，主動曲柄 R2R_2 須為最短的活動桿，且與固定桿 R1R_1 相鄰，因此取 R1≥2.5R_1\ge 2.5。

分兩種情形套用葛氏定則：

  • 若 2.5≤R1≤5.02.5\le R_1\le 5.0，最短桿為 2.52.5，最長桿為 5.05.0：
2.5+5.0≤R1+4.6⇒R1≥2.92.5+5.0\le R_1+4.6 \quad\Rightarrow\quad R_1\ge 2.9
  • 若 R1≥5.0R_1\ge 5.0，最短桿為 2.52.5，最長桿為 R1R_1：
2.5+R1≤5.0+4.6⇒R1≤7.12.5+R_1\le 5.0+4.6 \quad\Rightarrow\quad R_1\le 7.1

合併可得：

2.9≤R1≤7.1 cm2.9\le R_1\le 7.1\text{ cm}

兩端等號是葛氏臨界的變位點；若限定為非臨界的曲柄搖桿，範圍寫作 2.9<R1<7.12.9<R_1<7.1 cm。

（二）求最大與最小傳力角

令 dd 為 AA 至固定軸樞 BoB_o 的距離。當曲柄 R2R_2 與固定桿 R1R_1 共線時，dd 取得最大與最小值：

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第 三 題20 分

圖 3 所示為一純滾動接觸之外接式錐形摩擦輪機構，主動輪角速度為 ω2\omega_2，從動輪角速度為 ω3\omega_3，兩輪軸間夾角 θ\theta 為 45∘45^\circ，角速比 (ω3ω2)\left(\frac{\omega_3}{\omega_2}\right) 為 1.51.5，大錐輪的最大直徑 D2D_2 為 15 cm15\ \mathrm{cm}。試求：

(一) 小錐輪的最大半徑 R3R_3。

(二) 兩錐輪的半錐角 ϕ2\phi_2 及 ϕ3\phi_3。

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核心觀念

外接式錐形摩擦輪純滾動時，接觸點的切向速度相等，因此

ω2R2=ω3R3\omega_2 R_2=\omega_3 R_3

其中 R2、R3R_2、R_3 是兩輪在接觸位置的滾動半徑。兩輪共用頂點 OO，在相同母線位置的滾動半徑分別與半錐角的正弦成正比，所以

R2R3=sin⁡ϕ2sin⁡ϕ3=ω3ω2\frac{R_2}{R_3}=\frac{\sin\phi_2}{\sin\phi_3} =\frac{\omega_3}{\omega_2}

依圖示，兩輪軸線夾角由兩個半錐角組成：

ϕ2+ϕ3=θ\phi_2+\phi_3=\theta

解題方法

大錐輪最大直徑為 D2=15 cmD_2=15\ \mathrm{cm}，所以

R2=D22=7.5 cmR_2=\frac{D_2}{2}=7.5\ \mathrm{cm}

由純滾動的速度關係及角速比 ω3/ω2=1.5\omega_3/\omega_2=1.5：

R2R3=1.5\frac{R_2}{R_3}=1.5 R3=7.51.5=5 cmR_3=\frac{7.5}{1.5}=5\ \mathrm{cm}

半錐角方面，先由軸線夾角得到

ϕ2+ϕ3=45∘\phi_2+\phi_3=45^\circ

再由滾動半徑比得到

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第 四 題20 分

圖 4 所示為一行星齒輪系之機構簡圖。如環齒輪 2 為輸入件，轉速為 2000 rpm2000\ \mathrm{rpm}（順時針方向，由左方視之），齒輪 3 與齒輪 4 為複合行星齒輪，齒輪 5 為太陽齒輪（固定），齒輪 6 為行星架（輸出件）。各齒輪齒數分別為：

T2=124T_2=124、T3=48T_3=48、T4=32T_4=32、T5=50T_5=50。

試求行星架 6 之角速度。

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核心觀念

本題考行星齒輪系的相對運動與威利斯公式。把行星架 6 暫時固定後，齒輪系可視為一般齒輪系；齒輪 3、4 為複合行星齒輪，兩者角速度相同。

圖中齒輪 2 與齒輪 3 為內齒輪嚙合，轉向相同；齒輪 4 與太陽齒輪 5 為外齒輪嚙合，轉向相反。因此，固定行星架時有：

ω5−ω6ω2−ω6=−T2T3T4T5\frac{\omega_5-\omega_6}{\omega_2-\omega_6} =-\frac{T_2}{T_3}\frac{T_4}{T_5}

解題方法

將齒數代入：

ω5−ω6ω2−ω6=−124483250=−12475\frac{\omega_5-\omega_6}{\omega_2-\omega_6} =-\frac{124}{48}\frac{32}{50} =-\frac{124}{75}
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第 五 題20 分

一對嚙合正齒輪，其壓力角為 20∘20^\circ、模數 mm 為 33、齒冠 a=ma=m，主動輪 2 之齒數 T2=20T_2=20，從動輪 3 之齒數 T3=40T_3=40，主動輪旋轉角速度 ω2=10 rad/s\omega_2=10\ \mathrm{rad/s}。試計算：

(一) 中心距。

(二) 基節（Base pitch）。

(三) 接觸路徑長度。

(四) 接觸比。

（每小題 5 分，共 20 分。）

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核心觀念

本題評量標準漸開線外嚙合正齒輪（Involute Spur Gears）的幾何尺寸、作用線嚙合行為與接觸特性，涵蓋以下核心定義與公式：

  1. 節圓半徑與中心距（Center Distance）：
  • 節圓直徑 d=m⋅Td = m \cdot T，節圓半徑 r=m⋅T2r = \frac{m \cdot T}{2}。
  • 標準中心距 C=r2+r3=m(T2+T3)2C = r_2 + r_3 = \frac{m(T_2 + T_3)}{2}。
  1. 基節（Base Pitch, pbp_b）：
  • 周節（Circular pitch）p=π⋅mp = \pi \cdot m。
  • 基節為沿基圓圓周測量或沿法線（作用線）上相鄰兩齒同側齒形之距離： pb=pcos⁡ϕ=πmcos⁡ϕp_b = p \cos\phi = \pi m \cos\phi
  1. 接觸路徑長度（Length of Path of Contact, ZZ）：
  • 齒輪嚙合發生在兩基圓的內公切線（作用線）上。接觸起點為從動輪齒頂圓與作用線之交點，接觸終點為主動輪齒頂圓與作用線之交點。
  • 接觸路徑長度公式（包含趨近作用長度 LaL_a 與遠離作用長度 LrL_r）： Z=ra22−rb22+ra32−rb32−Csin⁡ϕZ = \sqrt{r_{a2}^2 - r_{b2}^2} + \sqrt{r_{a3}^2 - r_{b3}^2} - C \sin\phi 其中：
  • 齒頂圓半徑 ra=r+ar_a = r + a（aa 為齒冠）
  • 基圓半徑 rb=rcos⁡ϕr_b = r \cos\phi
  1. 接觸比（Contact Ratio, mcm_c）：
  • 嚙合期間平均同時接觸的齒數，定義為接觸路徑長度與基節之比值： mc=Zpbm_c = \frac{Z}{p_b}

解題方法

基本參數整理

  • 壓力角 ϕ=20∘\phi = 20^\circ（cos⁡20∘≈0.9397\cos 20^\circ \approx 0.9397、sin⁡20∘≈0.3420\sin 20^\circ \approx 0.3420）
  • 模數 m=3 mmm = 3\ \mathrm{mm}
  • 齒冠 a=m=3 mma = m = 3\ \mathrm{mm}
  • 主動輪 2 齒數 T2=20T_2 = 20
  • 從動輪 3 齒數 T3=40T_3 = 40
  • 主動輪角速度 ω2=10 rad/s\omega_2 = 10\ \mathrm{rad/s}（幾何計算無須使用）

(一) 計算中心距 CC

主動輪與從動輪之節圓半徑分別為： r2=m⋅T22=3×202=30 mmr_2 = \frac{m \cdot T_2}{2} = \frac{3 \times 20}{2} = 30\ \mathrm{mm} r3=m⋅T32=3×402=60 mmr_3 = \frac{m \cdot T_3}{2} = \frac{3 \times 40}{2} = 60\ \mathrm{mm}

中心距 CC： C=r2+r3=30+60=90 mmC = r_2 + r_3 = 30 + 60 = 90\ \mathrm{mm}

(二) 計算基節 pbp_b

周節 pp 為： p=πm=3π≈9.4248 mmp = \pi m = 3\pi \approx 9.4248\ \mathrm{mm}

基節 pbp_b： pb=pcos⁡ϕ=πmcos⁡20∘=3πcos⁡20∘≈9.4248×0.93969≈8.856 mmp_b = p \cos\phi = \pi m \cos 20^\circ = 3\pi \cos 20^\circ \approx 9.4248 \times 0.93969 \approx 8.856\ \mathrm{mm}

(三) 計算接觸路徑長度 ZZ

計算兩輪之齒頂圓半徑與基圓半徑：

  • 主動輪 2：
  • 齒頂圓半徑 ra2=r2+a=30+3=33 mmr_{a2} = r_2 + a = 30 + 3 = 33\ \mathrm{mm}
  • 基圓半徑 rb2=r2cos⁡20∘=30×0.93969≈28.191 mmr_{b2} = r_2 \cos 20^\circ = 30 \times 0.93969 \approx 28.191\ \mathrm{mm}
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