108 鐵路特考員級 機械工程 基本電學 考古題詳解

核心觀念

1. 庫侖定律（Coulomb's Law）： 在真空中，兩靜止點電荷間的作用力大小，與兩電荷電量的乘積成正比，與兩者間的距離平方成反比： $F = k \frac{|Q_1 Q_2|}{r^2}$ 其中，$k = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \approx 9 \times 10^9\ \mathrm{N\cdot m^2 / C^2}$ 為真空中庫侖常數（靜電力常數），$r$ 為兩電荷間距（$\mathrm{m}$），$Q_1, Q_2$ 為電荷量（$\mathrm{C}$）。
2. 電荷性質與力的方向： 同性電荷相斥、異性電荷相吸。題目已知為「排斥力」，表示兩電荷符號相同（$Q_1 Q_2 > 0$），即兩者同為正電荷或同為負電荷。
3. 距離反平方比關係： 當電荷量不變時，靜電力與距離平方成反比，即 $F \propto \frac{1}{r^2}$。

解題方法

(一) 求相距 $5\ \mathrm{m}$ 時的排斥力

1. 方法選用： 本小題兩電荷量未變，僅距離改變，直接採用「比例法」列式最為敏捷，無需先行計算電荷量。
2. 推導與計算： 設原距離 $r_1 = 1\ \mathrm{m}$，受力 $F_1 = 1.6\ \mathrm{N}$；改變後距離 $r_2 = 5\ \mathrm{m}$，受力為 $F_2$。 由庫侖定律可知： $\frac{F_2}{F_1} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$ 代入數值： $F_2 = F_1 \times \left(\frac{1}{5}\right)^2 = 1.6 \times \frac{1}{25} = 0.064\ \mathrm{N} = 6.4 \times 10^{-2}\ \mathrm{N}$ 受力性質仍為排斥力。

(二) 求 $Q_1$ 及 $Q_2$ 之電量

1. 方法選用： 利用題目給定之電量比關係代換變數，並代入 $r = 1\ \mathrm{m}$、$F = 1.6\ \mathrm{N}$ 及真空庫侖常數 $k = 9 \times 10^9\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}$ 求解二次方程式。
2. 推導與計算： 由題目條件可知： $\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{1}{3} \implies Q_2 = 3Q_1$ 又因為兩者產生「排斥力」，故 $Q_1$ 與 $Q_2$ 必同正或同負。 代入庫侖定律： $F = k \frac{Q_1 Q_2}{r^2}$ $1.6 = (9 \times 10^9) \times \frac{Q_1 \times (3Q_1)}{1^2}$ $1.6 = 27 \times 10^9 \times Q_1^2$ 整理求 $Q_1^2$： $Q_1^2 = \frac{1.6}{27 \times 10^9} = \frac{16}{27 \times 10^{10}}\ \mathrm{C^2}$ 兩邊開平方根可得 $Q_1$（注意開根號有正負兩種可能）： $Q_1 = \pm \sqrt{\frac{16}{27 \times 10^{10}}} = \pm \frac{4}{3\sqrt{3}} \times 10^{-5} = \pm \frac{4\sqrt{3}}{9} \times 10^{-5}\ \mathrm{C}$

核心觀念

1. 歐姆定律（Ohm's Law）： 在純電阻串聯電路中，迴路電流等於總電動勢除以迴路總等效電阻： $I = \frac{E}{R_{\text{total}}}$

2. 安培計之量測特性與內阻：

• 理想安培計之內電阻 $R_m = 0\ \Omega$，串入電路後不影響原迴路阻抗與電流分佈。
• 實際安培計具有內部電阻 $R_m > 0$。當安培計串聯接入待測迴路時，迴路總電阻由 $R$ 增加為 $R + R_m$，導致量測到的電流值小於真實電流值。

3. 負載效應（Loading Effect）： 量測儀表接入受測電路後，因儀表自身阻抗改變了原電路狀態，造成量測值偏離真實值的現象，稱為負載效應。在基本電學與電氣儀表學中，安培計的負載效應通常以兩種方式量化表示：

• 負載誤差百分比（相對誤差）： $\text{負載效應} = \frac{I_m - I_{\text{true}}}{I_{\text{true}}} \times 100\% = -\frac{R_m}{R + R_m} \times 100\%$ （若以量測值偏離真值之衰減率或變動幅度表示，亦常記為 $\frac{R_m}{R + R_m} \times 100\%$）
• 電流衰減量（絕對誤差）： $\Delta I = I_{\text{true}} - I_m$

解題方法

(一) 求電路之未測量真實電流

未接入安培計時，電路僅由 $120\ \mathrm{V}$ 電壓源與 $5\ \mathrm{k\Omega}$（即 $5000\ \Omega$）電阻構成單一迴路。

根據歐姆定律，流過此電路的真實電流 $I_{\text{true}}$ 為： $I_{\text{true}} = \frac{E}{R} = \frac{120\ \mathrm{V}}{5000\ \Omega} = 0.024\ \mathrm{A} = 24\ \mathrm{mA}$

(二) 接入內電阻 $R_{m1} = 100\ \Omega$ 之安培計

1. 實際測量電流值 $I_{m1}$： 將安培計串聯接入電路後，迴路總電阻 $R_{T1}$ 增加為： $R_{T1} = R + R_{m1} = 5000\ \Omega + 100\ \Omega = 5100\ \Omega$ 實測電流值為： $I_{m1} = \frac{E}{R_{T1}} = \frac{120\ \mathrm{V}}{5100\ \Omega} = \frac{2}{85}\ \mathrm{A} \approx 0.02353\ \mathrm{A} = 23.53\ \mathrm{mA}$

2. 產生的負載效應：

• 以相對百分誤差表示： $\text{負載效應（百分比）} = \frac{I_{m1} - I_{\text{true}}}{I_{\text{true}}} \times 100\% = \frac{23.53\ \mathrm{mA} - 24\ \mathrm{mA}}{24\ \mathrm{mA}} \times 100\% \approx -1.96\%$ （負號代表實測電流因負載效應而比真實值低 $1.96\%$；若以電流下降比率表示則為 $1.96\%$）
• 以絕對電流變動量表示： $\Delta I_1 = I_{\text{true}} - I_{m1} = 24\ \mathrm{mA} - 23.53\ \mathrm{mA} = 0.47\ \mathrm{mA}$

(三) 接入內電阻 $R_{m2} = 500\ \Omega$ 之安培計

1. 實際測量電流值 $I_{m2}$： 接入該安培計後，迴路總電阻 $R_{T2}$ 為： $R_{T2} = R + R_{m2} = 5000\ \Omega + 500\ \Omega = 5500\ \Omega$ 實測電流值為：

核心觀念

先辨認各支路是否接在相同的兩個節點之間。圖一中，$10\ \Omega$、$20\ \Omega$、$25\ \Omega$，以及由 $5\ \Omega$ 與 $2\ \Omega$ 串聯而成的支路，均並聯在 $1\ \Omega$ 電阻後方的節點與下方共用節點之間。使用串並聯等效電阻與歐姆定律即可求出 $20\ \Omega$ 支路電流。

解題方法

右側支路的串聯電阻為

並聯部分的總導納為

因此

與 $1\ \Omega$ 串聯後，電源兩端的總電阻為

由分壓可得並聯網路兩端電壓：

所以流過 $20\ \Omega$ 電阻的電流為

（二）圖二：求電壓 $V$

核心觀念

電流源將 $2\ \text{A}$ 注入節點 $a$，電流經由電阻網路流回節點 $c$。以節點 $c$ 為參考點，使用基爾霍夫電流定律列節點方程，求出 $a$ 點電壓；該電壓即為圖示的 $V$。

解題方法

核心觀念：​以節點電壓法求電流。底部導線作為接地，理想 $6\ \mathrm{V}$ 電壓源上端為正，因此中央節點電壓為 $6\ \mathrm{V}$。圖中的 $4\ \mathrm{mA}$ 電流源方向由中央節點流向右側節點。

解題方法：​設左、右節點電壓分別為 $V_A$、$V_B$，電阻以 $\mathrm{k\Omega}$、電流以 $\mathrm{mA}$ 表示。

左節點套用 KCL：

整理得：

右節點套用 KCL；電流源向右側節點注入 $4\ \mathrm{mA}$：

整理得：

聯立兩式可得：

$I_o$ 的箭頭由左往右，因此：

解題技巧：​先利用理想電壓源固定中央節點電壓，再對其餘節點寫 KCL。電流源箭頭指向的節點，在該節點的方程式中代表有電流注入。

四、（二）求圖四的戴維寧等效及最大功率

核心觀念：​求電容器所視的戴維寧等效時，先移除電容器，求其端點的開路電壓 $V_{\mathrm{th}}$；再將獨立電壓源歸零，求端點等效電阻 $R_{\mathrm{th}}$。電阻負載取得最大功率時，$R_L=R_{\mathrm{th}}$。

解題方法：

1. 求戴維寧電壓

移除 $10\ \mathrm{nF}$ 電容後，右側端點由 $4\ \mathrm{k\Omega}$ 與 $5\ \mathrm{k\Omega}$ 分壓。理想 $2\ \mathrm{V}$ 電壓源固定左側分壓端為 $2\ \mathrm{V}$：

2. 求戴維寧電阻

核心觀念

耦合電感的總儲能為

其中互感量 $M=k\sqrt{L_1L_2}$。圖五兩電流的參考方向都進入有點端，因此互感項取正號；$i_2=-8\ \mathrm A$ 會使互感項為負。

解題方法

先計算互感量：

代入 $i_1=10\ \mathrm A$、$i_2=-8\ \mathrm A$：

五、（二）正弦穩態電路

核心觀念

將電路轉為相量等效電路：電感阻抗為 $j\omega L$，電容阻抗為 $1/(j\omega C)$。兩支路並聯，先以電流分配求右支路電流，再乘上右支路阻抗得到輸出電壓。

解題方法

角頻率為 $\omega=10^4\ \mathrm{rad/s}$。依圖六，左支路是 $20\ \Omega$ 電阻與 $6\ \mathrm{mH}$ 電感串聯，右支路是 $3.33\ \mu\mathrm F$ 電容與 $10\ \Omega$ 電阻串聯：