107 鐵路特考員級 機械工程 機械原理概要 考古題詳解

核心觀念

本題旨在考驗標準正齒輪系之「運動學參數換算」、「齒輪嚙合受力分析」以及「惰輪受力與靜力平衡分析」。關鍵觀念與公式如下：

1. 節徑與節圓半徑： $d = m \cdot N, \quad r = \frac{d}{2}$ 其中 $m$ 為模數（$\mathrm{mm}$），$N$ 為齒數。
2. 節線速度（Pitch-line Velocity）： $v = r \cdot \omega = \frac{\pi \cdot d \cdot n}{60}$ 其中 $n$ 為轉速（$\mathrm{rpm}$）。
3. 傳遞功率與切線力（Tangential Force, $W_t$）： $H = W_t \cdot v \implies W_t = \frac{H}{v} = \frac{T}{r}$ 其中 $H$ 為功率（$\mathrm{W}$），$T$ 為傳遞扭矩（$\mathrm{N\cdot m}$）。
4. 壓力角（Pressure Angle, $\phi$）與徑向力（Radial Force, $W_r$）： $W_r = W_t \tan\phi$ 輪齒間之法向合力為： $W = \frac{W_t}{\cos\phi} = \sqrt{W_t^2 + W_r^2}$
5. 惰輪（Idler Gear）之受力特性： 惰輪僅負責改變轉向或跨越中心距，本身不輸出外功，故在穩態運轉下其合力矩為零（$\sum M = 0$）。惰輪軸心所受支承力，係由主動輪與被動輪所施加之切線力、徑向力在靜力平衡條件（$\sum F_x = 0$、$\sum F_y = 0$）下合成求得。

解題方法

一、齒輪幾何與受力數值基本計算

1. 齒輪節徑計算：

• 小齒輪 2 節徑：$d_2 = m \cdot N_2 = 2.5 \times 20 = 50\ \mathrm{mm} = 0.05\ \mathrm{m}$
• 惰輪 3 節徑：$d_3 = m \cdot N_3 = 2.5 \times 50 = 125\ \mathrm{mm} = 0.125\ \mathrm{m}$
• 齒輪 4 節徑：$d_4 = m \cdot N_4 = 2.5 \times 30 = 75\ \mathrm{mm} = 0.075\ \mathrm{m}$

2. 小齒輪 2 節線速度 $v$： $v = \frac{\pi \cdot d_2 \cdot n_2}{60} = \frac{\pi \times 0.05 \times 1750}{60} \approx 4.5815\ \mathrm{m/s}$

3. 傳遞之切線力 $W_t$ 與徑向力 $W_r$：

• 傳遞功率 $H = 2.5\ \mathrm{kW} = 2500\ \mathrm{W}$
• 切線力大小： $W_t = \frac{H}{v} = \frac{2500}{4.5815} \approx 545.67\ \mathrm{N}$
• 徑向力大小（壓力角 $\phi = 20^\circ$）： $W_r = W_t \tan 20^\circ = 545.67 \times \tan 20^\circ \approx 545.67 \times 0.36397 \approx 198.61\ \mathrm{N}$
• 法向齒面總力： $W = \frac{W_t}{\cos 20^\circ} \approx \frac{545.67}{0.93969} \approx 580.69\ \mathrm{N}$

二、（一）齒輪 3 之受力自由體圖分析

依原卷附圖之機構佈局配置：

• 小齒輪 2 位於惰輪 3 正上方（兩軸心連線為鉛直 $y$ 軸向），齒輪 2 轉向為順時針（CW）。
• 齒輪 4 位於惰輪 3 正右方（兩軸心連線為水平 $x$ 軸向）。
• 惰輪 3 之軸心為 $b$，受齒輪 2 帶動而呈逆時針旋轉（CCW）。

建立直角坐標系：以惰輪 3 軸心 $b$ 為原點 $(0, 0)$，水平向右為 $+x$，鉛直向上為 $+y$。

1. 小齒輪 2 施予惰輪 3 之作用力（作用於上方嚙合節點 $(0, r_3)$）：

• 切線力 $F_{23}^t$：齒輪 2 順時針旋轉，於最底端嚙合點推動齒輪 3 向右運動，故切線力方向為向右（$+x$ 方向）： $F_{23}^t = W_t = 545.67\ \mathrm{N}\ (\to)$
• 徑向力 $F_{23}^r$：齒面接觸互相推擠，將齒輪 3 推向其軸心 $b$，故方向為向下（$-y$ 方向）： $F_{23}^r = W_r = 198.61\ \mathrm{N}\ (\downarrow)$

2. 齒輪 4 施予惰輪 3 之反作用力（作用於右方嚙合節點 $(r_3, 0)$）：

• 齒輪 3 帶動齒輪 4，齒輪 3 在右側嚙合點處線速度向上，被帶動之齒輪 4 對齒輪 3 產生阻抗反力。
• 切線力 $F_{43}^t$：反作用切線力阻礙齒輪 3 旋轉，故方向為向下（$-y$ 方向）： $F_{43}^t = W_t = 545.67\ \mathrm{N}\ (\downarrow)$
• 徑向力 $F_{43}^r$：將齒輪 3 推向其軸心 $b$，故方向為向左（$-x$ 方向）：

核心觀念

1. 機構自由度（Degree of Freedom, DOF, $F$）： 平面機構之自由度代表該機構相對於固定機架所具備之獨立運動座標數，亦即驅動該機構產生確定運動所需的獨立輸入運動個數。
2. 葛魯伯／古茲巴赫公式（Grübler / Kutzbach Criterion）： 計算平面機構自由度的通用準則為： $F = 3(N - 1) - 2J_1 - J_2$

• $N$：機構之總構件數（連桿數，包含固定機架）。
• $J_1$：具 1 個自由度之低對（Lower Pair）接頭總數，如轉動對（Revolute pair）、移動對（Prismatic pair）。
• $J_2$：具 2 個自由度之高對（Higher Pair）接頭總數，如凸輪接觸對、齒輪齒面嚙合對（點接觸或線接觸）。

3. 複接頭（Compound Joint / Multiple Joint）之接頭數判定： 當 $m$ 個構件匯交於同一個銷軸（Pin）進行樞接時，其等效的單一低對（轉動對）數量為： $j = m - 1$ 本題中構件 3、4、5 共 3 個桿件共用同一銷軸，形成複接頭，等效之轉動對數為： $j = 3 - 1 = 2$

解題方法

依題意與命題慣例，圖（a）為標準平面六連桿機構（構件數 $N=6$，含固定機架 1 與動構件 2 至 6），所有運動副均為低對且無虛設約束。解題步驟如下：

1. 計算構件總數（$N$）： 機構包含固定機架（構件 1）及活動連桿（構件 2、3、4、5、6），構件總數為： $N = 6$

2. 盤點低對接頭數（$J_1$）：

• 構件 1（機架）與構件 2 之轉動對：$1$ 個
• 構件 2 與構件 3 之轉動對：$1$ 個
• 構件 3、4、5 共同樞接之複接頭（如圖（b））：等效轉動對數為 $3 - 1 = 2$ 個
• 構件 4 與機架 1 之轉動對：$1$ 個
• 構件 5 與構件 6 之轉動對：$1$ 個
• 構件 6 與機架 1 之運動副（轉動對或移動對）：$1$ 個 加總低對數：

核心觀念

本題考查機械元件中超越離合器（Overrunning Clutch），亦稱滾子式單向離合器（Roller-type One-way Clutch）​的結構組成與工作原理，涉及的核心觀念包括：

1. 單向離合器的功能定義：僅允許主動件朝單一方向旋轉時傳遞扭矩給從動件（接合驅動），而在相反方向旋轉或從動件轉速超過主動件時自動脫開（分離空轉）。
2. 滾子式超越離合器的組成機件：

• 機件 1（內凸輪／內星輪，Inner Cam/Race）：外圍具有傾斜平面或斜凸輪面，與外環內表面共同構成截面寬度不均勻的楔形收斂空間（Wedge cavity）。
• 機件 2（圓柱滾子，Roller）：作為在兩接觸面間產生擠壓、摩擦並傳遞動力的滾動媒介。
• 機件 3（外環／外套筒，Outer Ring/Race）：具備光滑圓柱形內表面。
• 輔助元件（預緊壓簧，Spring）：安裝於滾子後方，提供微小預壓力使滾子隨時與機件 1 的斜面及機件 3 的內圓周面保持接觸，以消除接合空隙，達成即時接合。

3. 摩擦自鎖條件（Self-locking Condition）： 當滾子被拖入楔形空間窄端時，楔形角 $\alpha$（接觸面公切線之夾角）必須小於或等於接觸面之摩擦角總和，即滿足自鎖條件： $\tan \alpha \le 2\mu \quad \text{或} \quad \alpha \le 2\phi$ 其中 $\mu$ 為接觸面靜摩擦係數，$\phi$ 為摩擦角（$\phi = \tan^{-1}\mu$）。當滿足此條件時，滾子將在接觸點咬死（楔緊），使法向接觸反力隨負載扭矩自動增加，不產生滑移而傳遞旋轉動力。

解題方法

本題切入點在於分析外側機件 3 旋轉時，對滾子 2 表面施加的切向摩擦力方向，進而判斷滾子是朝向「楔形窄端」移動造成自鎖，還是朝向「楔形寬端」移動造成釋放。

1. 圖形特徵與幾何配置確認

• 依題目附圖，內側機件 1 的斜面與外側機件 3 的圓柱內表面之間，其間隙沿逆時針方向逐漸縮小（窄端在逆時針側，寬端在順時針側）。
• 壓簧位於滾子的順時針側，將滾子 2 輕微推向逆時針側的窄端。

2. 工況一：外側機件 3 逆時針旋轉（圖示之方向）

• 摩擦力方向與滾子位移：外環 3 逆時針旋轉時，其內表面對滾子 2 接觸點產生一朝向逆時針方向的切向摩擦力。
• 楔緊作用（Wedging Action）：該摩擦力與預緊彈簧的作用方向一致，將滾子 2 進一步拖入機件 1 與機件 3 之間逐漸縮小的楔形窄端。
• 自鎖與接合：由於滾子直徑大於該處之間隙，滾子被強力夾緊在機件 1 與機件 3 之間。因楔形角小於摩擦角滿足自鎖條件，接觸面產生極大的法向壓緊力與靜摩擦力，滾子不再滾動，機件 3、滾子 2 與機件 1 被鎖死為一剛性整體。

核心觀念

本題考查凸輪機構之從動件運動分析（Kinematics of Cam and Follower），核心在於利用微積分的鏈鎖律（Chain Rule）建立位移、速度與加速度的關係：

1. 從動件位移：題目給定 $S(\theta)$ 為凸輪轉角 $\theta$ 的函數。
2. 從動件速度：位移對時間的一階微分，依鏈鎖律展開為： $v = \frac{dS}{dt} = \frac{dS}{d\theta} \cdot \frac{d\theta}{dt} = \frac{dS}{d\theta} \cdot \omega$
3. 從動件加速度：速度對時間的微分（位移對時間的二階微分）： $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{dS}{d\theta} \cdot \omega\right) = \frac{d^2S}{d\theta^2} \cdot \left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2 + \frac{dS}{d\theta} \cdot \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2S}{d\theta^2}\omega^2 + \frac{dS}{d\theta}\alpha$ 因題目說明凸輪為「等速旋轉」，角加速度 $\alpha = \frac{d\omega}{dt} = 0$，故加速度公式簡化為： $a = \frac{d^2S}{d\theta^2}\omega^2$

解題方法

步驟一：求位移函數對轉角 $\theta$ 的一階與二階導數

給定從動件位移函數： $S(\theta) = 10(1 - \cos\theta)\ \mathrm{mm}$

1. 一階導數（幾何速度）： $\frac{dS}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}\left[10(1 - \cos\theta)\right] = 10\sin\theta\ \mathrm{mm/rad}$

2. 二階導數（幾何加速度）： $\frac{d^2S}{d\theta^2} = \frac{d}{d\theta}\left(10\sin\theta\right) = 10\cos\theta\ \mathrm{mm/rad^2}$

核心觀念

1. 同心彈簧並聯組合（Parallel Springs）： 兩螺旋壓縮彈簧同心嵌套放置於承載平板之間，原長相等。當承受壓縮負載時，兩者壓縮變形量相同，滿足變形協調條件： $\delta_1 = \delta_2 = \delta$ 整體系統之垂直靜力平衡方程式為： $P = P_1 + P_2$

2. 虎克定律與負載分配： 兩彈簧各自承受之負載與其彈簧率（剛度）成正比： $P_1 = k_1 \delta, \quad P_2 = k_2 \delta \implies \frac{P_1}{P_2} = \frac{k_1}{k_2}$

3. 螺旋壓縮彈簧之彈簧率公式： 圓形截面螺旋彈簧之標準力學公式為： $k = \frac{G d^4}{8 D^3 N_a}$ 配合彈簧指數定義 $C = \frac{D}{d}$（即 $D = C d$），代入可化簡為： $k = \frac{G d^4}{8 (C d)^3 N_a} = \frac{G d}{8 C^3 N_a}$ 式中各符號定義如下：

• $G$：材料剪切彈性係數
• $d$：線材直徑
• $D$：彈簧平均線圈直徑
• $C$：彈簧指數（$C = D / d$）
• $N_a$：有效線圈數

解題方法

步驟一：求兩彈簧彈簧指數之關係 設外側彈簧為彈簧 1，內側彈簧為彈簧 2。依題意： $D_1 = 2 D_2, \quad d_1 = 2 d_2$ 外側彈簧之彈簧指數為： $C_1 = \frac{D_1}{d_1} = \frac{2 D_2}{2 d_2} = \frac{D_2}{d_2} = C_2$ 兩彈簧之彈簧指數相等，即 $C_1 = C_2$。

步驟二：計算兩彈簧之彈簧率比值 兩彈簧具相同材料（$G_1 = G_2 = G$）與相同有效線圈數（$N_{a1} = N_{a2} = N_a$）。 由彈簧率公式： $k = \frac{G d^4}{8 D^3 N_a} = \frac{G d}{8 C^3 N_a}$ 代入幾何尺寸關係求剛度比值： $\frac{k_1}{k_2} = \frac{\frac{G d_1^4}{8 D_1^3 N_a}}{\frac{G d_2^4}{8 D_2^3 N_a}} = \left(\frac{d_1}{d_2}\right)^4 \times \left(\frac{D_2}{D_1}\right)^3 = (2)^4 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 16 \times \frac{1}{8} = 2$ 亦即外側彈簧的彈簧常數為內側彈簧的 2 倍： $k_1 = 2 k_2$