110 高普考普通考試 電子工程 電子儀表概要 考古題詳解

110 年・高普考・普通考試・電子工程
試題代碼 電子儀表概要

第 一 題10 分

有一個 0∼100 V0\sim100\,\text{V} 的伏特計，共有 200200 個刻度，能讀到 12\frac{1}{2} 個刻度。求此儀表的解析度（resolution）。

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核心觀念

解析度（resolution）是儀表能辨識的最小讀值變化。對指針式儀表而言，可用「滿刻度範圍 ÷ 刻度數」求出每一刻度代表的量，再乘上可讀取的最小刻度比例。

解題方法

伏特計量程為 0∼100 V0\sim100\,\text{V}，因此滿刻度範圍為

100−0=100 V100-0=100\,\text{V}

共有 200200 個刻度，每刻度代表

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第 二 題10 分

如圖一所示，將內阻 Rm=1000 ΩR_m=1000\,\Omega 的 50 μA50\,\mu\text{A} 直流表頭改為 0∼500 V0\sim500\,\text{V} 的直流表頭。計算：（每小題 5 分，共 10 分）

(一) 此倍增器的電阻值 RR。

(二) 此儀表的靈敏度（sensitivity）。

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核心觀念

此題考直流表頭串接倍增器後改作直流電壓表。表頭達到滿刻度時，電流為 IfsI_{fs}；串聯電阻 RR 與表頭內阻 RmR_m 一起承受滿刻度電壓 VfsV_{fs}，因此：

Vfs=Ifs(R+Rm)V_{fs}=I_{fs}(R+R_m)

電壓表的靈敏度定義為每伏特量程所需的輸入電阻，單位為 Ω/V\Omega/\text{V}。對此類表頭，靈敏度為滿刻度電流的倒數：

S=1IfsS=\frac{1}{I_{fs}}

解題方法

已知 Rm=1000 ΩR_m=1000\,\Omega、Ifs=50 μAI_{fs}=50\,\mu\text{A}，改成 0∼500 V0\sim500\,\text{V} 電壓表時，滿刻度電流仍是 50 μA50\,\mu\text{A}。串聯的總電阻為：

R+Rm=VfsIfs=50050×10−6=10,000,000 ΩR+R_m=\frac{V_{fs}}{I_{fs}} =\frac{500}{50\times10^{-6}} =10{,}000{,}000\,\Omega

因此倍增器電阻為：

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第 三 題15 分

用電位計測量一標準電池之端之電動勢，讀數為 1.01892 V1.01892\,\text{V}。當以一電阻 RLR_L 跨接於電池之兩端時，讀數降為 1.01874 V1.01874\,\text{V}。如果此標準電池的內阻 RiR_i 為 176.7 Ω176.7\,\Omega，計算此跨接之電阻 RLR_L。

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核心觀念

電位計以平衡法測量電池的電動勢，測量時幾乎不取用電流，因此未接負載時讀得電池的電動勢 EE。接上負載電阻 RLR_L 後，電池內阻 RiR_i 與負載形成串聯電路，端電壓降為 VLV_L：

VL=ERLRi+RLV_L=E\frac{R_L}{R_i+R_L}

本題給定未接負載與接上負載時的電位計讀數，以及電池內阻，要求求出負載電阻。

解題方法

未接負載時的電動勢為

E=1.01892 VE=1.01892\ \text{V}

接上 RLR_L 後的端電壓為

VL=1.01874 VV_L=1.01874\ \text{V}

由串聯分壓關係：

VL=ERLRi+RLV_L=E\frac{R_L}{R_i+R_L}

移項可得：

VL(Ri+RL)=ERLV_L(R_i+R_L)=ER_L VLRi=(E−VL)RLV_LR_i=(E-V_L)R_L

因此

RL=VLRiE−VLR_L=\frac{V_LR_i}{E-V_L}

代入 Ri=176.7 ΩR_i=176.7\ \Omega：

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第 四 題15 分

如圖二所示之惠斯登電橋（Wheatstone bridge）的比例臂，R1=10 ΩR_1=10\,\Omega、R2=10 kΩR_2=10\,\text{k}\Omega，標準臂 R3=1∼10 kΩR_3=1\sim10\,\text{k}\Omega，10 V10\,\text{V} 的電池（內阻可忽略）接在 aa、bb 之間。求此電橋可測的最大電阻 RxR_x。

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核心觀念

惠斯登電橋在平衡時，檢流計 GG 中沒有電流，兩個中點 cc、dd 電位相等。依圖中四個橋臂的配置，平衡條件為：

R1R3=R2Rx\frac{R_1}{R_3}=\frac{R_2}{R_x}

因此：

Rx=R2R3R1R_x=\frac{R_2R_3}{R_1}

解題方法

要測得最大的 RxR_x，需將可調標準臂 R3R_3 設為最大值。題目給定 R3=1∼10 kΩR_3=1\sim10\,\text{k}\Omega，故取 R3=10 kΩR_3=10\,\text{k}\Omega。

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第 五 題20 分

如圖三所示，有一平衡交流電橋，其各數據如下：

A、BA、B 之間為電阻 R1=500 ΩR_1=500\,\Omega；

B、CB、C 之間為電阻 R2=1000 ΩR_2=1000\,\Omega；

C、DC、D 之間元件未知；

D、AD、A 之間為電容 C4=0.2 μFC_4=0.2\,\mu\text{F}。

且一大小 10 V10\,\text{V}、頻率 1000 Hz1000\,\text{Hz} 之電壓加於電橋的 A、CA、C 之間。（每小題 10 分，共 20 分）

(一) 求未知之元件值。

(二) 若 R2R_2 電阻值改為 1002 Ω1002\,\Omega，求跨於高阻抗檢測計之電壓。

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核心觀念

本題考交流電橋的平衡條件。檢測計為高阻抗，平衡時不影響各支路電流，且 B、DB、D 兩點電位相等。

令各橋臂阻抗為 ZAB,ZBC,ZCD,ZDAZ_{AB}, Z_{BC}, Z_{CD}, Z_{DA}，由兩側分壓相等可得：

ZABZBC=ZDAZCD⟺ZABZCD=ZBCZDA\frac{Z_{AB}}{Z_{BC}}=\frac{Z_{DA}}{Z_{CD}} \quad\Longleftrightarrow\quad Z_{AB}Z_{CD}=Z_{BC}Z_{DA}

電容的阻抗為 ZC=1jωCZ_C=\dfrac{1}{j\omega C}，其中 ω=2πf\omega=2\pi f。

解題方法

（一）求未知元件值

令 ZAB=R1=500 ΩZ_{AB}=R_1=500\,\Omega、ZBC=R2=1000 ΩZ_{BC}=R_2=1000\,\Omega、ZDA=ZC4Z_{DA}=Z_{C4}，並以 ZxZ_x 表示 C、DC、D 間未知元件的阻抗。平衡條件為：

R1Zx=R2ZC4R_1Z_x=R_2Z_{C4}

因此：

Zx=R2R1ZC4=2ZC4Z_x=\frac{R_2}{R_1}Z_{C4}=2Z_{C4}

已知 C4=0.2 μFC_4=0.2\,\mu\text{F}，而電容阻抗與電容量成反比，所以：

Cx=C42=0.1 μFC_x=\frac{C_4}{2}=0.1\,\mu\text{F}

也可由阻抗確認其大小：

∣ZC4∣=12π(1000)(0.2×10−6)≈795.8 Ω|Z_{C4}|=\frac{1}{2\pi(1000)(0.2\times10^{-6})} \approx795.8\,\Omega
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第 六 題30 分

如圖四所示，有各數據如下：

ABAB 臂，R1=1000 ΩR_1=1000\,\Omega 並聯 C1=0.159 μFC_1=0.159\,\mu\text{F}；

BCBC 臂，R2=1000 ΩR_2=1000\,\Omega；

CDCD 臂，R3=500 ΩR_3=500\,\Omega；

DADA 臂，C4=0.636 μFC_4=0.636\,\mu\text{F} 串聯一未知電阻 R4R_4。（每小題 15 分，共 30 分）

(一) 求此交流電橋平衡時之頻率。

(二) 求產生此交流電橋平衡時 DADA 臂之未知電阻值 R4R_4。

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核心觀念

這題考交流電橋平衡條件：檢測計兩端電位相等時，四臂阻抗滿足

ZABZCD=ZBCZDA.Z_{AB}Z_{CD}=Z_{BC}Z_{DA}.

各臂阻抗為複數，因此平衡條件必須同時滿足實部與虛部。

解題方法

令角頻率為 ω=2πf\omega=2\pi f。ABAB 臂是 R1R_1 與 C1C_1 並聯，其阻抗為

ZAB=R11+jωR1C1.Z_{AB} =\frac{R_1}{1+j\omega R_1C_1}.

DADA 臂是 R4R_4 與 C4C_4 串聯，其阻抗為

ZDA=R4−jωC4.Z_{DA}=R_4-\frac{j}{\omega C_4}.

代入平衡條件，並使用 R2=1000 ΩR_2=1000\,\Omega、R3=500 ΩR_3=500\,\Omega：

ZABR3=R2ZDA,Z_{AB}R_3=R_2Z_{DA},

所以

ZDA=R3R2ZAB=5001+jωR1C1=500(1−jωR1C1)1+ω2R12C12.Z_{DA} =\frac{R_3}{R_2}Z_{AB} =\frac{500}{1+j\omega R_1C_1} =\frac{500(1-j\omega R_1C_1)} {1+\omega^2R_1^2C_1^2}.

令等式兩側虛部相等：

1ωC4=500ωR1C11+ω2R12C12.\frac{1}{\omega C_4} = \frac{500\omega R_1C_1} {1+\omega^2R_1^2C_1^2}.

整理得

ω2(500R1C1C4−R12C12)=1.\omega^2 \left(500R_1C_1C_4-R_1^2C_1^2\right)=1.
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