113 高普考普通考試 電子工程 電子儀表概要 考古題詳解

113 年・高普考・普通考試・電子工程
試題代碼 電子儀表概要

第 一 題10 分

利用伏特－安培表來測量電阻，試分別闡述高電阻測量法與低電阻測量法。

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核心觀念

伏特－安培表法以伏特計量測電阻兩端電壓 VV，以安培計量測流過電路的電流 II，再依歐姆定律求得電阻。由於伏特計內阻 RVR_V 有限、安培計內阻 RAR_A 不為零，接線方式會造成不同的測量誤差，因此須依待測電阻大小選擇接法。

高電阻測量法

高電阻測量時，將伏特計直接並聯於待測電阻 RxR_x 兩端，安培計則置於分流支路之前，量到流過待測電阻與伏特計的總電流。

伏特計所量電壓為 VV，安培計所量總電流為 II，因此：

I=Ix+IV=VRx+VRVI=I_x+I_V=\frac{V}{R_x}+\frac{V}{R_V}

若直接以 V/IV/I 當作待測電阻，得到的表觀電阻為：

Rm=VI=RxRVRx+RV=Rx∥RVR_m=\frac{V}{I} =\frac{R_xR_V}{R_x+R_V} =R_x\parallel R_V

因此 Rm<RxR_m<R_x，測量值偏低。伏特計分流造成的相對誤差，在 Rx≪RVR_x\ll R_V 時較小，故此接法適合測量低電阻。若要用於高電阻測量，應以伏特計內阻修正：

Rx=VRVIRV−VR_x=\frac{VR_V}{IR_V-V}

低電阻測量法

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第 二 題20 分

試繪出數位複用表（Digital Multimeter, DMM）之基本構造方塊圖，並詳述各方塊的功能。

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核心觀念

本題考查數位複用表（Digital Multimeter, DMM）的基本信號流程，以及各功能方塊在電壓、電流、電阻測量中的作用。DMM 的核心是將被測電量轉換成與數值成正比的直流電壓，再由類比數位轉換器（ADC）轉為數位資料，最後顯示測量結果。

基本流程為：

被測量輸入→保護電路→功能及量程選擇→信號調理→ADC→數位處理→顯示器\text{被測量輸入} \rightarrow \text{保護電路} \rightarrow \text{功能及量程選擇} \rightarrow \text{信號調理} \rightarrow \text{ADC} \rightarrow \text{數位處理} \rightarrow \text{顯示器}

基本構造方塊圖

 ┌────────────────┐
被測物 ───────────▶│ 輸入端子與保護電路 │
 └───────┬────────┘
 ▼
 ┌────────────────┐
 │ 功能及量程選擇器 │
 └───────┬────────┘
 ▼
 ┌────────────────────────┐
 │ 信號調理電路 │
 │ 衰減器、分流器、整流器、 │
 │ 電阻測量電路、放大器等 │
 └───────┬────────────────┘
 ▼
 ┌────────────────┐
 │ 類比數位轉換器 │
 │ ADC │
 └───────┬────────┘
 │
 ┌─────────────────┴─────────────────┐
 ▼ ▼
┌────────────────┐ ┌────────────────┐
│ 基準電壓與時脈 │ │ 微處理器／邏輯 │
│ 電路 │ │ 控制電路 │
└────────────────┘ └───────┬────────┘
 ▼
 ┌────────────────┐
 │ 顯示器及警示電路 │
 └────────────────┘

 ┌────────────────┐
 │ 電源供應電路 │
 └────────────────┘

各方塊功能

一、輸入端子與保護電路

輸入端子通常包括公共端（COM）、電壓／電阻端，以及高電流端。使用者依測量功能將測試棒接至適當端子。

保護電路的主要功能如下：

  1. 使用保險絲、限流電阻、熱敏電阻、壓敏元件或箝位元件，限制過大電流及過高電壓。
  2. 防止輸入瞬間突波損壞內部電路。
  3. 在電流檔誤接高電壓時，利用保險絲切斷故障電流。
  4. 提供輸入端與內部電路之間的安全隔離。

二、功能及量程選擇器

此方塊決定DMM的測量種類與測量範圍，常見功能包括：

  • 直流電壓（DCV）
  • 交流電壓（ACV）
  • 直流電流（DCI）
  • 交流電流（ACI）
  • 電阻（Ω\Omega）
  • 二極體測試
  • 導通測試
  • 電容或頻率測量等附加功能

量程選擇器的功能是將不同大小的輸入量轉換為適合ADC處理的電壓範圍。自動量程DMM會依輸入信號大小自動切換量程，手動量程DMM則由使用者選擇量程。

三、信號調理電路

信號調理電路依測量功能將各種被測電量轉換為ADC可接受的直流電壓。

（一）直流電壓測量電路

直流電壓通常先經由精密分壓器或衰減器降低電壓，再經緩衝放大器送入ADC。

若輸入電壓為 VinV_{\text{in}}，分壓比例為 kk，則ADC輸入電壓為：

VADC=kVinV_{\text{ADC}}=kV_{\text{in}}

其中 k<1k<1，藉以避免ADC輸入過大。

電壓測量電路的輸入阻抗通常很高，以降低對被測電路的負載效應。

（二）直流電流測量電路

直流電流通過精密分流電阻 RsR_s，產生與電流成正比的電壓：

Vs=IinRsV_s=I_{\text{in}}R_s

DMM再測量此分流電壓，利用已知的 RsR_s 換算出輸入電流。

不同電流量程使用不同阻值的分流電阻。量程越大，通常使用的分流電阻越小，以降低功率損耗與電路壓降。

（三）電阻測量電路

電阻測量採用內部定電流源或已知電阻分壓方式。以定電流法為例，若內部提供測試電流 ITI_T，被測電阻兩端電壓為 VRV_R，則：

Rx=VRITR_x=\frac{V_R}{I_T}

DMM將測得的電壓換算為電阻值。

電阻測量時，測試棒必須接至被測電阻兩端，且被測電路通常必須斷電，避免外部電壓影響測量結果或損壞儀表。

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第 三 題25 分

試繪出三安培計法量測電路圖，並詳述如何測量負載之單相交流功率與功率因數。

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核心觀念

三安培計法利用三個電流的相量關係，量測單相交流負載的有功功率與功率因數。其基本條件為：

  • 負載為待測阻抗 ZLZ_L。
  • 並聯一個已知電阻 RR，且電阻須近似純電阻、無顯著電感或電容效應。
  • 三個安培計均讀取交流有效值（RMS）。
  • 電阻支路電流與電源電壓同相，可作為功率因數相角的參考。

功率因數定義為

cos⁡ϕ=PVIL\cos\phi=\frac{P}{VI_L}

其中 PP 為負載有功功率，VV 為負載端電壓，ILI_L 為負載電流，ϕ\phi 為負載電流與電壓的相位差。

三安培計法量測電路

\requireAMScd單相交流電源∼V線路A1∙╲╱A2+ZLA3+R╱╲∙\require{AMScd} \begin{array}{c} \text{單相交流電源}\\ \quad \sim V \end{array} \quad \begin{array}{c} \text{線路}\\ \quad A_1 \end{array} \quad \begin{array}{c} \bullet\\ \diagdown\qquad\diagup\\ A_2+Z_L\qquad A_3+R\\ \diagup\qquad\diagdown\\ \bullet \end{array}

亦可用文字表示如下：

 ┌──── A2 ─── 待測負載 ZL ───┐
交流電源 ─ A1 ├─
 └──── A3 ─── 已知純電阻 R ────┘

其中：

  • A1A_1：串聯於電源總線，量測總電流 I1I_1。
  • A2A_2：串聯於負載支路，量測負載電流 I2=ILI_2=I_L。
  • A3A_3：串聯於已知電阻支路，量測電阻電流 I3I_3。
  • 待測負載與電阻 RR 並聯，因此兩者端電壓相同，均為 VV。

解題方法與推導

1. 建立電流相量關係

因為已知電阻 RR 為純電阻，其電流 I3I_3 與電源電壓 VV 同相；負載電流 I2I_2 與電壓的相位差為 ϕ\phi。

總電流相量為

I⃗1=I⃗2+I⃗3\vec I_1=\vec I_2+\vec I_3

將其平方取大小，可得

I12=I22+I32+2I2I3cos⁡ϕI_1^2=I_2^2+I_3^2+2I_2I_3\cos\phi

因此，負載功率因數為

cos⁡ϕ=I12−I22−I322I2I3\boxed{ \cos\phi= \frac{I_1^2-I_2^2-I_3^2}{2I_2I_3} }

這就是三安培計法的核心公式。

2. 求負載端電壓

由已知電阻支路可得

V=I3RV=I_3R

其中 I3I_3 為安培計 A3A_3 的讀值。

3. 求負載有功功率

負載有功功率為

P=VI2cos⁡ϕP=VI_2\cos\phi
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第 四 題20 分

試詳述馬克斯威爾電橋（Maxwell Bridge）用於測量電感器上的適用範圍，並推導出待測電感的電感量 LxL_x、電阻值 RxR_x 與品質因數 QQ。

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核心觀念

馬克斯威爾電橋（Maxwell Bridge）利用「待測電感線圈」與「標準電容器」比較，以交流電橋平衡條件求得線圈的：

  • 等效串聯電阻 RxR_x
  • 電感量 LxL_x
  • 品質因數 QQ

待測線圈以串聯等效模型表示：

Zx=Rx+jωLxZ_x=R_x+j\omega L_x

其中 ω=2πf\omega=2\pi f。

電橋中，待測線圈與一個由電阻 R4R_4、電容 CC 所組成的並聯支路為相對兩臂，另兩臂為非感性電阻 R2R_2、R3R_3。

解題方法與推導

1. 求並聯 R4−CR_4-C 支路的阻抗

電阻 R4R_4 與電容 CC 並聯，其導納為：

Y4=1R4+jωCY_4=\frac{1}{R_4}+j\omega C

因此其阻抗為：

Z4=1Y4=11R4+jωC=R41+jωR4CZ_4=\frac{1}{Y_4} =\frac{1}{\frac{1}{R_4}+j\omega C} =\frac{R_4}{1+j\omega R_4C}

2. 套用交流電橋平衡條件

電橋平衡時，相對兩臂阻抗乘積相等：

ZxZ4=R2R3Z_xZ_4=R_2R_3

代入 ZxZ_x 與 Z4Z_4：

(Rx+jωLx)R41+jωR4C=R2R3(R_x+j\omega L_x) \frac{R_4}{1+j\omega R_4C} =R_2R_3

整理得：

Rx+jωLx=R2R3R4(1+jωR4C)R_x+j\omega L_x =\frac{R_2R_3}{R_4}(1+j\omega R_4C)

展開右側：

Rx+jωLx=R2R3R4+jωR2R3CR_x+j\omega L_x =\frac{R_2R_3}{R_4} +j\omega R_2R_3C

比較實部與虛部：

3. 求待測電阻 RxR_x

比較實部：

Rx=R2R3R4\boxed{R_x=\frac{R_2R_3}{R_4}}

4. 求待測電感 LxL_x

比較虛部：

ωLx=ωR2R3C\omega L_x=\omega R_2R_3C

約去 ω\omega：

Lx=R2R3C\boxed{L_x=R_2R_3C}

此結果與交流頻率無關，這是馬克斯威爾電橋的重要特性。

5. 求品質因數 QQ

線圈的品質因數定義為：

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第 五 題25 分

當一方波測試波形輸入至放大器後，其方波測試的輸出波形可能呈現低頻衰減、高頻衰減、低頻相位超前、低頻相位落後以及振鈴現象。試繪出並解釋以上五種方波測試的輸出波形。

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核心觀念

方波由基波及許多奇次諧波組成：

vi(t)=4Vπ(sin⁡ωt+13sin⁡3ωt+15sin⁡5ωt+⋯ )v_i(t)=\frac{4V}{\pi}\left(\sin\omega t+\frac{1}{3}\sin3\omega t+\frac{1}{5}\sin5\omega t+\cdots\right)

因此，放大器的頻率響應會造成三類失真：

  1. 低頻響應不良：影響方波的平頂、平底及低頻成分。
  2. 高頻響應不良：影響方波的上升時間、下降時間及邊緣。
  3. 相位失真或暫態響應不良：造成波形位置偏移、超越、振盪等現象。

理想放大器的輸出方波應與輸入方波形狀相同，僅振幅依電壓增益放大，且不產生相位差。

一、低頻衰減

波形

輸入：
 ┌───────┐ ┌───────┐
 │ │ │ │
──────┘ └───────┘ └──

輸出：
 ┌───────╲ ┌───────╲
 │ ╲ │ ╲
──────┘ ╲─────┘ ╲──

負半週則呈現相反方向的傾斜。

解釋

低頻衰減通常是由輸入耦合電容、級間耦合電容或旁路電容所形成的高通特性造成。低頻成分通過放大器時受到較大衰減，使方波的平頂或平底無法維持原來的直流準位。

因此：

  • 方波剛跳變時，輸出振幅接近正確值。
  • 經過一段時間後，平頂逐漸下降，或平底逐漸上升。
  • 方波的頂部與底部呈現傾斜，稱為下垂或傾斜失真。
  • 頻率越低，單一週期時間越長，低頻衰減現象越明顯。

若以一階高通電路表示，其時間響應與時間常數

τ=RC\tau=RC

有關。當方波半週時間與 τ\tau 相比較大時，平頂下垂更加明顯。

二、高頻衰減

波形

輸入：
 ┌───────┐ ┌───────┐
 │ │ │ │
──────┘ └───────┘ └──

輸出：
 ╭─────╮ ╭─────╮
 ╱ ╰╮ ╱ ╰╮
─────╯ ╰───────╯ ╰──

解釋

高頻衰減表示放大器的高頻增益下降，方波中的高次諧波受到衰減。由於方波的陡峭邊緣主要由高次諧波合成，故輸出波形會出現：

  • 上升時間變長。
  • 下降時間變長。
  • 方波轉角變圓鈍。
  • 波形邊緣不再陡峭。
  • 平頂通常仍可維持，但邊緣變得較平滑。

高頻截止頻率通常受到晶體管接面電容、配線寄生電容、負載電容及放大器內部補償電容影響。若放大器具有一階低通特性：

H(s)=A01+sτH(s)=\frac{A_0}{1+s\tau}

其上升時間約為

tr≈2.2τt_r\approx 2.2\tau

或寫成頻寬與上升時間的關係：

BW≈0.35trBW\approx \frac{0.35}{t_r}

頻寬越小，上升時間越長，高頻衰減越嚴重。

三、低頻相位超前

波形示意

輸入：
 ┌───────┐ ┌───────┐
 │ │ │ │
──────┘ └───────┘ └──

輸出：
 ╭─┬───────┐ ╭─┬───────┐
 ╱ │ │ ╱ │ │
──╯ └───────┘───────╯ └───────┘──

輸出波形中代表低頻成分的主要變化，比輸入波形提早發生。

解釋

低頻相位超前是指放大器對低頻成分所造成的相位角為超前，相位響應可表示為：

ϕ(ω)>0\phi(\omega)>0

若輸入的低頻週期成分為

vi(t)=Vmsin⁡ωtv_i(t)=V_m\sin\omega t

則輸出可寫成

vo(t)=A(ω)Vmsin⁡(ωt+ϕ)v_o(t)=A(\omega)V_m\sin(\omega t+\phi)
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